赛题另解

题1 如图1,BE、CF为锐角△ABC的高,以AB为直径的圆与直线CF交于点M、N,以AC为直径的圆与直线BE交于点P、Q.证明:M、P、N、Q四点共圆.[1] (第19届美国数学奥林匹克) 证明由BE、CF为锐角△ABC的高知 ∠CFB =∠CEB =90° ?B、C、E、F四点共圆. 若以A为反演中心、A关于四边形...     

两道几何命题的新证、类比与推广

<正>1 提出问题第19届美国数学奥林匹克第5题是一道优美的几何赛题,摘录如下：题目 平面上给定一个锐角ΔABC,以AB为直径的圆与AB边上的高线CC′及其延长线交于M、N,以AC为直径的圆与AC边上的高线BB′及其延长线交于P、Q.证明：M、P、N、Q四点共圆.笔者在文[1]和文[2]中利用多种方法分别证明了原赛题,并在文[3]中针对此题的基本图形进行改造,衍变得到一些有意义的几何命题.     

联赛加试几何题证明随想

2001年全国联赛加试第一题:图1如图1,在ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H.直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:     

巧用根轴与根心定理证明两线垂直

根轴定理与根心定理都是数学竞赛中的重要定理.根轴定理两圆的根轴与连心线互相垂直.根心定理三个圆两两之间的三条根轴或者互相平行或者交于一点(即根心).图1例1如图1,在△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,直线FD和AC交于点N.证明:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;     

对２００１年全国高中数学联赛一道加试题的探源与引申

2001年全国高中数学联赛加试中的平面几何题是题目1 如图1,ΔABC中,O为外心,3条高AD,BE,CF交于H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N。     

集锦 第41届IMO两赛题的证明与评注

第 41届 IMO试题已刊载在《中等数学》2 0 0 0年第 4期上 ,笔者对其中的第 1,2两题给出证明与评注 ,供参考 .1　圆 Γ1 和圆 Γ2 相交于点 M和 N.设 l是圆Γ1 和圆Γ2 的两条公切线中距离 M较近的那条公切线 .l与圆 Γ1 相切于点 A,与圆Γ2 相切于点 B.设经过点 M且与 l平行的直线与圆 Γ1 还相交于点 C,与圆 Γ2 还相交于点 D.直线 CA和 DB相交于点 E,直线 AN和 CD相交于点 P,直线 BN和 CD相交于点 Q.证明 :EP=EQ.图 1证明　连结MA,MB,ME,延长 NM交 AB于F.∵ l是⊙Γ1 ,⊙Γ2 的公切线 ,又CD∥l,∴∠ EAB =∠ C=∠ MAB…     

一道高中联赛预赛题的多解与拓展

2014年陕西数学联赛预赛题:如图1,已知圆O:x~2+~2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于点N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值.     

2010中国数学奥林匹克

1.两圆Γ1、Γ2交于点A、B,过点B的一条直线分别交圆Γ1、Γ2于点C、D,过点B的另一条直线分别交贺Γ1、Γ2于点E、F,直线CF分别交圆Γ1、Γ2于点P、Q.设M、N分别是弧(PB)、(QB)的中点.若CD=EF,求证:C、F、M、N四点共圆.     

一道奥数训练题的溯源和探究

1．原题与溯源《中等数学》08年第6期数学奥林匹克高中训练题（13）一试第5题：设抛物线的顶点为A,焦点为F．过点F作直线l与抛物线交于点P、Q,直线AP、AQ分别与抛物线的准线交于点M、N,问：直线l满足什么条件时,三直线PN、QM、FA恒交于一点？     

2001年全国高中数学联赛加试题1的解析证明

2001年全国高中数学联合竞赛加试试题1如下: 如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线DE和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:     

第41届IMO试题解答

1.圆Γ_1和圆Γ_2相交于点M和N。设l是圆Γ_1和圆Γ_2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆Γ_1相切于点A,与圆Γ_2相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆Γ_1还相交于点C,与圆Γ_2还相交于点D。直线CA和DB相交于点E,直线AN和CD相交于点P,直线BN和CD相交于点Q。证明:EP=EQ。 证明:令K为MN和AB的交点。根据圆幂定     

2001年高中联赛平面几何题的新证法

题目如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE.(2)OH⊥MN.     

2001年高中联赛平面几何题的新证法

题目如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE.(2)OH⊥MN.     

利用同一法证明三线共点问题

第 36届IMO第 1题是 :设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同的点 .分别以AC、BD为直径的两圆相交于X和Y ,直线XY交BC于Z .若P为直线XY上异于Z的一点 ,直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M ,直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N .试证 :AM、DN、XY三线共点 .此题证法多 .为了     

一组平面几何问题的探究

本文给出一组与完全四边形密切相关的平面几何问题,题1设四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,直线PR分别交AQ、BQ于点M、N,则证明：如图1,直线BQ与△PAD三边都相交,由梅涅劳斯定理,有题2过O外一点Q作O的两条切线,E、F为切点,作一条割线QDA,EF和AD交于点M（图2）．则证明：连结ED、EA、FD、FA．题3四边形ABCD内接于圆,边AB和DC的延长线交于点P,边AD和BC的延长线交于点Q,AC和BD交于点R,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E、F,则P、F、R、E四点共线,证…     

对学生数学问题表征能力的培养——从一道2014年高考题的别解谈起

笔者在研究2014年高考试题时,曾对全国大纲卷的第21题进行过一番思考.原题呈现:已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=5/4|PQ|.(I)求C的方程;(II)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.     

一类直线过定点问题的探究与发现

<正>1问题的提出在历年高考中经常出现直线过定点问题,见文[1]2019年高考(北京卷)文科第19题仍是一道关于直线过定点问题,该试题如下:已知椭圆C:■的左焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若OM·ON=2,求证:直线l经过定点.     

一道IMO题与一道CMO题的等价性

本文谈谈第26届IMO第5题与1997年CMO第4题的等价性。 题目1 (CMO1997-4)四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q,由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E、F,则P、E、F三点共线。 题目2 (IMO-26-5)⊙O过△ABC顶点A、C,且与AB、BC交于K、N(K与N不同),△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:     

用九点圆巧证一道竞赛题

问题如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD,BE,CF交于H,直线ED和AB交于M,FD和AC交于N.求证:     

一道集训队选拔考试题的推广

题目已知A为圆Γ外一点,直线AB、AC分别与圆Γ切于点B、C设P为劣弧BC(不含点B、C)上的一个动点.过P作圆Γ的切线,与AB、AC分别交于点D、E,直线BP、CP分别与∠BAC的平分线交于点U、V.过点P作AB的垂线,与直线DV交于点M;过点P作AC的垂线,与直线EU交于点N.证明:存在一个与点P无关的定点L,使得M、N、L三点共线.