令人遗憾的结束语

本刊在１９９９年１～２合刊上刊登了东江先生的“尚未成功的课例”一文．笔者读后,感触颇多．作为一名老师,必须具备传道授业、启发思维、解释疑难这三大基本素质．在这一课例中,作者通过多层次、多渠道、多角度方式使得一个平凡的例题活灵活现．同时,对两种解法的深...     

分母有理化应注意的问题

在分母有理化时，应重视分式的性质，否则会导致解题错误．下面以人教版初二《代数》中的几个二次根式习题为例来分析．例１化简a２－３a＋３√．误解：a２－３a＋３√＝（a２－３）（a－３√）（a＋３√）（a－３√）＝（a２－３）（a－３√）a２－３＝a－３√．剖析：这种解法是利用有理化因式将分母有理化，但是当a＝３√时，a－３√＝０，a２－３＝０，解题过程却出现了将分子分母同乘以（a－３√），即分子分母同乘以０了，这是分式的性质不允许的．解题过程中还出现了分母含有因式（a－３√）和（a２－３），即分母为零．因而这种解法…     

错在哪里

题目化简同学们在做这道化简题时,给出了下面两种解法：解法一分子分母同乘以,把分母有理化,并进一步整理,得解法二分子分母同乘以,把分母有理化,并进一步整理,得两种解法,两个结果．可以肯定,至少有一种解法是错误的。从原式的结构来看,原式是一个分式,其分子和分母都是正数,这个分式的使当然应该是正数．所以,解法一肯定是错误的．错在哪里呢？仔细分析一下不难发现,解法一在第二个等号之后,把分子中的变成了这是错误的．我们知道,b＝成立的条件是“b≥0”．当b＜0时,b＝．解法一正是忽略了这一条件．如果在第二个等号之…     

不该钻牛角

对东江老师《尚未成功的课例》中的例子：做分母有理化ｘ－ｙｘ＋ｙ．①我认为应从代数式中字母的取值范围入手,对学生的争议做出正面回答．众所周知：代·数·式·中·字·母·的·取·值·范·围·应·是·使·这·个·代·数·式·有·意·义·的·值·的·集·合·．...     

也谈一道教学竞赛题的解法

拜读了《小学教学参考》(数学版)2005年第5期冯惠民老师的《一道数学竞赛题的另一种解法》一文后, 深深地为冯老师这种“利用集合思想,借助韦恩图”的解题方法所叹服。但仔细研究、推敲后,笔者发现此题的解法还略显累赘、麻烦,现提出来与冯老师商榷。原竞赛题为:分母是1001的最简真分数其有多少     

“1/4>□/□>1/5”填法之我见

小学《数学》第十册第１２０页有这样一道真空题：　　。一般人们常用的是下面两种解法。 解法１：先化成同分母分数,将　与　通分,取公分母４０,则　＝　,　＝　,取中间数　,定有　＞　＞　。解法２：先化成同分子分数：　＝　,　＝　,取中间数　,定有　＞　＞　。 除以上两种一般解法外,我还总结出下面几种方法,并且比较简便。 解法１：取　与　的平均数,得 （　＋　）÷２＝　×　＝　 　　＞　＞ 解法２：把分数化成小数,得： 　＝０．０５,　＝０．２,取０．２４,必有　＞０． ２４＞　。 因为０．２４＝　,所以　＞…     

简捷计算六例

例１将的分母有理化．简析　　采用平方差公式使分母有理化，分母的组合形式有三种：．选择何种计算简捷呢？请注意的这一特征，选择①构造有理化因式，应用平方差公式，要比选择②、③来得容易．具体演算留给同学们自己完成．把本例的情况推广到一般：若分母形如ａ＋ｂ＋ｃ，其中ａ、ｂ、ｃ是二次根式，且ａ２＋ｂ２＝ｃ２，则将ａ、ｂ结合在一起，将分母有理化，其运算较为简便．例２把的分母有理化．简析　请同学们注意，本例的分子与分母之间有以下特征：即分母是两个二次根式的积，该两式的和正好等于分子，在这种特殊情况下，怎么求解…     

二次根式运算与化简的方法和技巧

二次根式的运算与化简是初中代数的一个重要内容，也是近年来中考命题的热点之一．对于二次根式的运算与化简，除了掌握和应用基本概念、基本性质和运算法则外，还必须掌握各种解题技巧，只有这样，才能给出简捷、明快的解法．下面举例说明．一、巧用乘法公式例１计算：分析　　此例若按多项式乘法展开，则运算麻烦；若巧用乘法公式，则运算就简捷了．解原式。例２计算：解原式此例是作了适当的变形后才能应用乘法公式，我们要善于作这种变形．二、巧用有理化方法例３计算：分析仔细观察不难发现，第二个分式的分母等于第一个分式的分母的平…     

解分式方程的若干技巧

解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程．然而，有些特殊分式方程单用这一方法，往往会出现高次方程，使求解陷入困境．如果善于抓住分式方程的结构形式和数值特点去分析、联想，那就可以得到巧妙的解法．兹介绍几种常用的解分式方程的技能技巧并结合实例加以说明．一、根据分式性质“”拆项例１解方程：分析若直接去分母，运算较复杂．根据分式性质拆项可简化运算过程．解原方程可化为以下验根均略去．二、利用分式相等的条件例２解方程：解原方程左边通分，方程可化为时分母为Ｏ，故原方程无解．２．若干一Ｍ，则Ｍ──０ａｔ…     

分式加减运算的技巧

分式的加减运算分为同分母的分式相加减和异分母的分式相加减．同分母的分式相加减的法则是：分母不变,把分子相加减．异分母的分式相加减的法则是：先通分,变为同分母的分式,然后再加减．以上是从一般性原则上讲的,但对一些具体分式的加减运算,若用上述的一般解法,则运算过程异常繁杂．此时应采用特殊的方法技巧,使解答简捷明快．１．逐步通分相加减２．分组通分相加减３．拆项相消后再通分相加减４．化简后再通分相加减即分别将各分式化简后再通分相加减．５．变号后再通分相加减６．条件通分注以上解题过程,第二个分式乘以,第三…     

分式运算五注意

分式运算在初中数学中占有重要的地位．初学时应特别注意以下五个问题：一、注意不可轻易约分例１使得分式无意义的ａ的值是——．（１９９６年徐州市中考题）错解当ａ－３＝０，即ａ＝３时，分式无意义．分析将因式（ａ－２）约去，就相当于分子、分母都除以一个可能等于零的代数式，无意中就扩大了分母中字母的允许值范围．本题正确答案为ａ＝２或ａ＝３．二、注意正确使用“或”与“且”例２　当ｘ为何值时，分式　　　　　有意义？（１９９３年泰州市中考题）错解当分母不为零时。分式有意义．由ｘ２＋ｘ－６＝０，解得ｘ＝－３或ｘ＝２…     

直观假设巧解题

ＤＮＡ分子中碱基比例计算类习题有很多,其解法也有所不同。笔者认为,解题必须遵循思路清晰、速度快、准确率高的基本原则,选择最佳方法。笔者在教学实践中教会学生用“直观假设法”解题,效果很好。现举例介绍如下：例１．某ＤＮＡ分子一条链中（Ｃ＋Ｔ）／（Ｇ＋Ａ）＝０．２,那么它的互补链中其比例应为Ａ．５　　Ｂ．２．５　　Ｃ．１　　Ｄ．０．２解法分析：图１１．先画出一个ＤＮＡ分子示意图（见图１）,标出ａ、ｂ链。２．假设ａ链符合（Ｃ＋Ｔ）／（Ｇ＋Ａ）＝０．２,即Ｃ＋Ｔ为２个,Ｇ＋Ａ应为１０个。３．按碱基互补配对…     

2.2 一元二次方程的概念和解法

第1课时 一元二次方程的概念和解法 重点考点 1．一元二次方程的特征：含有未知数的式子均为整式（即分母不含未知数）;有且只有一个未知数;未知数的最高次数为2次．     

巧用通分法解分式方程

《分式》一章介绍了可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．在解题时,如果遇到（或者可以化为）形如的分式方程．若ａ－ｂ＝c－ｄ,这类分式方程采用去分母的方法来解比较繁难;若采用方程左、右两边各自通分的方法,则能找到解题的捷径．请看下面几例．例１解方程：分析直接去分母运算太繁,方程两边各自通分,可化繁为简．解方程两边各自通分,得解之,得经验验,是原方程的解．例２解方程：分析此方程的特点是：各分式的分子和分母的次数相同,这样的方程一般可将每个分式化成整式与分式的和的形式,使分子降次后再用各自通分法求解…     

分式方程解法种种

分式方程的解法很多．解题时，若能根据方程的特点，灵活选择解法，将优化解题过程，提高解题速度，收到事半功倍的功效．现举例说明分式方程的几种解法如下：一、去分母法这是一种基本的、常规的解法．解方程时，用各分式的最简公分母去乘方程的两边，约去分母，化为整式方程求解．＋ha·各分式的最简公分母为（X＋2）（X－Z），用它乘方程两边，可约去分母，化为整式方程．要注意，用最简公分母乘方程两边时，别忘了它与1相乘．二、换无法含有倒数关系的分式方程，可设其中的任意一个为新未知数y坝u原方程变为ax＋yC，再把它化为一元二…     

也谈“一类分数题目解法的探讨”

本刊1990第三期刊载《一类分数题目解法的探讨》一文,读后频受启发。笔者经过研究,发现解此类题目仍有更为简便的方法。现以该文所列举的部分例题为例说明如下。例一:7/11的分子减去某数,分母加上同一个数,变成1/2,求某数。分析:无论某数是多少,原分数的分子与分母的和7 11=18是不变的。当原分数的分子减去某数,分子加上同一个数后,新分数1/2的分子与分母和变成1 2=3。若要保持原来的和不变,必须把新分数1/2的分子与分母同时扩大18 3=6(倍)。即:     

逆思

逆向思维用于解题,有时比一般解法简洁明快,且常进发出创造性火花.以下举几例说明.一、分母与分子当考虑分母有困难时,可尝试考虑它的分子.     

抓住分子这个“不变量”

(/)例有一个分数,分母加1则为25,分母减2则为49,求这个分数。分析这道题,分母变,分数值也跟着变,但是,分子没有变。抓住分子这个不变量,本题就好解了。解法一把分子看作单位“1”。那么,“加1”以后的分母,就相当于分子的52;“减2”以后的分母,就相当于分子的94。这样,分子的(52-94)就是1+2=3于是原分子为:(1+2)÷(52-94)=12,原分母为:12×52-1=29。答:原来的分数是1229。解法二无论是分母加1,还是分母减2,约分前,分子都没有变,所以先把分子化相同,25=410,410与49,分母相差1。而“分母加1”与“分母减2”以后的两个分数,分母相差3,所以设法…     

“别开生面”的分母有理化

分母有理化是将分母中的根号化去.其方法是利用分式的基本性质“将分子与分母同乘以分母的有理化因式”来进行的.本文以人教版初中代数第二册课本题为例,介绍几种有别于课本的“分母有理化”的方法.其解法更显简洁、活泼,又极富创意,以此供同学们借鉴与参考.     

“尚未成功”的原因何在

东江老师能把自己不成功的课例发表出来,这既是明智之举,也是一种有识之作,同时也足见编辑为中学数学教学服务的良苦用心．这节思维训练课确实有“尚未成功”之处,原因在哪里呢？东江老师自己清醒地意识到有四点（参见原文）．从表面上看,这四点确是“尚未成功”的原...