找准切入口,让教学贴着学生的思维前行

<正>有这样一道题目:求图中环形跑道的长度(如图1)。笔者在批改作业时发现,平时成绩较好的学生这样计算:(100+64)×2+3.14×64=528.96(米),而一个平时学习并不出色的学生则出人意料地做对了:3.14×64+200=400.96(米)。无独有偶,笔者又试着出了这样一道奥林匹克竞赛题(如图2):正方形的面积为1,E、F为边的中点,G为FC的三等分点,求     

真是怪题吗?

今年红河州小学毕业班数学竞赛有这样一道题:“以三角形的三个顶点为圆心,画半径是一厘米的三个圆。求阴影部分面积之和是多少平方厘米?”如图:     

有感于“老师，我还有一种方法”

近日偶尔翻看听课笔记，当翻到小学毕业班求阴影部分的复习课时，眼前仿佛又闪现那一堂精彩的教学课。老师出了一道题：如图已知任意△ABC的面积为500平方厘米，∠B＝45°，AD⊥BC于D，BDE为扇形，BD∶CD＝2∶3，求S阴影面积。学生们大都采用：因为BD∶CD＝2∶3，所以S△ABD∶S△ACD＝2∶3500÷5×2＝200(平方厘米)摇就是△ABD的面积。而阴影部分的面积为S△ABD-18S圆(BD为半径)，因为12BD×AD＝200平方厘米，所以BD×AD＝400(平方厘米)，而∠B＝45°，所以BD＝AD，即圆的R2＝400(平方厘米)。所以S阴＝200-3.14×400…     

习题评介(二)

〔习题〕已知图中等腰直角三角形的面积为8平方厘米,求阴影部分的面积. 〔评析〕这道题的比较简便的解答思路是3.14×(8×2)×3/4=37.68(平方厘米).它在全面考查学生知识和能力方面有如下四个特点. 简.即言简意明,图文互衬,能帮助学生很快地     

比例尺是距离比不是面积比

数学课上,梁老师出了这样一道题: 在一张比例尺为 1:5000的地图上,有一个长4厘米、宽3厘米的长方形,这个长方形的实际面积是多少平方米? 大部分同学是这样做的: 1.先求图上长方形的面积。4×3=12(平方厘米)     

学生是聪明的

一次,我让学生解答这样一道题:“求图中阴影部分的面积”(图A)。解答时,大部分同学是这样解的,即:(扇形面积-小三角形面积)+(梯形面积-扇形面积)=(3.14×22÷4-2×2÷2)+[(4+2)×2÷2-3.14×22÷4]=4(平方分米)。针对学生的一般解法,我及时启发:“谁还能找到别的解法?”这时,一个同学很快黑板上列出4×2÷2=4(平方分米)这样的算式来。同学们感到惊讶,于是纷纷要他说出列式的理由。他说:“我是先把上面扇形中的阴影部分移到下面扇形中来,整个阴影部分的面积就是三角形的面积。”说着,他在黑板上画出了移动后的图形(图B)。同学们看了,都恍然…     

由错判而悟出的教训

五年级期中考试时有这样一道题：把一个棱长10厘米的正方体切开成两个完全相等的长方体，它的表面积增加了多少平方厘米?大多数同学的解法是：(10×5×2+10×10×2+5×10×2)×2-10×10×6＝200(平方厘米)。其中有一位同学的解法却与众不同，他的解法是：10×10×2＝200(平方厘米)。阅卷老师却认为他的解法没有道理，结果相同实属巧合，于是判为错解。当试卷发下去以后，那位同学找到阅卷老师，说老师判得不正确，并阐述了他的理由：根据题意可知：一个棱长10厘米的正方体切成两个完全相等的长方体后，原来这个正方体面积就是切开后两个长方…     

他俩的解法为什么不对

例 一张长 厘米、宽 厘米的长方形纸,把它裁成 12 5长 厘米、宽 厘米的小长方形纸片,最多可裁成多少块?3 2 小林的解法是: 求整张纸的面积 (平方厘米) 12×5=60 求小纸片的面积 (平方厘米) 3×2=6 求裁成的块数 (块) 60÷6=10 小红的解法是: …… 2 12÷3=4 5÷2=2 1 3 3 3 3 (块) 2 4×2=8 小朋友,他俩谁做得对? 1 小红的解法不对,小林解的得数虽然对了,但是一种巧合,很多地方这种方法是行不通的。正确的解法应该是: …     

根据倍数关系巧解

例已知梯形的上底是20厘米,下底是30厘米,其中阴影部分的面积是150平方厘米。这个梯形的面积是多少平方厘米?一般解法:因为梯形的高与三角形ABD底边AD上的高相等,而根据题意得:三角形ABD底边AD上的高等于150×2÷20=15(厘米),所以这个梯形的面积是(20+30)×15÷2=375(平方厘米)。巧解一:因为梯形的高与三角形ABD底边AD上的高相等,所以BC的长度是AD的几倍,三角形BCD的面积就是阴影部分面积的几倍,再把两个三角形的面积加起来就是答案,即梯形的面积是150×(30÷20)+150=375(平方厘米),或150×(30÷20+1)=375(平方厘米)。巧解二:由高…     

假设和求证

有这样一道小学数学竞赛题:“如图(一),已知正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD的边长是10厘米,则图中阴影部分(三角形BFD)的面积是多少?”老师们常常想到连接CF,则CF∥BD,F点与C点到BD的距离是相等的,所以,阴影部分三角形BFD)的面积与三角形BCD相等,面积是正方形ABCD面积的一半10×10÷2=50(平方厘米)。但是,这种解法实际上用到了中学几何的     

巧妙拼合算面积

同学们,你一定知道,三角形三内角的和等于180°。如果分别以三角形三个顶点为圆心,以1厘米为半径画圆,如右图,想一想阴影部分的面积和是多少?通过移动以后,阴影部分成为一个半径1厘米的半圆。即阴影部分的面积为3.14×12÷2=1.57(平方厘米)。用同样的思路,想一想右面这些图形中阴影部分面积之和是多少(长度单位:厘米)。巧妙拼合算面积@朱金夫     

让思维展开翅膀

数学兴趣小组活动时，辅导老师出了一道题：“有一个长方体形状的木块，它的尺寸如下图所示（单位：厘米）。现在将它切成３块形状和大小完全一样的长方体。这３块长方体的表面积的和比原来木块的表面积增加了多少平方厘米？朱宇丹同学思索了一会儿，列出了算式：１２×６×２×２＝２８８（平方厘米）“朱宇丹解答对了吗？”辅导老师问。“朱宇丹解答对了。”郑星抢先说，“因为把原来的木块切成３个完全一样的长方体后，木块的表面积增加了４个截面的面积。”“还有不同的意见吗？”辅导老师问。这时，大家沉默不语。“从朱宇丹的解法中可…     

78.5%的妙用

五年制小学数学第十册第一单元有这样一道题:要在边长为2分米的正方形铁皮内剪一个最大的圆制造零件,这个圆的面积是多少?求铁皮的利用率。 根据题意,这个最大圆的半径就是这个正方形边长的一半。即1分米;要求铁皮的利用率,即是求圆面积占正方形面积的百分之几? S_圆=n×1~2≈3.14(平方分米) S(正方形)=2×2=4(平方分米) (π/4)×100％≈78.5％ 答:这个圆的面积是3.14平方分米;铁皮的利用率是78.5％。 由此可以得出:在正方形内剪一个最大的圆,圆的面积占正方形面积的78.5％。     

同底等高的妙用

有这样一道题:已知三角形ABC的面积是36平方厘米,是平行四边形CDEF面积的2倍。求阴影部分三角形BEF的面积。     

不能这样列式

课堂作业时,教师让学生完成下面这道简单应用题:用一根长16厘米铁丝围成一个正方形,正方形面积是多少平方厘米?有位学生按如下解题思路进行了解答:16÷4×4=4×4=16(平方厘米)。这种解答对不对呢?执教者认为是对的。他的理由是学生内心已完全明白了解题的基本原理和步骤,只是列式欠妥而已。我对此有不同的看法。教师布置学生完成的这道题是一道已知正方形周长求面积的题。解题时,需先求正方形的边长。本题正方形的周长是16厘米,那么,正方形的边长就是(16÷4)厘米。求面积的正确算式应该是16÷4×(16÷4).学生的列式中,16÷4表示正方形的边长是4厘米,而     

同底等高的妙用

有这样一道题:已知三角形ABC的面积是36平方厘米,是平行四边形CDEF面积的2倍。求阴影部分三角形BEF的面积。     

“24÷2÷2”有意义吗?

一次数学课,教师让学生用多种解法解答下题。如下图所示,一个平行四边形(单位:厘米),面积为24平方厘米,求阴影部分的面积。学生解题时,教师巡回检查,发现大部分学生的解法有三种: (24÷3一4)×3÷2 24一(24÷3+4)x3+2 (24一4×3)÷2于是,在列这三种算式的     

彩色粉笔的妙用

求右图阴影部分的面积,一位老师是这样拓宽学生解题思路的: 师:(用红粉笔突出扇形ABD)现在谁会求阴影部分面积? 生:10×10-(10×10-3.14×10×10×1/4)×2。师:你是怎样想的呢? 生:阴影部分的面积等于正方形面积减去两个空白部分的面积。一个空白部分的面积等于正方形面积减去扇形ABD的面积,所以阴影部分的面积等于……师:(再用红粉笔添上辅助线BD)现在阴影部分的面积又怎样求呢? 生:(3.14×10×10×1/4-10×10×1/2)×2。师:你又是怎么考虑的呢? 生:添上辅助线BD后,就把阴影部分平均分成了两份。一份的面积等于扇形ABD的面积减去三角形ABD的面积。因此阴影部分的面积……     

出彩的课堂

教学“圆环的面积”一课,我出示了一道题:一个环形铁片,外圆半径6分米,内圆半径5分米,它的面积是多少平方分米?题目出示后,学生们纷纷列式解答。一个学生报出答案:3.14×62-3.14×52=113.04-78.5=34.54(平方分米);又一个学生列出:3.14×(62-52)=3.14×(36-25)=34.54(平方分米)。忽然,有个学生站起来说:“我还有一种解法:3.14×(62-52)=3.14×11,不正等于3.14×(6+5)吗?”没想到学生提出这样一个问题,我犹豫了片刻说:“这样计算可以吗?请同学们举几个例子验证一下。”学生们忙开了,有的在草稿纸上写着,有的围在一起讨论。一生:不行,比如:3.14…     

有关π的计算技巧

在圆的周长和面积、圆柱的表面积和体积、圆锥的体积计算中,由于π参与列式计算,使计算变得比较繁杂,极易出现错误。如何根据题目中的数字特征,灵活、迅速、正确地计算呢?下面介绍有关π的计算技巧。一、巧用运算定律。我们可以灵活运用乘法换律、结合律和分配律,改变运算顺序,这样就能避免π多次参与计算,使计算简便,提高计算速度。例1:一个圆柱体,底面半径5厘米,高15厘米,求它的表面积。2×3.14×5×15+3.14×52×2=3.14×150+3.14×50(乘法交换律、结合律)=3.14×(150+50)(乘法分配律)=3.14×200=628(平方厘米)二、巧变运算形式。根据分…