也谈四边形的余、正弦定理

<正> 文[1]提出了四边形的余、正弦定理及其证明。本文用[2]提供的向量方法来简明处理,并给出立体几何中“异面直线上两点的距离公式”的新证明。     

空间正弦定理

我们曾在文[1]中导出了空间余弦定理,并提出解四面体的新的课题和要求。介于目前没有更多的公式和法则的配合,使这个课题难于实施和发展。为此,本文再次导出四面体和平面三角形相对应的又一重要结论——空间正弦定理。以下文字若无特别申明,我们将沿用文[1]的有关概念和符号。     

正弦定理面面观

正余弦定理是三角中非常重要的公式,它们具有广泛的应用,故值得我们研究和总结．为此,文［１］对余弦定理作了多方位探讨．本文再给出正弦定理的别证、变式及应用,供读者参考．正弦定理　在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且等于外接圆的直径,即ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２Ｒ．１．定理的证明教材中是运用三角形的面积公式Ｓ△＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ｃａｓｉｎＢ来证明的,除此之外我们可利用几何法构造直角三角形或利用余弦定理来证明．证明：如图１,在△ＡＢＣ中,作ＣＤ⊥ＡＢ,…     

正弦定理的联想

本文将给出一个类似于正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R的余弦形式。然后举例说明它的应用。 [定理] 设△ABC的外接圆半径为R,垂心为H,则AH=2R|cosA|,BH=2R|cosB|,CH=2R|cosC|。证:设BC=a,AC=b,AB=c,取如图所示的坐标系,则A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA,bsinA)。∵ K_(AC)=tgA,而BH⊥AC,故K_(BH)=-ctgA。∴直线BH的方程为y=-ctgA(x-c),于是CH=|yC-yH|=|bsinA bcosA·ctgA-cctgA|     

正弦定理的推广

类比推理是一种重要的推理方法。 [例1] 在ΔABC中,三边所对的角分别为A、B、C,则有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC.证明根据ΔABC的面积得1/2 bcsinA=1/2 casinB=1/2 absinC,同除以1/2 abc得将四面体与三角形加以类比。以三角形的边与四面体的面,三角形内角与四面体各面两两所成的二面角的平面角类比,可以得到揭示四面体中各面及棱与相应二面角的平面角的正弦问关系的结论,其数学表达式与正弦理极为相似,证明从四面体的体积入手。     

正弦定理的应用

正弦定理揭示了任意三角形中的客观规律,是解三角形的重要工具.通过应用发现它与三角函数、平面向量知识有着密切的联系,特别是经常与三角函数联系在一起,以正弦定理为工具,要通过三角恒等变换来解决问题,考查的题型主要包括解三角形、判断三角形的形状、求三角形的面积等.     

正弦定理的应用

本文概述了正弦定理在某些方面的应用 .     

正弦定理的证明

正弦定理一方面是对前面学习的三角知识的应用,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,而定理本身的应用又十分广泛。同时,作为三角形中的一个定理,对它的由“定性研究到定量研究”也是一种重要的数学思想,本文给出定理的几种证明方法。     

正弦定理的妙用

运用正弦定理证平面几何题,一般具有思路清晰,过程简单,可以避免少联或不联辅助线等优点;现举例说明如下: 一证明比例式 例1在四边形ABCD中,M、N分别为八D、BC的中点,延长材N交BA的延长线于尸,PB一QC 一一PA一QD!又l…l交CD的延长线于Q,求证: 证明: 止,__.尸AA几f在△尸AM中=二二于二一子二于下协一-一一,sin乙3 sin乙2二》尸A二AM污In艺3 sin乙2在△QDM,QD=中一一卫卫一一一’sln(180’一乙3)刀几介in匕3 sin乙1 DMsin乙1sin乙2sin匕1在△尸BN和△QCN中同理可证二_、{‘K了,in乙1夕 一一A一D尸一Q 冷 尸A尸B冷丽=衷二…     

四边形中的蝴蝶定理和坎迪定理

1990年全国高中数学冬令营选拔赛试题第3题为(见文[1]): 在“筝形”ABCD中,AB=AD,BC=CD,经过AC、BD的交点O任作两条直线,分别交AD于E,交BC于F,交AB于G,交CD于H。CF、EH分别交BD于I、J。求证:IO=JO(图1)。 李长明教授在《筝形性质的推广与蝴蝶定理的关联》一文中将其作了如下推广(见文[2]):     

三维空间中的正弦定理

众所周知,正弦定理是关于三角形边角关系的重要恒等式。它在解三角形中扮演极为重要角色。本文将运用立体几何的有关知识将它予以推广,得到三维空间中的下述正弦定理。 定理 设四面体A_1A_2A_3A_4的四个面     

正弦定理及其应用

众所周知 ,在△ ABC中 ,A,B,C为三个内角 ,a,b,c为对应三边 ,R为△ABC的外接圆半径 ,则有正弦定理　 asin A=bsin B=csin C=2 R.正弦定理是揭示三角形的边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理 .灵活运用正弦定理解几何题 ,往往可以避免因添设辅助线所带来的困难 ,而且在许多情况下 ,能使证明思路自然 ,解法简捷明快 .使用正弦定理 ,应注意它的变形 :(1) ab=sin Asin B,bc=sin Bsin C,ca=sin Csin A.这表明 ,通过正弦定理 ,可实现边长之比与角的正弦之比的相互转化 ,从而将边的关系转化为角的关系用三角知识来解决 ,或者是将…     

正弦定理变形一得

在△ABC中利用正弦定理:(a/sinA)=(b/sinB)=(c/sinC)=2R (acosA) (bcosB)=2R(sinAcosA sinBcosB)=R(sin2A sin2B)=2Rsin(A B)cos(A-B)=2RsinCcos(A-B)=ccos(A-B)≤c (当且仅当A=B时取等号), 同理bcosB ccosC≤a;     

正弦定理和余弦定理

正弦定理在任何三角形中,边和对角的正弦成正比： a/sin A=b/sin B=c sin C. 证明：令A、B和C是任意三角形的内角,并令a、b和c为它们的对边．我们考察两种三角形,一种是所有角都为锐角的三角形（图1（a））,另一种是有一个角为钝角的三角形,这里这个角为角A（图1（b））．     

正弦定理教学设计

高中数学新教材第一册(下)中,关于正弦定理的证明不蹈常规,不用以前老教材中简单的面积证法,而改用向量的证法,虽说学生可以     

正弦定理及其应用

同学们都熟知,在△ABC中,A、B、C为三个内角,a,b,c为三边,R为△ABC的外接圆半径,则有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正弦定理它是揭示三角形的边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理.灵活运用正弦定理解几何题,往往可以避免因添设辅助线所带来的困难,而且在许多情况下,能使证明思路清晰,解法简捷明快.     

巧用正弦定理解题

设△ABC的三边为a、b、c,对角分别是A、B、C,则有a/sinA=B/sinB=c/sinC=2R,其中R为△ABC的外接圆半径,这就是正弦定理,运用正弦定理,证平面几何题,常具有思路清楚,过程简单,少作或不作辅助线等优点,下面举例说明,     

正弦定理及其应用

(本讲适合初中) 正弦定理是揭示三角形的边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理,在数学竞赛中,许多几何命题,借助于正弦定理,其解法往往较之于纯几何方法简捷、明快。正弦定理的原始形式是     

正弦定理教学设计

通过观察——实验——归纳——猜想——证明的数学思想方法发现并证明正弦定理,让学生经历了知识形成的过程,感受到创新的快乐,激发学生学习数学的兴趣,培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法。