证明一类分式不等式的通法

文[1]和文[2]给出了一个分式不等式的多种证明方法,介绍的证明方法可谓个个"精妙绝伦",笔者阅后颇受启发,惟一感到有点遗憾的是这些方法都不容易想到.本文介绍一种思路自然且易于操作的证明这类分式不等式的通法,供大家参考.     

证明一类分式齐次不等式的通法

<正>分式齐次不等式结构简单、优美,广受各类数学竞赛命题者的青睐.而分式齐次不等式的证明,难度之大,让很多考生望而却步.笔者在此介绍一种通法,以解决一类齐次分式不等式问题.一、通法的介绍     

关于一类分式不等式通法证明之研究

先对契比雪夫不等式、琴生不等式及均值不等式做简单证明作为引理，然后给出了一类分式不等式的一个重要定理及相关推论，并利用该定理证明一类分式不等式。     

关于一类分式不等式通法证明之研究

先对契比雪夫不等式、琴生不等式及均值不等式做简单证明作为引理,然后给出了一类分式不等式的一个重要定理及相关推论,并利用该定理证明一类分式不等式。     

运用匹配因子法证明一类分式不等式

一类分式不等式的证明常见于数字竞赛题及问题征解题，它的特点是不等式式子一边各项形如a^2/b(a^3/b、a^3/bc等)的形式，如果匹配因子λb(λab、λb λc等)，利用a^2 λb≥2√λa(a^3/b λab≥2√λa^2、a^3/bc λb λc≥33√λ^2a等)，就可消去分式中的分母，再根据等号成立条件求出λ．可得这一类分式不等式的简     

用向量内积法证明一类分式不等式

现行高一数学(人教版)第一册(下)第五章平面向量第119页有关向量数量积有如下一个性质(5):设a,b都是非零向量,则有|a·b|≤|a||b|(*),不等式(*)结构对称,蕴含丰富,具有广泛的应用.本文运用(*)式证明一类分式不等式,下举例说明.例1设a,b,c≥0,ab bc ca=31.求证:a2-1bc 1 b2-1ca     

用分式代换法证明一类条件不等式

对于满足条件a b=1,a b c=1或a b c d=1(这里a、b、c、d∈R~ )等类型的条件不等式,采用一些分式代换技巧,往往可收到简洁自然的效果,请看下面几个例子:     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

用柯西不等式证明一类分式不等式

柯西不等式是数学中极为重要的一个不等式,应用广泛．这里用其去探讨在一类公式不等式上的应用,使其分式不等式的证明显得非常简捷。     

用柯西不等式证明一类分式不等式

设a、、占、(i=z,2,3,…,n)为任意实数,则(a子十。圣 一 武)(峨 砖一十此))(。1占l aZ占: … an占,)2,式中等号当且仅当 证:拱=罕=…=努时成立,这就是著名的柯西不bl如b,’‘一’一’‘一一‘一一一”‘一·所以例3 二圣1一xl二成立,故原不等式成立.设二1·二2··…二,〔R十,且i哥二、一‘,求 二圣1一xZ 2 J”、1十丁一一一二多,一万 1一工”n一1等式,应用甚广. 文〔1」用等号成立条件法,给出了一类分式不等式的巧妙证明,现就该文中各例,通过添配适当的因式,运用大家熟悉的柯西不等式证之,以资比较. 例1设a,b,。都是正数,证明: (《数学通…     

一类分式不等式的统一证明

本文先证明一个代数不等式,然后应用这个不等式给出一类分式不等式简捷、统一的证明.     

一类齐次分式不等式的证明

本文介绍了齐次函数的一条重要性质．并探讨了一类齐次分式不等式的证明方法．一方面可以用欧拉定理加以证明．另一方面运用均值定理构造不等式往往能收到奇效．     

一类无理分式不等式的证明

我们都知道,在求证无理分式不等式的证明题时,最烦人的是难处理各项的根式,事实上,也确实没有什么固定的好方法,只能是具体问题具体分析,笔者在研究中发现：有一类无理分式不等式的证明题是可以通过一种有效去除各项根式的方法解决,下面通过举例来说明．供大家参考!     

用配对法证明一类分式不等式

分式不等式具有丰富的内涵、优美的形式、巧妙的证法,倍受各级各类数学竞赛的青眯．本文用配对法证明一类竞赛中常见的分式不等式,供参考．     

构造向量证明一类分式不等式

《数学通报》2003(1)文[1]逆用等比数列各项和公式及均值不等式111()nminmiimiaan=-=、《中学数学教学》(安徽)2003(3)文[2]利用均值不等式2(,)xyxyxyR 澄分别巧妙地证明了一类分式不等式,读后颇受启发.笔者发现,如果通过构造向量,利用向量数量积不等式||||||mnmn祝uvvuvv证明这类不等式更加方便快捷. 为应用方便,我们把不等式||||||mnmn祝uvvuvv写成222||||/||(0)mmnnn坠uvuvvvvv(*)证明时只要根据所证不等式的结构特点,构造适当的向量,再利用不等式(*)即可获证.文[1]、[2]中的所有例题及练习都可以用此法证明. 例1 (文[1]例1) 已知12,,,…     

一类三元分式不等式及其证明

本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c))     

构造向量证明一类分式不等式

<数学通报>2003(1)文[1]逆用等比数列各项和公式、<中学数学教学>(安徽)2003(3)文[2]利用均值不等式分别巧妙地证明了一类分式不等式,读后颇受启发.     

利用均值不等式配对证明一类分式不等式

不等式的证明是中学数学的一个难点,分式不等式的证明更为困难.本文提供了利用均值不等式配对证明一类分式不等式的思路. 一、如果不等式是形如sum form n to i=1 Ai2/Bi≥M的形式,且Ai,Bi(i=1,2,…,n),M均为正数,则可对Ai2/Bi配上Bi·P,成对利用均值不等式和不等式的基本性质证明. 例1 设a,b,c∈R+,求证:a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)≥(a+b+c)/2. 证明:由a2/(b+c)+(b+c)/4≥a,b2/(c+a)+(c+a)/4≥b,c2/(a+b)+(a+b)/4≥c.上面三式相加得求证不等式.     

用一个新不等式证明一类分式不等式

新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明　因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴　 Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1　设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题…     

分式置换法证明不等式

不等式的证明,除了教材上的比较法、分析法、综合法、反证法外,还可用构造函数法、分式置换法等.所谓分式置换法是:对于约束条件n∑i=1的某些不等式,通过作代换x1=ai/n∑j=1aj(i=1,2,3,…,n)从而证明不等式的一种方法.本文就此给出分式置换法证明不等式的一些技巧,供教学时参考.