运用提公因式解竞赛题

提公因式是分解因式的一种基本方法.灵活应用它,可把形如ma mb mc的代数式化为形如m(a b c)的代数式,这种因式分解的方法,可帮我们迅捷地解决一些竞赛题.一、计算竞赛题例1计算:9999×2222 3333×3334.(长春市初三数学竞赛题)解:原式=3333×3×2222 3333×3334=3333×(3×2222 3334)=33330000.例2计算:■.(初一数学竞赛题)解:原式=■=■=■.二、比较大小竞赛题例3已知a=-■,b=-■,c=-■,则有(?摇?摇)A.a>b>c?摇?摇B.c>b>a?摇?摇C.b>a>c?摇?摇D.b>c>a(绍兴市初中数学竞赛题)解:a-b=■-■=■×(■-■),因为■>1,■<1,所以a-b>0,a>b.同理b-c>…     

“分解因式”解数值计算题

对于有些数值计算的竞赛题,“硬算”是不明智的,而使用因式分解法,往往能为解题找到十分简捷的途径.例1计算(2又5十2)(4只7+2)(6X9+2)(8Xll+2)(IX4一2)(3X6+2)(5X8十2)(7X10+2) (1996解注意到。(。+3)十2一二2+3。+2(1 994XI 997+2)(1 993XI 996+2)‘年北京市数学竞赛题) 一(九+1)(凡+2).这里n一1,2,3,…,1”4,这样原式可化为原式一(3 X4)(5只6)(7 XS)(9 X 10)…(1 995 X 1 996)(2 X3)(4 XS)(6 X7)(8 Xg)一(1 994 X 1 995)1 996998。4一1+ 0︸户1(一9 一z!+瑞+十、、,口了一、l尹4一i(s4一卜代沙一扣4一i+ 日J︸,土一2一r.‘一了…     

妙解根式竞赛试题

一、妙平方例 1　计算 5 + 2 + 5 - 25 + 1-3- 2 2。(新加坡中学生数学竞赛题 )解 :设 x=5 + 2 + 5 - 25 + 1,两边平方 ,得 x2 =2 5 + 25 + 1=2 ,∴ x=2 ,3- 2 2=2 - 2 2 + 1=(2 - 1) 2=2 - 1,∴原式 =2 - (2 - 1) =1。二、妙添零例 2　化简 2 62 + 3+ 5。(美国中学生竞赛题 )解 :∴ 0 =(2 ) 2 + (3) 2 - (5 ) 2 ,∴原式 =2 6 + (2 ) 2 + (3) 2 - (5 ) 22 + 3+ 5=(2 + 3) 2 - (5 ) 22 + 5 + 3=2 + 3- 5。三、妙分离例 3　如果 5 =a,b是它的小数部分 ,求 a-1b的值。(日本中学生竞赛题 )解 :∵ 2 <5 <3,∴ 5 =2 + 5 - 2 ,∴ b=5 - 2。∴ a- 1b…     

根式化简技法谈

二次根式的化简 ,是现行教材中的重点及难点之一 ,也是中考中常见的题型。要求学生能根据各类题目本身的特点 ,采取灵活的解题技巧。一、约分例 1.化简 33- 2 6(2 - 2 ) 2 。解 :原式 =33- 2 6(6 - 42 )=3(3- 2 2 )2 (3- 2 2 )=32 。二、逆用法则例 2 .化简 5 + 33+ 42(5 + 2 ) (3+ 2 )。解 :原式 =5 + 33+ 32 + 2(5 + 2 ) (3+ 2 )=13+ 2+ 35 + 2=5 + 3- 2 2。三、先平方 ,再开方例 3.求 2 + 61+ 3的值。解 :令 a=2 + 61+ 3,则 a2 =8+ 434+ 2 3=2 ,∵ a>0 ,∴原式 =2。四、配方例 4 .化简 2 63+ 2 - 5。解 :原式 =(2 ) 2 + 2 6 + (3) 2 - (5…     

例谈公式（数）运算的技巧

在近几年的各类数学竞赛中 ,常出现有关分式(数 )运算的问题 .本文结合近几年来各省、市的竞赛题 ,谈谈此类问题的解法技巧 ,供参考 .1　巧用分式的基本性质例 1　 (1998年希望杯初二数学竞赛试题 )已知ａ≠ 0 ,ｂ≠ 0 ,且 1ａ + 1ｂ =4 ,则求 4ａ + 3ａｂ+ 4ｂ- 3ａ + 2ａｂ- 3ｂ的值 .分析　注意到式中分子或分母的ａ、ｂ项系数相同 ,故分子、分母同除以ａｂ ,即可利用条件式直接求解 .解　注意到ａｂ≠ 0 ,ａ +ｂａｂ =4 ,则原式 =4·ａ+ｂａｂ + 3- 3ａ+ｂａｂ + 2=- 1910 .2　巧用字母代替数例 2　 (1999年北京市初中数学竞赛题 )计算…     

好借好还 再算不难

解一些数学竞赛题时,常根据组成的数的特征,采用先“借”再“还”(某数)的办法使计算简便,如:如: 例1计算19+199+1 999+19 999. 解借"1+1+1+1",还4.原式一(19+1)十(199+1)+(1 999十1)+(19 999+1)一4 =22 220一4=22 216. 例2计算11+192+1 993+19994+199995+1999996+19 999 997十199 999 998+1 999 999 999. 解原式二(11+9)+(192     

有理数加减混合运算的技巧

有理数加减混合运算的一般步骤是:(1)把减法转化为加法,写成简洁形式;(2)应用加法交换律与结合律,简化运算;(3)求出结果.现举例说明加减混合运算中的一些技巧.一、把符号相同的加数相结合例1计算:(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23).解原式=(-33)+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)=-33+18-15-1+23=(-33-15-1)+(18+23)=-49+41=-8.二、把和为整数的加数相结合例2计算:(+66)-(-38)+(-26)+(-52)-(+48).解原式=(+66)+(+38)+(-26)+(-52)+(-48)=66+38-26-52-48=(66-26)+(-52-48)+3三、把分母相同或便于通分的加数相结合例3计算:-35-12+34-25+05-78.解原式=-35-25+…     

分式运算中的常见错误分析

一、错用分式的基本性质四、违背运算顺序 上。+。化简王__ la一乙画计算a+2 3a:(u+2)(z+2错解原式=‘了+2 3aa+2 3a原式二一{二。!只2几一。)·!0‘未一’0“ 分析乘法和除法是同级运算,谁在前面先算谁,上述解法错在没有按照运算顺序进行计算.正解原式=a+2 3a 1 11a十Za+2 3a2+6a分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘五、通分时去分母﹃乙解析一例一错分以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变”.而错解中分开乘以2,分母乘以10,错用了分式的基本性质.困计算厂。十a+乙,x 105(i+1()ba一10乙X 10 错解原式=bZ+(‘,+b)(。一b)= bZ+…     

多姿多彩的有理数竞赛题

有理数竞赛题题型丰富,技巧性强,趣味无穷.现选择近年来广州市“五羊杯”初中数学竞赛题中有理数赛题,供大家学习参考. 一、计算求值题 例1 计算:199+298+397+… +991+1090+1189+…+9802十9901=__.(2001年初一赛题) 分析及解:这里有99个数相加,考察每个加数的特点,我们将每个加数适当变形之后再相加: 原式=(200-1)+(300-2)+(400-3)+…+(1000-9)+(1100-10)+(1200-11)+…+     

二次根式的化简与运算

1.分母有理化例 1.化简 16 - 2。解 :原式 =6 + 2(6 - 2 ) (6 + 2 )= 6 + 24 。〔说明〕:利用分母有理化化简二次根式的关键是准确地找出分母的最简化有理因式 ,再利用分式的基本性质运算。2 .运用公式法例 2 .计算 :(2 + 3-6 ) (2 - 3- 6 )。解 :原式 =〔(2 - 6 )+ 3〕·〔(2 - 6 ) -3〕 =(2 - 6 ) 2 -( 3) 2 =8- 4 3- 3=5 -4 3。〔说明〕:二次根式的乘除运算 ,要根据题目的特点 ,充分利用乘法公式 ,使计算过程简化。3.拆项法例 3.计算1+ 2 3+ 5(1+ 3) (3+ 5 )。解原式 =(1+ 3) + (3+ 5 )(1+ 3) (3+ 5 )=13+ 5+ 11+ 3=5 - 32 + 3- 12 =5 - …     

数学日历参考答案

初二 5月1日 5(1 2)/(4-3)=1 2 4 3 5. 5月2日 2~(55)=(2~5)~(11)=32~(11),3~(44)=(3~4)~(11)=81~(11)=,5~(33)=(5~3)~(11)=125~(11),6~(22)=(6~2)~(11)=36~(11),则2~(55)<6~(22)<3~(44)<5~(33). 5月3日 8880. 5月4日 13-2(3)~(1/2). 5月5日 C. 5月6日 11112222=3333×3334,故较大的数是3334.     

幂的运算性质的逆向应用

幂的运算性质的代数式表示为 :1、ａｍ·ａｎ=ａｍ +ｎ;2、ａｍ÷ａｎ=ａｍ -ｎ;3、(ａｂ) ｍ=ａｍｂｍ;4、(ａｍ) ｎ=ａｍｎ.它们是整式乘除法的基础 ,解答一些与幂的运算有关的问题时 ,我们应注意这些性质的逆向应用。一、计算问题例 1　计算 (- 2 ) 1997+(- 2 ) 1998的结果是 (　　 ) (1998年长春市初一数学竞赛试题 )Ａ、- 2 1997;　　Ｂ、2 1997;　　Ｃ、- 2 ;　　Ｄ、2 .解 :原式 =- 1·2 1997+2·2 1997　　　 =2 1997(- 1+2 )　　　 =2 1997例 2　计算 (- 0 .12 5 ) 1997× 81998=　　 .(1997年聪明的初二数学竞赛试题 )解 :原式 =(…     

用整体思想解分式题(初一、初二)

例1计算 aZ一sa+7 .aZ一7a+13 aZ一6a+10 一丁一一下，一下一二十-下--甲二--丫一:叹一一节厂一一下厂一了一言.. e‘一口口十勺口‘一I口十1乙尽‘一O口十己 1 X十一一J， 分析将每个分母看作一个整体，则从每 个分式中可以拆出“1”. 解原式 (aZ一sa+6)十1.(aZ一7a+12)+1 一二=下‘二日‘井一二+二‘飞一几共一一干彩长二二 az一sa+6’az一7a+12 所以 户十护+1 x2 1 一扩十万十上 1、。 一LX侧十—少‘一1 ~32一1一8. 1一s (aZ一6a+8)+2 故原式~ 例4 A、B、C、D、E五人合做一项工程，已 aZ一6a+8 1，1 一1--t--7一一一一又芍:尸一…     

乘法公式的巧用

乘乘法公式是由形式特殊的多项式相乘总结出来的规律,共有两种:1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式(1)完全平方(和)公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)完全平方(差)公式(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行计算可大大提高运算速度,它的应用非常广泛.下面举例说明乘法公式的巧妙运用.一、巧换位置例1计算(-3t+4)2.解:原式=(4-3t)2=16-24t+9t2.二、巧变符号例2计算(-2a-3)2.解:原式=[-(2a+3)]2=(2a+3)2=4a2+12a+9.三、巧变系数例3计算(2x+6y)(4x+12y).解:原式=2(x+3y).4(x+3y)=8(x+3y)2=8(x2+6xy+9y2)=8x2+48xy+72y2.四、巧变指数例4计算(a+1)…     

有理数运算的技巧

一、巧用运算律例1计算-117×(132-0.125)÷(-1.2)×(-1313).解原式=-117×(132-18)×(-56)×(-1613)=-117×1613×(132-18)×56=-9×(12-2)×56=9×32×56=1114.二、合理分组例2计算1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=(1999年“希望杯”初一数学竞赛试题)解原式=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)(共有2500个)=-2500.三、反序相加例3计算12+(14+34)+(16+36+56)+…+(198+398+…+9798)=(1998年“五羊杯”初一数学竞赛试题)解设原式=S,将每个括号内的分数反序排列,可得S=12+(34+14)+(56+36+16)+…+(9798+…+39…     

二次根式解题中的常见错误剖析

同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√…     

例谈求最值

近年来各地中考题、竞赛题中涉及的最值问题颇多,本文举例说明有关问题的解法。洲澄式(1993年全国初中数学联赛试题)当x变化时,分3x2+6x+511干X一~1一X一卜1'的最小值是解原式一6扩+12x十106(扩+Zx+2)一2扩     

求一元二次方程整数根的若干方法

目前 ,一元二次方程整数根问题已成为各级各类竞赛不可缺少的试题 .它解法灵活、技巧性强 ,常使学生颇感棘手 ,本文仅以竞赛题为例介绍一些常用的解题思路和方法 .一、利用整数的性质例 1　 (希望杯数学竞赛题 )已知 p为质数 ,且方程x2 + px - 44 4p =0有两个整数根 ,求 p的值 (　　 )解 :设 m ,n为原方程的两个根 ,则m + n =- pmn =- 44 4p =- 2 2× 3× 37p∵ p为质数 ,且 m n =- 2 2× 3× 37p,则 p必为 m或 n的约数 ,又 m + n =- p,则 p同为 m、n的约数 .又∵ m n =- 2 2× 3× 37p,∴ p的可能取值为 2 ,3,37.将 p =2 ,3,37分别代入原方…     

构造算式求条件代数式的值

先化简,后求值是求代数式的值的一般方法.但对于求某些条件代数式的值的问题,特别是对于竞赛题,若能灵活地应用已知条件,挖掘隐含条件,巧妙构造算式,则可简化计算过程,从而达到快捷获解之目的.例1若a2+a=1,求a4-3a2+2的值.解:由a2+a=1得a=1-a2.∴原式=(a4-2a2+1)+(1-a2)=(1-a2)2+(1-a2)=a2+a=1.注:这里充分运用了1-a2=a这一降次的隐含条件.例2已知a2+a-1=0,求a3+2a2+3的值.解:由a2+a-1=0得a2+a=1.∴原式=a3+a2+a2+3=a(a2+a)+(1-a)+3=a+(1-a)+3=4.注:这里运用了隐含条件a2+a=1凑配代入而得解.例3已知m+n+k=0,求证:m3+m2k+n2k+n3-mnk=0.证明:…     

分式通分的技巧

例l计算击+击+丽2+面4一霄8.解:原式=去+南+丽4一霄8=霄4+面4一霄8=霄8一_88=0二、先分组后通分例2计算jX-r击+击一击.解:原州击一击)+(击一i2)=面4一再4=丢杀.三、先拆项后通分例3化简孟而一丽6+高.解:原削去一击)一(去一六)+(击一鬲1)10. Ⅱ一)n—l 俨,Ⅱ+1 驴l叶l四、先变序后通分例4计算赢+南+1j而·解:原式。乏筝(面十二再y丽+南:一!I!兰!一-+一 _y(!!! + 兰!苎二1 2(z-y)(y呵)0叫)’@了)(y叶)(z叫)。(z了)(y-~)(z-x)一叫(烨)70叫)叶(％-y)一n (z一',)(y-:)(Z-X) 一五、约简后通分例5黼硒丽x3-1一了x2+2丁x+l+鬲x-1解:原式=研(x-l丽)…