函数最值问题中错解剖析

一、忽视条件中隐含条件致误例1已知3x2 2y2=6x,求x2 y2最大值.错解:由已知得y2=3x-32x2,代入,得x2 y2=x2 3x-32x2=-12(x-3)2 29,故当x=3时,x2 y2取最大值为29.剖析:由y2=3x-32x2≥0,得0≤x≤2,也就是说x=3是取不到的.原因是忽视条件中x的隐含条件是0≤x≤2.正解:由已知得y2=3x-32x2,代入,得x2 y2=x2 3x-32x2=-12(x-3)2 29,又由y2=3x-32x2≥0,得0≤x≤2.故当x=2时,x2 y2取最大值为4.二、运用判别式而致误例2求函数y=x $5-x2的最值.错解:移项平方整理,得2x2-2yx (y2-5)=0.由Δ≥0,即4y2=8(y2-5)≥0.得-$10≤y≤$10.所以ymin=-$10,ymax=$10.剖…     

三角代换的解题功能

三角代换在解题过程中显示着特殊作用 ,本文结合实例介绍几种常见的功能 .1　简化功能有些具有多种解法的题目 ,用三角代换可以去掉根号、减少变元、简化结构、缩小计算量、简化或避免复杂的讨论等等 ,从而化繁为简、化难为易 ,使问题简捷获解 .例 1　求函数 y=x- 1 + 5- x的最值 .析与解　由于 y与 y2同时取得最值 ,故将原式两边平方 ,利用二次函数可求得结论 ,但此法繁琐 .用三角代换可得下面优解 .由 x- 1≥ 0 ,5- x≥ 0 ,得 1≤x≤ 5,0≤x- 1≤ 4 .设 x- 1 =4 sin2 θ( 0≤θ≤ π2 ) ,则y=x- 1 + 5- x=4 sin2 θ+ 5- ( 1 + 4 sin2 θ)=…     

2010年高考试题研究 1．全国卷Ⅰ理科第3题

题目若变量x,y满足约束条件{y≤1 x＋y≥0,则z=x-2y的最大值为 x-y-2≤0 （ ） （A）4．（B）3．（C）2．（D）1． 分析在线性的约束条件下,     

一道线性规划题的多解

题目（2010高考山东卷理科） 设变量x,y满足不等式组x-y＋2≥0 x-5y＋10≤0, x＋y-8≤0则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为（ ）     

一道全国数学联赛试题的教学与反思

1展示矛盾,引发思维冲突日前在给本校高三理科实验班上课时讲到2001年全国数学联赛第11题:求函数y=x x2-3x 2的值域.上黑板板演的两位同学给出了以下两种不同的解法:学生甲:两边平方y2-2xy 3x-2=0,解得x=y2-22y-3,又定义域为(-∞,1]∪[2, ∞),故2y2y--32≤1或2yy2--32≥2,解得y     

一道全国竞赛题的多种解法

20 0 1年全国高中数学竞赛第一试第 11题为 :函数 y =x + x2 - 3 x+ 2的值域为.下面提供五种解法 ,以飨读者 .解法 1　移项得 y- x=x2 - 3 x+ 2 ,上式等价于 (y- x) 2 =x2 - 3 x+ 2 ,y- x≥ 0 .12由 1得 x=y2 - 22 y- 3 ,代入 2得 y- y2 - 22 y- 3≥ 0 ,即 (y- 1) (y- 2 )2 y- 3 ≥ 0 ,解得 1≤ y<32 或y≥ 2 .故原函数的值域为 [1,32 )∪ [2 ,+∞ ) .解法 2　原函数式可变形为 y=x+(x- 32 ) 2 - 14,∵ x2 - 3 x+ 2≥ 0 ,∴ x≤ 1或 x≥ 2 .令 t=x- 32 ,则 t≤ - 12 或 t≥ 12 ,y=t+ 32 + t2 - 14.当 t≥ 12 时 ,y是 t的增函数 ,当 t=12时 ,…     

三角代换的误区

三角代换法是代数式化简、变形和求值中常用的方法之一 .在使用此方法求函数的值域或最值时 ,容易出现错误 .请先看全国著名一线教师编著的《中学数理化一题多解系列丛书——高中数学卷》(东北师范大学出版社出版 )上一个题目及其解答 :求函数 y =x 1 - x2的最大、最小值 .解 :解法 1 :把函数变形为 y - x =1 - x2 1即 (y - x) 2 =1 - x2 22 x2 - 2 yx y2 - 1 =0 ,方程有实根Δ =4 y2 - 8(y2 - 1 ) =8- 4y2≥ 0y2≤ 2 ,所以 - 2≤ y≤ 2函数的最大值为 ymax =2 ,最小值 ymin =- 2 .解法 2 :设 x =sinθ (- π2 ≤θ≤ π2 ) ,则y =sinθ…     

方程为多元搭桥

面对含二元、三元 ,甚至多于三元未知问题时往往会令我们束手无策 ,但方程思想为我们指明了一条光明大道 .【例 1】　已知x ,y ,z∈R ,x+y +z=π ,x2 +y2 +z2 =π22 ,求证0 ≤x≤2π3 ,0 ≤y≤ 23 π ,0 ≤z≤ 23 π分析 :x ,y ,z为三元尽管具有对称性但让我们无从下手 .怎样才能减少变元从而化归为我们所熟悉的问题呢 ?且看方程解 :由题知　y+z =π-x ①y2 +z2 =π22 -x2 ②①2 -② y·z =x2 -πx+ π24= (x -π2 ) 2 ③由①③可得y·z是方程t2 -(π-x)t + (x-π2 ) 2 =0的两实数根 .∴Δ =(π -x) 2 -4 (x -π2 ) 2 ≥ 0 x· ( 3x-2π)…     

不等式常见错误剖析

一、忽视隐含条件导致错误【例1】当3x2-6x 2y2=0(x,y∈R),求使不等式x2 y2≤a恒成立的a的取值范围.错解:由已知得y2=21(6x-3x2),则有x2 y2=x2 12(6x-3x2)=-21(x-3)2 29,所以当x=3时,x2 y2取得最大值29,故当a≥92时,不等式x2 y2≤a成立.剖析:在利用3x2-6x 2y2=0将x2 y2化为仅用x表示的函数式时,忽视了等式对x的制约.事实上,y2=21(6x-3x2)≥0得0≤x≤2,显然,x取不到3,使x2 y2有最大值29.正确解法:由已知得y2=12(6x-3x2),则x2 y2=x2 12(6x-3x2)=-21(x-3)2 29.又因为y2=21(6x-3x2)≥0,所以0≤x≤2.由函数y=-21(x-3)2 29在[0,2]上是增函数,所以…     

“思维受阻”怎么办？——从寻求一个题目的解法中想到的

近日笔者偶解一题,题目虽为简单,然收获甚丰.现将寻求其解法的整个过程及心得给予阐述,以期与大家共享.题目求函数y=12x-9x(x∈[1213,4])的最小值.思路1将这个函数转化为有理函数.由于x∈[1213,4],所以y=f(x)>0,于是原函数等价于y2=(12x-9x)2,x∈[1213,4].整理得到关于x的一元二次方程:y2x2-12x 9=0(x∈[1213,4]).①因为①有实数解的必要不充分条件是:Δ=(-12)2-4·y2·9≥0,所以y2≤4.又因为y>0,可得y≤2.不难发现,由这个结论得不到y的最小值.思维受阻,放弃这个想法.(可惜)思路2有理函数u=y2=12x-9x2,x∈[1213,4]的最小值有其它的解法吗?由…     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

一道美国数学月刊征解题的新解与推广

题目设x,y,z∈(0,+∞)且2 2 2x+y+z=1,求函数f=x+y+z xyz的值域.这是一道《美国数学月刊》征解题,文[1]运用三角代换及导数给出了此题的一个解法,文[2]给出求f上界的抽屉原则的解法,文[3]给出了幂平均不等式的解法.此题运用初等数学的知识来解难度都比较大,下面以高等数学中的拉格朗日乘数法为突破口,给出此题的一个简单解法.解设拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=x+y+z2 2 2xyzλ(x+y+z 1),对L求偏导数,并令它们都等于0,则有1 2 01 2 0L yz x x L xz yλλ====,,2 1(1)yz xλ+=,,     

用判别式法求函数值域

判别式法是求函数值域的主要方法之一,方程思想在函数问题上的应用。它的理论依是:函数的定义域是非空数集,将原函数看作以y为参数的关于x的二次方程,若方程有数解,必须判别式Δ≥0,从而求得函数的值。因此,判别式法求函数值域的适用范围虽然泛,但又是有条件制约的。一、判别式法的广泛性⑴判别式法不只适用于形如y=x2+b1x+c1x2+b2x+c2(a12+a22≠0)的函数的值域问题。例1:求函数y=x-2-x√的值域。解:由已知得x-y=2-x√∵2-x≥0∴x≤2,又∵x-y≥0∴y≤2y=x-2-x√两边平方,整理得:x2-(2y-x+y2-2=0则解得y≤94又∵y≤2,故原函数的值域为狖y∈R…     

谈一道习题的解法

在一些资料中常见到如下一类习题,现例举一个题及解法于后。题目:已知x+y/z=y+z/x=z+x/y=k (1) 求k之值 (解1) 由(1)可得(2)+(3)+(4)得2(x+y+z)=k(x+y+z) 两边同除以(x+y+z)可得k=2. 另一种解法是:上法中(2)—(3)得y—x=k(x—y) ∴ k=—1 以上两种解法的解,确系原题的解。显然各种解又是不完善的,解法也是不妥当的。这样的错误     

求函数值域的途径

一、运用方程思想 运用方程思想求函数的值域，就是将函数 y=f（ x）的解析式视为关于 x的方程，根据方程有实数解的条件，求出使该方程在函数定义域内有解的所有 y值的集合，即为函数 y=f（ x）的值域 .　　例 1求函数 y=的值域 .　　解 原式可化为 y=． 变形得 (y－ 1)tg2x＋（ 1＋ y） tgx＋（ y－ 1） =0． 则关于 x的方程在已知函数定义域内有解的充 要条件是或 y=1.解得 ≤ y≤ 3， ∴所求函数的值域为〔， 3〕． 二、借助函数的几何意义 借助函数的几何意义求函数最值，充分发挥代换法及利用数形结合两方面的优势，是一种既可化…     

线性规划中目标函数的几种类型及解法

线性规划初步是高中教材新增内容,这类问题的典型提法是:一个目标,若干条件;典型解法是代数几何并用,确定范围,伺机求解.下面笔者将结合一些例题,谈谈目标函数的几种类型及解法.类型1形如z=ax by型的目标函数例1已知点P(x,y)在不等式组x-2≤0,y-1≤0,x 2y-2≥0表示的平面区域上     

2019年高考浙江卷第21题的探究及教学启示

<正>2019年全国卷Ⅲ第23题是:设x、y、z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若成立,证明:a≤-3或a≥-1.1 解法探究解法一 (1)设P0(x0,y0,z0)是平面α上的某一个定点,P(x,y,z)是平面α上的任意一点,n=(A,B,C)( 其中A2+B2+C2≠0)是平面α的一个法向量,从而,即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,若令D=-(     

2005年全国高中联赛加试第二题别解

2005年全国高中数学联赛加试第二题:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数 f(x,y,z)=x~2/(1 x) y~2/(1 y) z~2/(1 z)的最小值.下面给出与标准答案不同的另外四种解法.解法1:由条件可得 x=(b~2 c~2-a~2)/(2bc),故     

线性规划中目标函数的几种类型及解法

线性规划初步是高中教材新增内容,这类问题的特征是一个目标,若干条件,解决问题的基本方法是代数方法与几何方法并用,确定范围,灵活求解.下面笔者将结合一些例题,谈谈目标函数的几种类型及解法.类型1z=ax by型.例1已知点P(x,y)在不等式组x-2≤0,y-1≤0,x 2y-2≥0表示的平面区域     

应用分类讨论解决一道线性规划题

人民教育出版社2005年出版的《普通高中新课程标准实验教科书（必修）数学5（B版）》108页第13题：设实数x，y满足不等式组{1≤x＋y≤4，y＋2≥｜2x-3｜，（1）求点（x，y）所在的平面区域；（2）设a〉-1，在（1）所求的区域内，求函数f（x，y）=y-ax的最大值和最小值。