2012年四川省高考理科数学12题研究

题目设函数f(x)=2x-cosx,{an}是公差为π8的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5=().A.0B.116π2C.18π2D.1316π2此题立意高远,背景深刻,综合性强,思维量大,值得探究.本文拟从解题思路探索、问题的几何背景、问题的推广等角度,对此题进行一番研究.     

一个值得质疑答案

试题:已知向量a=(2cosx/2,tan(x/2+π/4)),tan(x/2-π/4)),令f(x)=a·b．是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之．这是2005年江西省高考理科数学第18题．各参考书及网站上的答案如下:     

重视数学思想方法的训练与反思

纵观历年高考数学试题,不难发现,试题注重了数学思想方法的考查.在解答某些试题时,要求考生首先要在选择什么样的数学思想方法上加以推敲.同一道试题,采用不同的数学思想方法,其难易程度也不同.若巧妙地选择恰当合理的数学思想方法,可达到化难为易,化繁为简,加快解题速度的目的. 1.演绎数学思想方法的训练与反思例1 已知f(x)=x2/1+x2,那么f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+f(4)+f(1/4)=__ 训练本题所考查的知识点很简单,就是函数     

关于新教材一个习题的思考

人民教育出版社编著的<全日制普通高级中学教科书(试验修订)*数学(第一册上)>第89页习题2.8第4题已知:f(x)=lg(1-x)/(1+x),a,b∈(-1,1),求证:f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab)).教学之余,留有如下思考,愿与同仁共同探究.     

2012年高考数学四川理科卷第12题的再探究

2012年四川高考理科数学卷第12题是:设f（x）=2x-cosx,{a_n}是公差为π/8的等差数列,f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π,则[f（a₃）]²-a₁a₅=A.0 B.1/16π2 C.1/8π² D.13/16π²文[1]从不同角度给出了该题三种不同的解法,一解更比一解妙.在文[1]中李真福先生提到"因为下面的‘解法1’,所以众多师生认为该道高考题有超‘纲’（即高考考试大纲）和超‘标’（即高中数学课程标准）两重嫌疑,是一道劣质题.其根据是按高考考试大纲和高中数     

用复数证明一组三角恒等式

在三角经常遇到证明下列恒等式 cos(2π/5)+cos(4π/5)=-1/2, cos(2π/7)+cos(4π/5)+cos(6π/7)=-1/2, cos(2π/9)+cos(4π/9)+cos(6π/9)+cos(8π/9) =-1/2,……或cos(π/5)+cos(3π/5)=1/2, cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)=1/2, cos(π/9)+cos(3π/9)+cos(5π/9)+cos(7π/9) =1/2, ……一般有     

错在哪儿

<正>题目若函数f(x)=(1/2)(x-1)+m在区间[a,b]上的值域为[a/2,b/2](b>a≥1),则实数m的取值范围为.此题是我市高三期中模拟试卷上的一道试题.我和同桌分别用了两种不同的解法,但最后结果不一致,到底谁是谁非呢?解法1(我的解法)由于f(x)=(1/2)(x-1)+m在[a,b]上是单调增函数,故f(a)=a/2,f(b)=b/2,即     

一个值得质疑的答案

试题:已知向量a=(2cosx/2,tan(x/2 π/4)),tan(x/2-π/4)),令f(x)=a·b．是否存在实数x∈[0,π],使f(x) f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之．这是2005年江西省高考理科数学第18题．各参考书及网站上的答案如下:     

选择解法的理性思考

例1 如果函数f(x)=sin 2x a cos 2x的图像关于直线x=-π/8对称,求a的值.     

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B中的一种错误求法

<正>1从一道考试题说起《全品新题小练习(2014数学·理科)》(开明出版社)P13有这样一道题:(2013·哈尔滨三中期末)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π/2),满足f(x)=-f(x+/π2),f(0)=1/2,f'(0)<0,则g(x)=2cos(ωx+φ)在区间[0,π/2]上的最大值与     

2018年高考理科数学全国(Ⅰ)卷第16题几种解题思路

<正>问题(2018年高考理科数学全国(Ⅰ)卷第16题)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是______.解法赏析思路1f(x)=2sinx+sin2x,由周期函数不妨设x∈[0,2π],f'(x)=2cosx+2cos²x=2(2cos2x=2(2cos²x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).     

从函数观点看数列

例1如果函数f(x)满足:对任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)f(b),且f(1)=2,则f(2)/f(1)+f(5)/f(3)+f(9)/f(6)+f(14)/f(10)+…+f(1274)/f(1225) =__.解在等式f(a+b)=f(a)f(b)中,令b=1,则有f(a+1)=f(a)f(1)=2f(a),所以,数列{f(n)}是以2为首项,2为公比的等比数列,因而     

第45届IMO预选题(上)

代数部分1.本届IMO第4题.2.已知无穷实数列a0,a1,a2,…满足条件an=|an 1-an 2|,n≥0,其中a0、a1是两个不同的正数.问这个数列是否有界?3.是否存在一个函数f:Q→{-1,1},使得如果x、y是两个不同的有理数,且满足xy=1或x y∈{0,1},则f(x)f(y)=-1?证明你的结论.4.本届IMO第2题.5.设a     

由一个错误答案引出的问题

中学生学习报数学周刊高一版第7期给出了这样一道题"函数f(x)=1/(x2-ax-a)在[-2,-1/2]上单调递增,那么a的取值范围是( )     

一道课本习题的巧用

人教版试验修订本数学高一(上)复习参考题二(B)第6题: 设y=f(x)是定义在R上的任一函数,求证: (1)F_1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)F_2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。该题本身的证明较简单,但它的作用却不简单,成为判断函数奇偶性的又一有力工具,应用它可以很方便地解答某些高考题。     

高考一道数学题的加强

1994年全国高考理科数学第(22)题为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),且x_1≠x_2,证明1/2〔f(x_1) f(x_2)〕>f(X_1 X_2/2)。 其实,该题可以加强为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),     

新课程高考试卷上一道选择题的多种解法

设a>0,f(x)=ax2+bx=c.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,π/4],则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( ).A.[0,1/a] B.[0,1/2a] C.[0,|b/2a|] D[0,|b-1/2a|]这是2003年高考新课程试卷中的一道试题,该题以考查直线的倾斜角、斜率,抛物线的有关性质、切线方程,及新增内容——导数的概念、多项式函数的导数等基础知识为主干内容,起     

求解三角问题的常用数学思想

数学思想是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本指导思想.求解数学问题时,若能正确地运用数学思想,则可提高解题效率.本文举例介绍在求解三角问题时的常用数学思想.一、函数思想例1已知x3+sinx-2a=0,x∈[-π2,π2],4y3+sinycosy+a=0,y∈[-π4,π4],求sin(x+2y)的值.分析:从已知条件所具有的特征出发,可构造一个新的函数f(x)=x3+sinx,利用该函数的单调性,找出x与2y的关系,从而获得解答.解:令函数f(x)=x3+sinx,由x3+sinx-2a=0,得2a=x3+sinx=f(x).又由4y3+sinycosy+a=0,得2a=-8y3-2sinycosy=(-2y)3+sin(-2y)=f(-2y),∴f(x)=f(-2y),∵x,-2y…     

走进一类流行十六年经典竞赛题的科学背景

1一类经典竞赛题1.1解无理方程题1(1990年福州市高中数学竞赛题)解方程(6x 5)[1 (6x 5)2 4] x(1 x2 4)=0.1.2求值题2(1994年全国高中数学联赛试题和1998年第9届“希望杯”全国数学邀请赛高二第二试试题)已知x、y∈[-4π,4π],且x3 sinx-2a=0,4y3 sinycosy a=0.则cos(x 2y)=.题3     

一道高考题的探源、背景与别解

2009年高考数学陕西卷理科第20题如下: 考题1 已知函数f(x)=ln(ax+1)+导1-x/1+x≥0,其中a>0. (1)若f(x)在x=1处取得极植,求a的值;