求函数值域的途径

一、运用方程思想 运用方程思想求函数的值域，就是将函数 y=f（ x）的解析式视为关于 x的方程，根据方程有实数解的条件，求出使该方程在函数定义域内有解的所有 y值的集合，即为函数 y=f（ x）的值域 .　　例 1求函数 y=的值域 .　　解 原式可化为 y=． 变形得 (y－ 1)tg2x＋（ 1＋ y） tgx＋（ y－ 1） =0． 则关于 x的方程在已知函数定义域内有解的充 要条件是或 y=1.解得 ≤ y≤ 3， ∴所求函数的值域为〔， 3〕． 二、借助函数的几何意义 借助函数的几何意义求函数最值，充分发挥代换法及利用数形结合两方面的优势，是一种既可化…     

利用Δ法求函数值域应注意的问题

在求形如 y =ax2 bx cdx2 ex f的值域时 ,可将函数转化为关于x的二次方程 ,通过判别式求出函数的值域 .但利用Δ法求函数值域时应注意以下两个问题 .1 .如果函数 y =ax2 bx cdx2 ex f(d≠ 0 )的分母含关于x的二次三项式 ,分子的最高次是二次或一次或零次 ,函数的定义域为R ,可采用Δ法求函数的值域 .例 1　求函数 y=2x2 2x 3x2 x 1 的值域 .解 :令 g(x) =x2 x 1 ,其Δ =1 2 -4=-3 <0 ,∴故 g(x) =x2 x 1 >,函数 g(x)的定义域为R .∴已知函数可化成(y -2 )x2 (y -2 )x y -3 =0 .∵x∈R且 y≠ 2 ,∴关于x的方程应有Δ =(y…     

用判别式法求函数的值域

对于形如y=(a1x2 b1x c1)/(a2x2 b2x c2)(a1,a2不同时为0)的函数,常常用根的判别式法求其值域。这是利用方程思想、等价转化思想将所给函数转化为关于x的一元二次方程,通过方程有根,判别式Δ≥0,从而求得原函数值域。根据函数定义域的不同,一般可分为2种类型。一、函数定义域为实数集R例1:求函数y=2xx22 24xx -37的值域解:∵分母x2 2x 3=(x 1)2 2≥2∴函数定义域为R将原函数变形为(2-y)x2 (4-2y)x 7-3y=0(1)当y=2时,方程(1)无解。当y≠2时,(在用判别式前要检查方程二次项系数),由于x∈R∴方程(1)有实数解。∴Δ=(4-2y)2-4(2-y)(7-3y)≥0…     

变化思考角度,确定参数取值

函数是中学数学研究的最主要的内容之一,函数的思想方法贯穿于整个高中数学.运用函数思想解题,重在对问题中的变量的动态进行研究,从变量的运动变化寻找解题的突破口.函数和方程在一定条件下可以互相转化,本文通过转化,多角度利用函数思想确定一类方程中的参数,下面举例说明.例1若方程a x=x a的根只有一个,求实数a的取值范围.解法一(1)a=0时,方程有唯一根x=0;(2)a≠0时,原方程等价于x=x/a 1.方程根的个数等于函数y=x与函数y1x1=a .图象的交点个数.函数y=x图象为折线,函数y=x/a 1图象为过定点(0,1)的直线,可得1/a≥1或1/a≤?1时两函数图象有…     

例谈函数和方程思想在解题中的应用

函数思想就是用运动和变化的观点 ,去分析和研究数学问题中的数量关系 ,建立函数关系或构造函数关系 ,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题 ,从而使问题获得解决 ;方程思想 ,就是分析数学问题中的变量间的等量关系 ,从而建立方程 ,或构造方程 ,通过解方程 ,使问题获得解决。方程思想与函数思想密切相关 ,其关系可用下图表示 :二元方程f ( x,y) =0 　 函数y =f( x)y =0→ 一元方程 f ( x) =0y >0→或 y <0 一元不等式 f ( x) >0或 f ( x) <0x∈ N→ 数列 { an =f ( n) }一、方程问题化为函数求解例 1　设有对数方程 lg( ax) =2 1 g( …     

也谈用“方程法”求函数的值域

阅各家中学数学杂志,介绍求函数值域诸特殊方法的文章实为屡见不鲜,但对于较有一般性的“方程法”的应用,还很少有人问津,欣读最近一期《中学教研》上涉及此法的文[1],与拙文[2]可谓“所见略同”,现因觉得此文尚余意未尽,特此作些补充,以期引起进一步的探讨,并达成共识。一、用“方程法”求函数值域的解法原理所谓“方程法”,就是运用方程思想,将函数y=f(x)的解析式视为关于x的方程(y为参数),只需根据方程有实数解的条件,求出使该方程在函数定义域内有解的所有y值的集合,则此集合即为函数y=f(x)的值域。     

分组求积分因子法

一、恰当方程与积分因子形如M(x,y)dx N(x,y)dy=0 (1)的一阶常微分方程,其中M(x,y)、N(x,y)具有连续的一阶偏导数.若左边为某一个二元函数的全微分,即存在一个一元函数U(x,y)使得dU(x,y)=Mdx Ndy,则称方程(1)是恰当的,U(x,y)(或U(x,y)=C)是方程(1)的通积分.若方程(1)不是恰当的,但乘以一个二元函数μ(x,y)≠0,得到的方程     

例谈简单的初等代数函数方程的解法

在各类考试中,经常遇到与函数方程有关的问题,或直接求解某一给定的函数方程,或根据所给的函数方程确定某些函数值或确定函数具有某种性质,这类问题通常没有通法,解法因题而异,思路灵活而奇趣横生.本文以三个常见的初等代数函数方程为例,探讨其解法.在初等代数函数中,如下三种函数:(1)正比例函数:f(x)=kx(k≠0);(2)指数函数:f(x)=ax(a>0且a≠1);(3)对数函数:f(x)=logax(a>0且a≠1)在各自的定义域上都是单调函数,且它们分别满足性质:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x+y)=f(x)·f(y);(3)f(xy)=f(x)+f(y).现在我们探讨逆问题是否成立,即分别满足这三…     

巧求函数y=Asin(ωX φ)图象的对称轴

求函数y=Asin(ωX ф)图象的对称轴,一般先根据“五点法”或“平移作图法”作出函数y=Asin(ωx ф)的图象,后通过观察找出它的对称轴。其实,只要熟悉函数y=sinx图象的对称轴,便能求出函数y=Asin(ωx ф)图象的对称轴方程。     

求函数值域的两个诀窍

求函数的值域涉及到的知识面很广,是教学中的难点之一,笔者在教学中教给学生用下列方法求函数的值域,取得了理想的效果。 一、运用方程的思想求函数值域 运用方程的思想求函数值域,就是将函数y=f(x)的解析式视为关于x的方程(y为参数),只需根据方程有实数解的条件,求出使该方程在函数定义域内有解的所有y值的集合,则此集合目即为函数y=f(x)的值域。 例1 求函数y=5x-1/2x-3(x∑R,且x≠3/2)的值域, 解:把函数式看成关于x的方程,变形得 (2y-5)x=3y 1, 由此可见,原方程在函数定义域内有解的充要条件是2y-5≠0,即y≠5/2,从而可确定所求函数的值域为(-∞,5/2)U(5/2, ∞)。     

求二次分式函数值域的解题策略

求实系数二次分式函数y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)值域问题是高中数学中的常见问题,本文想将这类问题的常见类型和解法归类整理于下,希得到同行指教.1 一般类型的函数值域问题1.1 判别式法此法是将函数式转化为关于 x 的方程,根据方程有实根的条件,用判别式为非负数来求解.此法不适用于求区间值域.     

用求导法判断方程根的分布

用求导法确定方程根的分布区间和根的个数,常按以下步骤来进行:①建立好辅助函数G(x)=(?)(x)-g(x)[或y=Q(x)];②对函数y=G(x)[或y=Q(x)]求导,并确定其单调区间和单调性,求出相关的极值或最值;③画出函数y= G(x)[或y=Q(x)]的单调性变化示意图,利用数形结合思想确定其与x轴(或直线y=m)的交点个数和交点的分布区间,从而得出所求的结论.下面通过举例加以说明.     

函数与方程思想在解题中的运用

函数思想就是把字母看作变量,把代数式看作函数,利用函数的图象和性质、导数等工具去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决. 方程思想就是分析数学问题中变量间的数量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决.方程思想与函数思想密切相关.对函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0;也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数与方程的这种相互转化十分重要. 函数与方程思想,几乎渗透到高中数学的各个领域,在解题中应用非常广泛,也是历年高考的热点. 一.把代数式看作函数,利…     

函数零点问题的解决方案

函数的零点是研究函数性质的一个方面,也是高考考查的热点,在近几年的高考中出现频率非常高.本文结合几道试题介绍几种函数零点的处理方法.1解方程（方程思想）我们把使得f（x）=0成立的实数x,叫作函数y=f（x）的零点.因此,函数的零点与方程有密切的联系.方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的零点（也是函数f（x）图象与x轴交点的横坐标）;且方程f（x）=g（x）的解就是新函数y=f（x）-g（x）的零点,也是函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的交点的横坐标.因此我们可以研究方程或函数图象解决函数的零点问题.例1（2012年湖北理）函数f（x）=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为.     

函数与方程思想在解题中的运用举隅

通常函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面:许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.一、解函数、方程问题解方程f(x)=0就是求函数f(x)当函数值为零时自变量x的值;求方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点横坐标或交点个数.     

聚焦函数零点的应用问题

<正>如果函数y=f(x)在x=a处的函数值等于零,即f(a)=0,则称a为函数y=f(x)的零点,因此函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起。函数的零点是函数的一个重要性质,在分析解题思路、探究解题方法中发挥着重要作用。一、利用函数零点研究方程的根由于函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,所以在研究方程的有关问题(比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等)时,都可以将方程问题转化     

特殊化是解函数方程的思维主线

<正>现行人教版教材高中《数学》必修1中有道这样的试题:已知f (x)=3x,求证:(1)f(x)·f(y)=f(x+y);(2)f(x)÷f(y)=f(x-y)。这道试题是让验证f(x)是指定函数方程的解。那么,什么是函数方程?如何解函数方程呢?所谓函数方程就是含有未知函数的等式,使函数方程成立的函数叫函数方     

指数函数与其运算性质之关系

在中学数学中,我们把形如f(x)=a~x这样的函数叫指数函数.对于指数函数有如下运算性质:a~(x y)=a~x·a~y,即f(x y)=f(x)·f(y).反之,我们现在设函数f(x)非零连续,且满足方程f(x y)=f(x)·f(y)(1)那么满足上述条件的函数是指数函数吗?     

求最值的方法与技巧种种(续)

二、判别式法与构造方程的技巧 如果函数y=f(x)可化为a(y)·x~2 b(y)·x c(y)=0 (a(y)≠0)的形式,同时可从△=b~2(y)-4a(y)·a(y)≥0求出y的变化范围。便可考虑用判别式法求此函数的最值。判别式法多用于求分式函数或无理函数的最值。运用此法必须全面慎重,特别是对于给定区间上的函数。当用判别式法求出y的变化范围后,应将端点值代回原函数进行检验,否则易产生“增值”、“误判”等情况。     

函数零点三注意

1 基础知识 1.1注意函数的零点与方程的根的关系 一般地,对于函数y=f(x)(x∈D)我们称方程f(x)=0的实数根x也叫做函数的零点,即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y=f(x)-g(x)的零点.