af(x)+b f(x)~(1/2)=c的简捷解法

方程af(x)+f(x)~(1/b)=c,一般用代换法来解。但当a、b、c为整数,a>0时,用观察法来解,显得更为简便,下面介绍这种方法。定理:如果存在平方数m≥0,使 c=am+m~(1/b)则方程af(x)+f(x)~(1/b)=c ①与方程(f(x)-m~(1/2))(f(x)+b/a+m~(1/2)=0同解②其中f(x)为x的解析式。证明:设a是方程①的解,则 af(a)+f(a)~(1/b)=am+m~(1/b)∵ f(x),m≥0,     

用f(1)、f(0)、f(-1)表示f(x)=ax2+bx+c解竞赛题

设函数f(x)=ax2+bx+c(-1≤x≤1),则f(1)=a+b+c,f(0)=c,f(-1)=a-b+c,解得a=1/2f(1)+1/2f(-1)-f(0),b=1/2f(1)-1/2f(-1),c=f(0),从而有f(x)=[1/2f(1)+1/2f(-1)-f(0)]x2+[1/2f(1)-1/2f(-1)]x+f(0),利用这一表示形式可以解下列竞赛题.     

例谈α≤f(x)≤b■(f(x)-α)(f(x)-b)≤0的应用

众所周知在二次不等式解的法则中有(x-a)(x-b)≤0(?)≤x≤b，(a相似文献   

关于由f[f(x)]=x+1/x+2求f(x)的一个注脚

本lijl984年第4期《求函数解析式方法例说》一文指出了一个错误的例子:其次,为求符合条件(C)的另一函数,仿f。(x)=的结构,设厂(劝=b劣+c戈+a题:已知了〔厂(x)〕=(C),求f(劣).1 1l+工。十认甘(其中一“、‘为待定的常_玫)解’:仄f(幻〕二1+则f〔f(x)〕=b+c一abf(%)+a…f(工)==b+(c一ub)(戈+(a+b)(戈+u)+c 这个错误解答流衍校广。是借误的所用的反例是f(二)证明这个解答b+“一a宁=b一卜任一“o十a戈十a2丫+1X+3。到此,(c一ab)“不禁会想:这个反例是怎么找到的呢?还有没有别的反例呢?为此本人加上一个注脚。 /.c一ab\.u+b=灭b+。+b/十(。+6)*…     

用函数性质解一类方程

定理设f(x)为单调奇函数,则方程f(ax+b)+f(x)一O与方程(a二十b)十x一O同解. 证明由f(一二)~一f(x),则方程厂(ax十b)+f(x)一。可化为f(ax+b)~f(一x)‘又f(二)为单调函数,f为一一映射,故f(ax+b)一f(一x)成立的充要条件是ax+b-一x.证毕. (编者按:只是在实数范围内同解.) 例1.解方程 (x+6)工,91+x‘,,‘+Zx+6=0.‘._’解f(x)一x,‘+x为递增奇函数.故有(x十6)+x一O,原方程有唯一实根x-一3. 例2.解方程 (Zx+1)(z+丫(Zx+1),+3 +sx(2+了石压不万)一0. 解令t一3x,则原方程变为(亏+‘)(“+ +,(z+丫砰不压):考虑函数f(t)=t(2+奇函数,原方程化为了砰…     

函数f(x)=ax+b~(1/2)+d-cx~(1/2)值域的又一新求法

求形如 f (x) =ax + b + d -cx(a>0 ,c >0 ,dc>-ba)的函数值域的方法很多 ,本刊文 [1]利用“双换元法”给出一种求法 ,阅后深受启发 .本文再给出此类函数的一种新的求法 ,具有简单易行的特点 ,更易为广大中学生所理解和接受 ,现介绍如下 .1　结论及证明定理　设 f1 (x) =ax + b,f2 (x) =d -cx,则函数 f (x) =ax + b + d -cx(a >0 ,c >0 ,dc >-ba)的值域为[[f1 ( x) +f2 ( x) ] m in,f1 ( dc +f2 ( - ba) ] .以下定理的证明过程 ,即给出了求 f (x)值域的一种方法 .证明 :(1)证 f (x)≤f1 (dc) + f2 (-ba)设λ >0 ,则由基本不等式 ab≤a + b2 …     

例谈f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)的应用

<正>二次函数的一般表达式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),配方后可以表示为f(x)=a(x-h)2+k,如果它的图象与x轴有两个不同的交点x1,x2,还可表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2).这样二次函数就有了三种不同的表达形式,在不同的问题中选择合适的表达形式对于快速准确地解决问题有着至关重要的作用.本文就f(x)=a(x-x1)(x-x2)的应用作一下探讨.     

论△[f(x)]=∫integral from n=a to b f(x)dx-[c_1f(x_1)+……+c_nf_n(X_n)]。

本文的内容在討論函數f(x)的定積分integral from n=a to b f(x)dx与其代真值 c_1f(x_1)+………+c_nf(x_n)之间的差值△[f(X)]=integral from n=a to b f(x)dx-[c_1f(x_1)+……+c_nf(x_n)].a≤x_1<……相似文献   

函数f(x)=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)值域的求法

对于给定的函数f(x)=(ax b)~(1/2)-(cx b)~(1/2)(a、b、c、d,均为常数,且ac≠0)。可分以下情况求其值域: 1.当a>0,c<0时,f(x)在定义域上是增函数,可由单调递增函数的性质求出值域。 例1 求函数f(x)=(x 2)~(1/2)-(-3x 4)~(1/2)的值域。 解 求函数f(x)的定义域是[-2,4/3],     

函数f(x)=ax (b/x)(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x) =ax bx(a ,b∈R)的性质1.当a =b =0时 ,f(x) =0 (x≠ 0 )是常数函数 ,既是奇函数又是偶函数 ,其图象是x轴 (不包括原点 ) .2 .当b =0 ,a≠ 0时 ,f(x) =ax(x≠ 0 )是一次函数且是奇函数 ,其图象是一条直线 (不包括原点 ) .3.当a =0 ,b≠ 0时 ,f(x) =bx(x≠ 0 )是反比例函数且是奇函数 ,其图象是双曲线 .4 .当a≠ 0 ,b≠ 0时 :(1)当a >0 ,b <0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是增函数 .(2 )当a <0 ,b >0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是减函数 .(3)当a …     

函数f(x)=a/cosnx+b/sinnx最小值的另一求法

文[1]利用组合数的性质等知识解决了函数f(x)=a/cos~nx+b/sin~nx(0相似文献   

不等式a〈f（x）〈b的简捷解法

双向不等式aa且f(x)相似文献   

方程f(x)=f~(-1)(x)与f(x)=x同解吗?

有些资料上,在处理方程f(x)=f_(-1)时,往往转化成解方程f(x)=x,这种转化的根据是:“两个函数若互为反函数,则它们的交点在直线y=x上”,事实上,这个结论是错误的,因为互为反函数的函数图象关于直线y=x对称,若y=f(x)与y=f_(-1)(x)的图象有交点M(a,b)(其中a≠b),则M’(b,a)是它们的另一交点.一般地,有如下性质:     

函数f(x)=(x~2 ax b)(1/2)±(x~2 cx d)(1/2)的最值

结论 1　若Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,则函数 f(x) =x2 ax b x2 cx d的最小值是 f(x) min=12 (-Δ1 -Δ2 ) 2 (a -c) 2 .证明 :因为Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,所以x2 ax b≥ 0 ,x2 cx d≥ 0 ,f(x) =x2 ax b x2 cx d =x a22 0 - 4b -a222 x c22 0 - 4d -c222 .求 f(x)的最小值即求两定点A - a2 ,4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 到x轴上一点 (x ,0 )距离和的最小值 ,即求两点A′ - a2 ,- 4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 之距 |A′B|.点A′与A关于x轴对称 .根据对称性 |A′B|=|PA| |PB|,在x轴上任取一点…     

不等式|f(x)|+|g(x)|>|φ(x)|的同解定理及其应用

设绝对值不等式|f(x)|+|g(x)|>|φ(x)|(1)的定义域为A。用分段讨论的方法去解(1),比较烦琐,因此,下面给出两个同解定理,并以例示其解法。 [定理1] 若x∈A时有[f(x)+g(x)]~2≤[φ(x)]~2,则(1)与[f(x)-g(x)]~2>[φ(x)]~2同解。下面为书写简便,记f(x)、g(x)、φ(x)为f、g、φ。用“←→”表示两不等式组同解。     

函数y=f(x+1)的反函数是y=f~(-1)(x+1)吗

如果函数y=f(x)有反函数y=f~(-1)(x),那么函数y=f(x+1)的反函数就是y=f~(-1)(x+1)吗? 例已知f(x)=2~x,函数y=g(x)的图象与函数y=f~(-1)(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(2)。     

简谈函数f(x)=ax+b/x与f(x)=ax-b/x的本质联系

在高中数学中,我们经常碰到下列两类函数:f(x)=ax+xb与f(x)=ax-xb(a,b∈R+),由于这两类函数在历年高考中经常出现,因此广大师生对它们的性质已经有一个初步的认识(如图1、2).但是绝大多数人认为这两个函数除了定义域和奇偶性外,几乎没有其他相似之处,因此是两个没有什么联系的孤立函数.然而事实并非如此,下面就谈谈本人在这一方面的几点浅见.1它们都有两条渐近线,都是y轴和直线y=ax图1以函数f(x)=ax+xb为例.取其图象上任意一点P(x0,ax0+xb0),它到直线y=ax的距离为d1,到y轴的距离为d2,则d1=|ax0-(ax0+xb0)|a2+1=|x0ba2+1|,d2=|x0|,所以xl0i…     

关于f（f（x））=x的探究

近日笔者在教学中遇到这样一道题:例题:奇函数f(x)=ax3 bx2 cx d在[1, ∞)为增函数,若x≥1时,f(x)≥1且f(f(x))=x,求f(x)(x≥1)．其给出的参考答案是这样的:解:由f(x)奇函数可得b=d=0,     

x~2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)的应用

初中教材中介绍了一个公式: x~2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 其更一般形式为 (acx~2+(bc+ad)x+bd=(ax+b)(cx+d)。它是因式分解中的一个重要公式,但由于学生在初中学习时的深度与广度不够,因而在解难度较大一些的题时,就不能很好加以应用。     

也谈函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)

§1 对x和y的一切实数值满足方程 f(x+y)=f(X)+f(y) (1)的连续函数是f(x)=Cx,得到了解当然也就掌握了f(x)的一切性质。这里我们准备从另一途径讨论(1),在不求出(1)的解的条件下,讨论满足方程的连续函数f(x)的一些分析性质,下面将证明: