再谈圆锥曲线中的相交弦和切割线定理

文[1]将圆的相交弦定理和切割线定理推广到了椭圆,文[2]进一步推广到双曲线,但未能推广到抛物线,文[3]给出了形式相似的三类圆锥曲线的相交弦与切割线定理,但形式繁杂.本文给出圆锥曲线的统一的形式简洁的相交弦和切割线定理.定理1过点P的直线l,m分别交圆锥曲线E于点A、B和C、D     

也谈圆锥曲线相交弦定理

2006年第10期《数学教学》上有文[1],“由一个例题到圆锥曲线‘相交弦定理’的探索”,读后很受启发．经过思考,发现圆锥曲线相交弦定理是圆的相交弦定理的推广,而且是圆锥曲线的牛顿定理的特例．     

圆锥曲线的统一性质——“相交弦定理”的简证

文献[1]中以射影线段为视角进而表示相交弦长，并对定理加以证明，解法独特但过程较为繁难．文献[2]以直线的参数方程为视角着重对抛物线中的相交弦定理加以推导．它们的共同之处在于都是以抛物线为主要探究对象，将所得结论推广到椭圆及双曲线上，从而得到不同圆锥曲线的相交弦定理．显然，在探索过程中，文献[2]的方法较文献[1]简便．     

圆锥曲线一个性质的充要性补充及再推广

文[1]给出圆锥曲线的如下性质： 定理1（文[1]的性质2）圆锥曲线中过同一焦点的两条弦,组成一个四边形的对角线,如果这个四边形的对边所在的直线相交,那么交点在与该焦点相应的准线上．     

圆锥曲线的相交弦定理及其推广

类比圆的相交弦定理,推广得到圆锥曲线的相交弦定理,再对圆锥曲线的相交弦定理进行推广.     

过焦点轴上定点相交弦的一个有趣性质

文[1]、[2]相继给出了圆锥曲线的焦点弦与定点弦的耐人寻味的性质.我们经过探究,得到圆锥曲线的过焦点轴上一定点两相交弦颇有趣味的性质,现抄录于下与君共赏.     

圆锥曲线三平行弦定理的推广

文[1]给出圆锥曲线三平行弦的一个有趣定理,本文将其做进一步的推广,得到：     

圆锥曲线直角弦上点轨迹的简捷求法与推广

文[1]与文[2]分别给出了圆锥曲线直角弦上点轨迹的统一方法，其中文[1]利用高等数学中的导数知识证明定理1，文[2]虽用初等数学方法证明了定理1，但证明过程过于繁琐，以中学生的运算能力难以完成．本文另辟蹊径，给出一种简捷证明方法，并对文[1]与文[2]中的结论进行推广，现介绍如下．     

对椭圆一个命题的再研究

文 [1]中给出了关于椭圆的一个命题 ,由此想到对于双曲线命题是否成立 ?而文 [1]中的证明方法很难推广到双曲线 ,那么 ,是否能找到既适合椭圆又适合双曲线的一种证明方法呢 ?本文就此回答了这个问题 .首先说明圆锥曲线弦的概念 ,若直线与圆锥曲线交于两点 ,则两点间的线段叫做圆锥曲线的弦 .命题 1　若椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1的两条弦相交且互相平分 ,则交点为原点 ,即椭圆的对称中心 .证明　若ＡＢ、ＣＤ为椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1的两条互相平分的相交弦 ,当有一条弦所在直线为ｘ轴或ｙ轴时 ,命题显然成立 ;当有一条弦与ｘ轴平行 ,或与 ｙ…     

从2021年一道高考题谈圆锥曲线上四点共圆问题

<正>本文从2021年一道高考题谈起,用从特殊到一般的方法探究圆中的相交弦定理、割线定理以及切割线定理在圆锥曲线中的表现形式,进而发现圆锥曲线上四点共圆的一个更为一般的充要条件[3][4].1．原题赏析题目(2021新高考1卷21题)在平面直角坐标系xoy中,     

圆锥曲线“准点”的又几个性质

定义圆锥曲线准线与其对称轴的交点叫做准点,经过准点的直线被圆锥曲线截得的弦叫做准点弦.准点、准点弦和焦点、焦点弦一样,具有许多性质,文[1]已介绍了与其相关的几个定理,作为文[1]的补充,本文再介绍如下几个定理.定理1F是横向型圆锥曲线焦点,E是与焦点F相应的准线和对称轴的交点,经过E且斜率是k的直线交圆锥曲线于A,B两点,e是圆锥曲线的离心率,若     

将平面几何中的圆幂定理拓展到立体几何

平面几何中的相交弦定理,切割线定理和割线定理统称圆幂定理。这三个定理可拓展到立体几何中。 平面几何中的相交弦定理:圆内的两条相交弦、被交点分成的两条线段长的积相等。     

圆锥曲线一个性质的再探究

文[1]给出了圆锥曲线的一个性质,即文[1]的定理1-8,读后颇受启发,但觉意犹未尽.本文拟对这一性质进一步探究,探究其变式及推广,并应用推广性质解决原性质无法解决的问题.先把文[1]的性质抄录如下（为节省篇幅,把原定理加以综合）：     

圆锥曲线焦点弦的两个性质

文[1]、[2]给出抛物线焦点弦的性质和圆锥曲线焦点弦的一个统一性质,笔者最近用平几方法探得圆锥曲线焦点弦的两个统一性质.     

圆锥曲线一个性质的补证与另证

文[1]将2009年湖北省高考数学试题文（20）关于抛物线的一个性质推广到了整个圆锥曲线,得到如下结论：定理过圆锥曲线c的焦点F的直线与圆锥曲线相交于Ｍ、Ｎ两点,自M、N向准线L作垂线,垂足分别为M1、Ｎ1,记△FMM1、△FM1Nl、△FNNl的面积分别为S1、Ｓ2、Ｓ3,则S＾22=4S1·S3． 这是圆锥曲线一个统一的优美性质,其证明方法很多,可以用解析法,也可以用平面几何的方法．文[1]使用平面几何的方法,借助以下引理给出了定理的证明．     

圆锥曲线定点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线焦点弦的性质,本文将对此问题进行进一步的探究,得出圆锥曲线定点弦的一个性质.     

圆锥曲线“准点弦”的向量性质

圆锥曲线准线与其对称轴交点称为准点,过准点的圆锥曲线的弦叫做准点弦． 文[1]介绍了准点弦的一系列性质,其中定理1是如下的引理：     

圆锥曲线以焦点为顶点的角的一组性质

文[1]的定理4得出了椭圆切线的一个性质,文[2]和文[3]得出了圆锥曲线焦点弦的一组性质,本文研究得出了圆锥曲线以焦点为顶点的角的一组更一般的性质,并由此得到两个推论.     

再谈一条美妙性质

文[2]对文[1]作了推广,文[2]中定理如下:定理:过圆锥曲线准线上一点,作该曲线的两条切线,两切点所在直线过相应焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).笔者受其启发,对文[2]再作推广如下:定理:直线z与圆锥曲线无交点,P∈l,过P若存在两条直线与圆锥曲线相切,则两切点所在直线恒过定点,并以该定点为中点的弦平行于直线 l.证明:设直线 l 方程:Ax By C=0(C≠0),两切点为 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_0,y_0).     

关于圆幂定理的联想

相交弦定理和切割线定理及推论统称为圆幂定理.1 关于相交弦定理的联想由相交弦定理“圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等”可知,在过⊙O内一定点P所引的无数条弦AB、CD、EF、…