探求三角形的外接圆半径

<正>我们知道任意一个三角形都有外接圆,如何求三角形的外接圆的半径呢?其主要方法是构造直角三角形,利用相似三角形、勾股定理等知识求解.一、特殊三角形1.直角三角形例1已知:如图1,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=5,求△ABC的外接圆的半径r.分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边.解:因为AB=13,BC=12,     

《解直角三角形》与《二次函数》考点精讲

《解直角三角形》和《二次函数》这两章的知识,在近年来的中考中高频出现,题型推陈出新变幻多样.下面来看看这两章的一些考点.具体的考查内容主要包括以下几个方面:基础知识与基本技能;数学思考;解决问题;数学活动等.一、基础知识与基本技能1.关于解直角三角形例1图1是引拉线固定电线杆的示意图.已知:CD⊥AB,CD=33m,∠CAD=∠D BD=60°,则拉线AC的长是m.考查内容:运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.答案:A C的长是6m.2.关于二次函数了解二次函数的概念与表示方法,能用适当的函数表示某些实际问题中变量之间的关系,能根据函…     

圆中常见辅助线作法例析

一、作弦心距 在圆中,当解决与弦有关的问题时,常作弦心距这条辅助线,构造直角三角形进行计算,或利用垂径定理进行证明(线段相等或弧相等). 例l 如图l所示,⊙O的半径弦点为弦上一动点,则点到圆心的最短距离是 ______cm. 分析:点P在弦AB上运动,圆心在弦AB所在直线外,根据"直线外一点到直线上所有连线中,垂线段最短",结合勾股定理即可解决.     

关于测量问题

解直角三角形是初中几何的重要内容之一,在社会实践中也有着广泛的应用.土地测量、面积计算、工程建筑、机械制造、航海航空等许多问题都可归结为解直角三角形问题来解决.一般步骤是:先把实际问题抽象为解直角三角形问题,画出示意图,再利用相关的知识,如勾股定理、两锐角互余关系以及边角之间的关系等求出问题的解.     

两圆公切线长的计算方法

两圆公切线长的计算,无论是外公切线长的计算还是内公切线长的计算,都归结为直角三角形的计算．计算外公切线长时,直角三角形由圆心距和两圆半径的差确定;计算内公切线长时,直角三角形由圆心距和两圆半径的和确定．辅助线的作法是：连结两圆过切点的半径,再过其中一圆的圆心作公切线的平行线,交另一圆的半径或其延长线于一点,从而构成以两圆圆心和这个交点为顶点的直角三角形,最后解这个直角三角形即可求得公切线的长．例1如图1,半径分别为TI和TZ的①OI与①0。相外切,圆,0距为20Cm,TZ－TI。urn,外公切线AB分别切两圆于A…     

一个常见图形中的基本关系式

在解直角三角形应用中常见到如图1这样的图形,这个图形最早出现于测量底部不能到达的建筑物的高度时所产生的测量方法.图中AB的高h、CD长a以及仰角α、β之间存在着一个基本关系式,利用这个基本     

利用全等形拼图解题举例

很多平几题依靠本身的图形去解很困难,若利用其全等形拼图去解,则显得新颖、巧妙、简捷明快,能给人完美的感觉和享受.下面举例说明。 例1 如图1,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=2BC,求证:△ABC是直角三角形。     

巧用勾股定理解竞赛题

直角三角形的直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2,这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活巧用它,可使几何问题的解决变得简捷.例1如图1,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为()A.8B.5C.3D.&!34(2004年湖北省初中数学竞赛试题)解:依题意,AB=DB,BC=BE.∵BE=3,CD=8,∴BC=3,DB=5,AB=5,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2∴AC=!AB2+BC2&=&!34.例2如图2,AC=10,BC=17,CD⊥AB于点D,CD=8,求△ABC的面积.(2002年北京市初二数学竞赛试题)解:在△ABC中,∵CD…     

与三角函数有关的综合题

三角函数在解直角三角形时的应用很广.有些几何问题,没有直角三角形,我们要构造直角三角形,再利用三角函数去解决.下面举例说明与三角函数相关的综合题的解法.     

直角三角形的一个美妙性质

<正>如图1,三角形ABC为直角三角形,C为直角顶点.过C作斜边AB的垂线,将三角形分成两个直角三角形,用同样的方法,再将其中的一个直角三角形再分成两个直角三角形,可以继续分下去,设三角形ABC被分成了n个小的直角三角形(图1中n=7),则这些小直角三角形的内切圆半径的平方和是一个定值.确切地,设这些小直角三角形的内切圆半径分别为r1,r2,r3,…,rn,三角形ABC的内切圆半径为r,则     

解直角三角形应用题中的图形规律

<正>解直角三角形应用题的关键是,要把实际问题转化为数学问题,建立几何模型.实际问题中,笔者发现这类题型的图形变化也具有一定规律.具体如图1所示:%作AB边的高CD得到两个直角三角形ACB(1)ACB(2)DACB(3)D以AB边上的高为折痕翻折三角形图1下面结合几个具体例题体会这种解题规律:例1(2009年太原中考)如图2,从热气     

图形构造五例(初二、初三)

对某些几何问题,可根据题意,构造特殊的几何图形,使得求解变得简明直观,从而使问题得到巧解. 1.出现直角,可作直角三角形例1 如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠C=90°,求四     

“解直角三角形”中的数学思想

“解直角三角形”一章中,最常用的思想方法是数形结合。在解决问题时,先要根据题意画出图形,再借助于图形的直观性,分析有关边角关系,进而进行计算。事实上,除数形结合的思想方法外,转化思想、方程思想在本章中也有较广泛的应用。一、转化思想所谓用转化思想解题,就是把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决。 1．将斜三角形的问题转化为解直角三角形问题例1如图,在△ABC中, AB=5,AC=7,∠B=60°,求BC的长。     

化整为零,各个击破--化斜三角形为Rt△求解

在新课标下的初中数学教材中,只介绍了解直角三角形,而在我们的学习、生活实际中经常遇到15°、75°、105°、120°、135°的斜三角形,这类问题往往可以通过作三角形某边的高,把斜三角形转化成直角三角形来解.这种化整为零、化一般为特殊的策略,可起到化难为易的作用,收到事半功倍的效果.举例说明如下.例1如图1,在△ABC中,BC=4,∠A=45°,∠C=75°,求AB边的长.分析:因为∠A=45°,∠C=75°,所以∠B=60°,故△ABC不是直角三角形.我们可以作AB边的高,将75°角分解成30°和45°的角,把问题转化在30°和45°角的两个直角三角形中来解.解:过…     

构造图形求sin15°的值

正在解直角三角形中,根据锐角三角函数定义及勾股定理便可求出30°,45°,60°的四个锐角三角函数值。受此启发,我们可用多种方法来构造直角三角形,从而推导出sin15°的值。方法一:如图1,作Rt△ABC,使∠A=30°,作角平分线AD,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=DC。     

要重视思想方法的学习

在数学学习中,知识的学习固然重要,但思想方法的学习更为重要．因为我们一旦掌握了某种思想方法,便可以用来解决一类问题,甚至还可以有新的发现．初中《几何》第三册“解直角三角形”这一章的复习参考题B组最后一题是：如图1,锐角这里的提示向我们揭示了一种很重要的思想方法,即通过添作高线将斜三角形问题化归为直角三角形问题,进而应用解直角三角形的知识去解决问题,运用这一思想方法,可以处理许多解斜三角形的试题,请看几例．例1如图求AB的长．（1997年江苏省兴化中学提前招生试题）解作．设BD＝x,则AB＝2x,AD。由例2如…     

解填空题七法

址B 于人丫|l|--LD。 .一︵﹄/.一2图 JJ﹃ 1.直接法 例1图1是拉线电线杆的示 意图.已知曰9土了扭，〔工)- 3在m，匕CAD一6。。，则拉线八C的 长是m. 分析从条件易得△八CD为直角三角 形，再利用解直角三角形的知识，通过计算可得 出八C一6m· 2.特例法 例2已知a，b为实数，且a     

母子三角形性质探微

如图,在Rt△ABC中,作斜边AB上的高CD,又可得直角三角形ACD及CBD,习惯上把大小三个直角三角形称为母子三角形.     

锐角三角函数考点分析

锐角三角函数是解直角三角形的基础知识,涉及的知识点较多.下面以2015年的中考题为例,把这部分知识的常见考点归类总结如下. 考点1 利用锐角三角函数的定文求三角函数值 例1 (2015年广西卷)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是().     

思想来领航,“勾股”有方向

数学思想是数学知识的灵魂,是解题的金钥匙.在利用勾股定理解题时,要注意结合利用一定的数学思想.现举例介绍如下: 一、方程思想 例1(宁波市中考题)如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=9,BD=4,则AC=____. 分析:显见,△ABC、△ACD、△BCD都是直角三角形.从Rt△ACD入手,要求AC的长,关键在于求CD的长.先用CD的代数式分别表示AC和BC,再根据AC、BC和AB之间的平方关系,能构造一个关于CD的方程.