例谈等号成立的条件

大家知道均值不等式是中学重要的常用的基本不等式,认真思考等号成立的条件,坚持变换方向与条件不矛盾,借助一定的变换技巧,能解决范围广泛的一类难题.本文试图以一例及其变形加以说明,以求抛砖引玉.     

等号成立条件的探究

C是BD边上的一点,艺BAC于是由几ABD=S△ABc 一告·。51·60。 告,一,·60 1占一Z 1一X在文【l]中提到了一道不等式证明题:已知x>0,V>0,z>0,求证:了护一却 沪十仰2一尹 护>了xZ xz 沙.原文作者可能在这里丢了一个“=”号,也就是说,“>”应改为“)”.而这个“=”成立的     

忽视等号同时成立致错剖析

<正> 同学们在运用平均不等式求最值时,不仅要注意条件:一正二定三相等,而且要注意多次使用平均不等式时等号必须同时成立,忽视这一点就容易造成解题失误.本文举例予以剖析,希望引起同学们注意.     

重视等号成立的条件

<正> 运用二元或三元均值不等式可以求解某些最值问题或取值范围问题,但学生常常忽视等号成立的条件而导致错误.下面举例说明,以引起大家足够的重视.     

巧用均值不等式及其等号成立条件求最值

最值问题一直是高中数学中常见的题型,其解法也是五花八门,同学们在学习了均值不等式后,对最值问题又多了一把解答的工具,本文将和同学们一起探讨如何巧用均值不等式求解最值问题.     

Carutz不等式等号成立的条件

据文记载，1964年，L.Carlitz在《美国数学月刊》上提出了如下一个关于三角形的内点到三角形的三边的距离与该三角形的三条高之间的不等式．     

平均值不等式求最值错解剖析

一、在使用均值不等式时 ,容易忽略各项均为正数的前提条件例 1　求函数 ｙ =ｘ + 1ｘ(ｘ∈Ｒ且ｘ≠ 0 )的值域 .错解 :∵　ｙ =ｘ + 1ｘ≥ 2ｘ·1ｘ =2 ,∴　函数的值域为 [2 ,+∞ ) .剖析 :令ｘ =- 1,则 ｙ =- 2 .显然 ｙ =2不是最小值 .错误原因是忽视了变数应为正数的条件 .正解 :因ｘ≠ 0 ,故 |ｘ| >0 ,又ｘ与 1ｘ同号 ,∴　 | ｙ| =ｘ + 1ｘ =|ｘ| + 1|ｘ| ≥ 2 |ｘ|· 1|ｘ| =2 .ｙ≤ - 2或 ｙ≥ 2 .∴　函数的值域为 ( -∞ ,- 2 ]∪ [2 ,+∞ ) .二、在使用均值不等式时 ,容易忽略等号成立的条件例 2　已知ｘ∈ - π2 ,π2 ,求 ｙ=ｃ…     

均值不等式等号成立条件的导向作用示例

对于均值不等式n(a1a2…an)~(1/2)≤(a1 a2 … an)/n,当且仅当a1=a1=a3=…=an时等号成立,这是一个大家都很熟悉的条件,大多数人在解或证明不等式即将完成时,用它来完善不等式的解答,鲜有人注意到它对不等式问题的解答有启发和导向作用,下面我们就举例来说明．     

注意，等号成立的条件

我们知道,求解最值问题的方法很多,如利用函数的性质、方程的判别式、平均值不等式、复数模的性质等.值得注意的是,无论使用哪种方法,都必须确保等号成立,才可肯定是最值.然而在实际的解题中,学生对等号能否成立,常常不作深入的研究,并由此产生一些错误.本文试图举出几例,以示提醒. 例1 已知a、b、x、y都是正数,且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值. 错解:因为a、b、x、y都是正数,     

均值不等式等号成立的构造技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点.运用时必须具备三个必要条件--即一正(各项的值为正)、二定(各项的和或积为定值)、三相等(取等号的条件).但在题设中未给出和(积)为定值的条件下,如何凑出定值使等号成立,却深感困难,为此,本文举例说明构造均值不等式等号成立的常用技巧.     

一类含有等号的不等式的证明

关于不等式的证明,历来就是中学数学教学的重点,也是高考的必考内容之一,同时也是教学的难点,难就难在题目类型繁多,证明方法灵活,学生不易掌握。但我们只要对欲证的不等式细心观察、认真研究,还是会发现它们有一定的规律可循。本文就一类含有等号的(条件)不     

均值不等式在竞赛数学中的应用——均值不等式等号成立的构造

均值不等式是高中数学中的一个重要不等式,它有着广泛的应用,本文主要就它在求函数最值中的应用举例说明．我们知道使各因式之和（或积）为定值是利用平均值不等式求最值的关键点．其次,还要使各因式相等才能实现,即等号成立的条件必须满足,否则将导致错误,这也是使用均值不等式求最值的难点．     

均值不等式求最值

均值不等式是指a b/2≥（ab的平方根）(a、b∈R^ )及a^2 b^2≥2ab(a、b∈R)等几个重要不等式,合理地利角均值不等式(特别是等号成立的条件),构建关系式,可帮助我们解决一类最值问题。     

用基本不等式求最值错解例析

利用基本不等式求最值是一种常用的方法,然而,在解题中同学们常犯以下错误:     

均值不等式求最值错解探析

利用不等式求最值是高中数学的重点内容之一,学生在做这类习题时常因忽视最值成立的条件而致错.