利用x＋1／x解题

式子x 1/x在代数变形中具有非常广泛的应用，利用好它能简捷地将问题化解.有时，题目表面上不具有x 1/x的形式，但可根据条件或结论化得式子x 1/x,下面就举例谈谈这方面的问题.     

函数f（x）=x＋a／x（a〉0）的图象及应用

在高中学习中,特别是高三复习中时常遇到形如f(x)=x+a/x(a>0)的函数的相关问题.尤其是在求它的最值和值域问题上,学生总是把握不准,常常与均值定理相混淆.那么,要想克服这个问题,就有必要根据函数f(x)=x+a/x(a>0)的图象,利用它的性质来解决.     

利用f^—[f（x）]=x解决反函数问题

若函数 y=f ( x)存在反函数 y=f-1( x) ,则对于定义域中的任何一个 x都有 f-1[f( x) ]=x成立 .同样 f[f-1( x) ]=x也成立 .这种性质在处理反函数的有关问题中有着很多应用 .1　求值例 1、方程 log2 x x=3的根为 x1,方程 2 x x=3的根为 x2 ,求 x1 x2 的值 .分析 :直接求解比较困难 .由题可知 ,其中 y=log2 x 与y =2 x 互为反函数 ,利用反函数性质来处理 ,令 f ( x) =log2 x,则 f-1( x) =2 x.解 :f( x1) =3 -x1,1 f-1( x2 ) =3 -x2 2由 2两边同取 f ,得 f ( 3 -x2 ) =x2 .3另一方面 y=f ( x)是单调递增的 .比较 1 3当 x1>3 -x2 ,即 x1 x2 >3时…     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

导数公式(|x|)'=x/|x|=|x|/x的应用

导数公式(| x |)'-x/|x|=|x|/x. 证明:(|x|)'=(√x2)'=2x/2√x2=x/|x|=|x|x. 注:基本的导数公式中没有|x|的导数公式,而用复合函数的求导法则可以求出其导数,涉及(|x|)'的问题,有时用公式(|x|)'=x/|x|=|x|/x(x≠0)可以方便简洁的解决.     

函数f(x)=x~(k/x)的性质探究

<正>一、问题的引出戚有建老师在《数学通讯》2012年第10期讨论了函数f(x)=x1x的性质及其应用,最后解决了关于x的方程ax=xa(其中a>0,且a≠1,x>0)的根的个数问题.由此我们不禁联想到如何解决类似的问题:讨论关质.     

用sin x≤x≤tan x巧解三角竞赛题

众所周知，sin x≤x≤tan x,x∈[0,π/2]，（＊）当且仅当x=0时等号成立。证明（＊）很容易，此处略。     

直线方程y0y=p(x+x0)的几何意义

文[2]作为文[1]的续文,在直线方程(x_0x)/(a~2) (y_0y)/b~2=1的三种几何意义探讨启发下,给出了直线方程(x_0x)/(a~2)-(y_0y)/(b~2)=1的几何意义.本文再给出直线方程y_0y=p(x x_0)的几何意义,以告对此类问题的探讨圆满解决.     

点击[x]和{x}

近几年的高考数学卷中已多次出现了含数学符号[x]和{x}的题目,虽然符号[x]在数学课本（如人教社编数学Ⅰ必修（B版）,2007年4月第3版）的例题和习题中出现过（符号{x}没有出现,     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

函数y=x＋p／x（p〉0）三角化的一座“桥”

对于求形如函数y=x (p)/(x)(p>0)型的最值问题,如果我们能形似联想到三角公式tanα (1)/(tanα)=(2)/(sin2α),便会考虑实施三角代换x=ptanα,使其转化成三角函数问题. 该代换架设了这类函数三角化的一座"桥",从而为该问题的求解提供了又一解题新通途.     

简谈函数f（x）=ax＋b/x与f（x）=ax-b/x的本质联系

在高中数学中,我们经常碰到下列两类函数:f(x)=ax b/x与f(x)=ax-b/x(a,b∈R ),由于这两类函数在历年高考中经常出现,因此广大师生对它们的性质已经有一个初步的认识(如图1、2). 但是绝大多数人认为这两个函数除了定义域和奇偶性外,几乎没有其他相似之处,因此是两个没有什么联系的孤立函数. 然而事实并非如此,下面就谈谈本人在这一方面的几点浅见.     

函数y=f(x)的反函数为何要表示成y=f-1(x)形式

现行中学数学试验教材中反函数是这样定义的: 函数y=f(x)(x∈A)中,设它的值域为C.我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出,得到x=φ(y).如果对y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=φ(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=f-1(y).     

x0x＋y0y=R^2的几何意义及其应用

1 x0x y0y=R2的几何意义 我们知道,若P(x0y0)在圆x2 y2=R2上则x0x y0y=R2是过P(x0y0)点的圆的切线;若P(x0,y0)在圆外,过P点作圆的切线PA,PB,其中A,B是切点,则x0x y0y=R2是直线AB的方程;若P(x0,y0)在圆内,直线x0x y0y=R2与圆x2 y2=R2外离,其几何意义是什么?笔者在研究这个问题时,发现其几何意义是:过P(x0,y0)任作一弦AB,过A,B分别作圆的切线l1、l2,l1、l2交点的轨迹是直线x0x y0y=R2.     

方程f（x）＝x与f[f（x）]＝x的一个特例

关于方程f(x)=x与方程f[f(x)]=z的讨论常见于高中函数综合题,特别当f(x)是二次函数的情形。本文用一种初等方法分析这两个方程之间的关系。     

符合f[f（x）]= x＋1/x＋2的f（x）存在吗？

文[1]指出，标题中函数方程的解不仅有f（x）=1/1＋x，还有f（x）=2x＋1/x＋3．     

例说函数f(x)=x+k/x(k>0,x>0)的最值

高考在求最值问题的函数中,有不少都可归结为求函数y=x+k/x(k>0)的最值问题,有鉴于此,适当关注这种函数是有必要的. 应用导数,f(x)=1-k/x2=x2-k/x2,x ∈(0,+ ∞),令f(x)>0,得函数f(x)的单调减区间(0,k~(1/2);令f(x)<0,得f(x)的单调增区间(k~(1/2),+ ∞)。     

含[x]方程的常见求解策略

<正>定义对任意实数x,以[x]表示不超过x的最大整数,称为x的整数部分.[x]≤x,故x-[x]≥0,称x-[x]为x的小数部分,记作{x}.函数y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数,是重要的数论函数之一.含[x]方程的类型很多,各类数学竞赛中都有相关的题,本文对常见的几种方程类型的解法进行总结,供大家参考.     

利用单调性求给定区间上函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的方法及应用

分式函数y=a1x2 b1x c1/a2x b2x c2,∈[m,n](a1,a2不同时为0)中,视常数a1,b1,c1和a2,b2,c2是否为零,可分为几种不同的形式.且各种形式的值域都有其独特的求解方法,只是有的局限性较大,不具普遍意义.本文介绍一种利用单调性求给定区间上分式函数y=a1x2 b1x c1/a2x b2x c2值域的通法并例举其应用,与大家共磋.     

函数f(x)=ax+b/x(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x)=ax b/x(a,b∈R)的性质 1.当a=b=0时,f(x)=0(x≠0)是常数函数,既是奇函数又是偶函数,其图象是x轴(不包括原点). 2.当b=0,a≠0时,f(x)=ax(x≠0)是一次函数且是奇函数,其图象是一条直线(不包括原点).