例谈比例式和等积式证明的简便方法

利用“平面内不共线的三点确定一个三角形”这一定理给出几种证明比例式和等积式时，迅速找准所要证的两个相似三角形的方法。     

探索“不一定”

大家都知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形是不一定全等的。然而，有不少同学在学习三角形全等的知识时，对已知“两边和一角对应相等”这三个条件的安排和处理，却列举了许多符合“有两边和一角对应相等的两个三角形”一定是全等的三角形的例子。你看，他们除了肯定“已知角是这两边的夹角的两个三角形全等”之外，还列举了下列诸多方案，请大家认真地去研究看看，下面的这些说法有哪些不妥。[第一段]     

全等三角形的有关概念

一问：为什么在用符号表示两个三角形全等时，要把对应顶点写在对应的位置上？答：全等三角形的定义：“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”所描述的实质是：这两个三角形的三对对应边，三对对应角分别对应相等，共有六对相等关系．     

三角形全等证明别忘“对应”

三角形全等证明,十分注重“对应”两个字,只有“对应”了,才能确保那些证明正确无误.一个三角形有3角3边6个元素.两个三角形如果3只角3条边都分别相等了,当然全等.但学贵有疑:这条件太苛刻了,能不能放宽一些呢?6个元素中一个两个分别相等,显然不行,有3个元素或3个以上分别相等,但不对应,会一定全等吗?“一定”,必须一个不例外,能举出一个反例就不能算“一定”了.不妨用这种逻辑,归纳思考一番:1.两个三角形有3只角分别相等呢?不行.它们一定相似,但不一定全等.2.两个三角形2只角和1条边分别相等呢?对于△ABC,如果作∠ABC'=∠ACB(如下图),…     

两边及第三边上的高(或中线)对应相等的两个三角形全等吗?

学习完“边边边”公理之后，同学们常常有这样的疑问：第三边对应相等换成其他量相等，诸如第三条边上的高（或中线）相等，这两个三角形还全等吗？我们来探究一下三角形全等的实质：对两个三角形来说，两者要完全重合，也就是这两个三角形的大小、形状完全一致，而对于其中一个三角形来说，其大小、形状固定不变．依此我们来考察一下“边边边”公理．我们不妨做个实验：将两根木条ＡＢ与ＢＣ用可转动的螺丝在点Ｂ处连接起来（如图１），把ＢＣ边固定在墙上，这时ＡＢ边受重力的影响会向下转动，也就是说Ａ、Ｂ、Ｃ三点构成的三角形因点Ａ的…     

相似三角形的判定方法应用探究

相似三角形的判定方法有：（1）如果一个三角形三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简单说成“三边对应成比例的两个三角形相似”;（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简单说成“两角对应相等的两个三角形相似”;     

浅谈解应用题的几种思维方法

在小学数学解应用题教学中 ,只有教给学生正确的解题思维方法并形成技能 ,才能在复杂的条件与问题中 ,抓住数量的各种关系 ,使思路清晰、正确 ,达到解题目的。现将解应用题的几种思维方法介绍如下。一、对应思维方法。掌握对应的思维方法能帮助学生准确分析题中的数量关系 ,提高解应用题的能力。例如 :在分析一般的乘除法应用题时常出现的有 :求 1倍数要找准几倍数与对应的倍数 ;求路程时要找准速度与对应的时间 ;求工作总量时要找准时间与对应的工作效率 ;求总产量要找准单产量与对应的数量 ;在学习分数应用题时 ,求标准量要找准部分量与相…     

例谈“SAS”全等思想在解题中的应用

利用两个特殊多边形的对应边及其夹角相等得到两个三角形全等,这也就是SAS全等思想的应用．运用其模型分析时,一要抓住两对相等的对应边,二要找准等对应边的夹角．下面以近年来的中考试题加以说明。     

它们何时全等？

我们已经知道,判定两个三角形全等的方法主要有：边边边、边角边、角边角、角角边．这就是说,要使两个三角形全等,至少需要三个条件,而且其中至少要有一个关于边的条件．我们又知道,满足“有两边及其中一边的对角对应相等”的条件并不能判定两个三角形一定全等．那么,是不是满足“有两边及其中一边的对角对应相等”的条件的两个三角形一定不全等呢？     

关于三角形全等命题的研究

一般说,根据三角形的六个元素(三条边、三个角)中的三个(其中至少有一个是边)对应相等,就能够判定两个三角形全等。当然,这里已知两边及一边的对角对应相等的情况应除外,这是初中平面几何中重点研究的内容。如果把判定两个三角形全等的条件中的“对应边相等”,用“对应中线相等”(或“对应高相等”或“对应角平分线相等”)替换,就会得到许多新命题。这些新命题中,有的是真命题,有的是假命题。真命题的真实性,有的比较容易利用教材中的公理或定理加以证明。因而被教材采用为习题,编写在教材中。如几何第一册第107页第23题:“如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等。”同书第153页第8题:     

相似三角形定义的叙述句式能否改动一下

听课中,多次碰到这样一个问题:有些教师对教材中的相似三角形的定义产生异议。他们把相似三角形的定义:“两个对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形”中的“两个”理解成是用来修饰“对应角”的,而不是修饰“三角形”的,按这样的理解,就把相似三角形的定义讲授成:有两个对应角相等,(三条)对应边成比例的(两个)三角形,叫做相似三角形。而教材中相似三角形定义的原意,“两个”显然是指两个三角形,这从教材中引出定义前的观察、测量两个三角形的过程,以及定义引出后,应用定义证明三角形相似的例题中,都可得到证实,究其产生异议的原因,是对定义的叙述句式有不同的看法。他们为了说明“两个”是修饰“对应角”的,往往把三角形内角和定理及相似三角形的判定定理作为根据:     

分数、百分数应用题练习设计

分数、百分数应用题是小学数学的重要内容之一.按结构形式可将它分为三种类型:求一个数是另一个数的几(百)分之几;求一个数的几(百)分之几是多少;已知一个数的几(百)分之几是多少,求这个数或求这个数的另外几(百)分之几是多少.按数量关系可将它分为两类:一是部分数与总数之间的关系,二是两个并列数量的关系.教学时,教师抓住含有分率的语句这一关键,找准单位“1”的量及每个量的对应分率来确定解法作为突破口,顺着部总关系、并列的数量关系这两根主线组织学生练习,能加深他们对这部分知识的理解. 一、明确对应关系,找准对应分率的练习.     

培养学生对应思想提高应用题的解答能力

《数学课程标准》指出：“我们的数学教育必须重视数学应用的教学，将应用意识的培养和应用能力的发展放在重要的地位上。”小学数学课本中，从一年级的简单应用题开始，就出现了条件和问题的匹配练习，中、高年级复合应用题中的按两个量求未知数，则要根据两量之间的对应关系，才能找到解题的突破口。又如平均数应用题无论简单还是复杂，学生记住了总数量与总份数之间一定要相互对应，求得平均数才能正确无误。进入分数、百分数、工程、比例应用题的学习，对应思想更是解题的关键。由此可见培养学生的对应思想，对提高学生应用题的解答能力…     

三角形三条重要线段与全等之间的关系

三角形有三条重要线段，即三角形的中线、内角平分线和高．而且全等三角形对应中线、对应内角平分线、对应高相等．我们还知道，要证明两个三角形全等，必须具备三个对应元素相等，即：SAS、ASA、AAS、SSS．如果两个三角形本身具备两个边或两个角对应相等，第三个元素是对应中线，对应内角平分线或对应高相等，那么这两个三角形是否全等呢？下面就举几例来探讨一下三角形三条重要线段与全等之间的关系．     

列比例解应用题的教学体会

用正、反比例解答应用题的教学过程中，学生在准确判断和理清对应关系上出现的错误比较多，针对这一实际情况，我在教法上进行了一些探索，采用“抓、摘、列、解、检”的“五序法”进行教学，取得了良好的教学效果。一、抓“不变量”，正确判断就是用逆向思维的方法，从题目中找出不变的一个量，再看这个量怎么求？如果是两种相关联的量用除法（比）求出来的，即商（比值）一定，则两种相关联的量成正比例；如果两种相关联的量用乘法求出来的，即积一定，则这两种相关联的量成反比例。例如“人教”六年制小学课本第75页例5（下文简称例5）：…     

两个三角形间的边角关系深入研究

两个三角形间的边角关系,在一般的文献中局限于全等、相似相关的研究、讨论．譬如常说：“两个三角形有两个角对应相等”,就得“两个三角形相似”,继而得“两个三角形的对应边对应成比例”;又譬如说：“两个三角形三边对应相等”,就可得“两三角形全等”,继而得“两个三角形的对应角相等”．     

对一类全等、相似三角形的判定条件的探讨

要证明两个三角形全等,需要有三组边或角对应相等,如边角边公理,角边角公理,边边边公理,角角边公理,但其中三个角对应相等,或两边和其中一边的对角对应相等,不能判定这两个三角形全等。     

引人入胜的SSA

在全等三角形教学时,常常会碰到两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等的条件.而满足这样条件的两个三角形往往具备一些很重要的性质,如果不加以利用,就会使问题的解决发生一定困难.我们知道,两个三角形如果满足两边及其中一边的对角对应相等是不能判定这两个三角形全等的.但不能错误地认为满足这样条件的两个三角形一定不全等.下面就六个方面谈谈我对这个问题的认识.1问题的引入在进行全等三角形“边角边”公理教学时,我常喜欢问学生这么一个问题:想一想,能否把边角边公理说成“有两边和一角对应图1相等的两个三角形全等”?(结合图形…     

这样的两个三角形全等吗

同学们在学习了“探索三角形全等的条件”和“证明 (一 )”之后 ,对全等三角形的判定和性质都比较熟悉了 .但是你曾想过下列问题吗 ?问题　具有 5个元素分别相等的两个三角形一定全等吗 ?你也许会不假思索地回答 :一定全等 .那就错了 .数学上的许多问题 ,常常是出人意料的 .当然 ,如果 5个元素中含三条边 ,那么这两个三角形必定全等 .但还存在另外一种情况 ,即这两个三角形有两条边 ,三个角分别相等 ,它们是否一定全等呢 ?答案是否定的 .下面我们来讨论这个问题 .首先 ,这两个三角形有三个角对应相等 ,这两个三角形是相似 .这一点是肯定的 .…     

“瞻前顾后”找条件

通过学习,我们得到了三角形全等的条件:“边边边”(SSS)、“角边角”(ASA)、“角角边”(AAS)、“边角边”(SAS).并且知道了边边角”两边及其中一边的对角对应相等)或角角角”三个角对应“(“(相等)这两个组合条件都不能保证两个三角形一定是全等的.因此在探索三角形全等条件时,我们不但要瞻前”——明确结论和现已具备的条件,而且要顾后—对照全等条件的目标考虑结“———论成立时所必须的一切条件,然后对这些条件进行分析研究,最后得到问题的答案.具体的分析思路可根据下面的框表进行:这类问题的解决,不仅能加强同学们对三角形全等条…