谈常系数非齐次线性微分方程的求解

一阶常系数非齐次线性微分方程 y′+py=f(x) (1)其通解为y=e~(-px)(∫f(x)e~(px)dx+c),或y=e(-px)∫f(x)e~(px)dx,联系到相应的齐次方程的特征方程r+p=0,通解中-p就是特征根r,于是通解又可记为y=e~(rz)(∫f(x)e~(-rx)dx+c),或y=e~(rx)∫f(x)e~(-rx)dx,利用这个公式容易求出(1)的通解。这使我们联想到二     

双曲函数在积分法求解微分方程中的应用

在求解微分方程过程中,某些积分运算利用双曲代换比较容易算出结果,除此以外,有些微分方程的解,特别是线性微分方程的解可以利用双曲函数通过积分比较方便地表示出来,本文介绍双曲函数在求解二阶常系数线性微分方程中的一些应用。方程Ⅰ.y-a~2y=f（X）（a≠0）（1） 这是二阶常系数非齐次方程,先求出对应的齐次方程 y-a~2y=0（1）’的通解:由特征方程r~2-a~2=0得特征根r_1=a,r_2=-a ∴y_1=e~(ax),y_2=e~(-ax)是（1）’的两个特解我们取y_1=e~(ax）+e_(-ax)/2=chax y_2=y_1=e~(ax)-e(-ax)/2=shax 作为（1）'的两个特解,且易证它们是线性无关的 ∴Y=c_1chax+c_2shax 是方程（1）’的通解 为求方程(1）的通解,运用常数变易法 设 y=c_1(x)chax+c_2(x)shax （2）     

微分方程特征根法求解探讨

本文将利用特征方程推出自由项为f(x)e~(λx)的一阶、三阶等常系数线性微分方程的通解结构。 一、定理和已知结果 众所周知设二阶常系数线性微分方程为: y″+py′+qy=f(x)e~(λx) (p、ε、λ为实常数) (f(x)为多项式) (1)     

常系数线按非齐次微分方程和Euler方程通解的一种显示表达

一、引言 对n阶常系数线性非齐次微分方程 y~(n) p_1y~(n-1) p_2y~(n-2) … P_(n-1)y~/ P_ny=f(X)(1)其中p_1,p_2…,p_n为常数,若能求出其对应齐次方程的n个特征根,则很容易写出该齐次方程的通解Y(x)的显式表达式。 (i)当方程(1)的右端f(x)=c~(ax)[g(x)cosbx h(x)sinbx]时,其中a、b为实数,g(x)和h(x)是x的多项式,可用待定系数法求出(1)的一个特解y~*(x),从而得(1)的通解为y=r)x) y~*(x)。     

二阶变系数线性微分方程的一类通解

文章利用待定函数法,把二阶变系数线性微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)降为一阶线性微分方程,从而推导出二阶变系数线性微分方程的一类通解为y=(x+k)∫1/(x+k)~2e~(-∫p(x)dx) [∫(x+k)f(x)e~(∫p(x)dx)dx+C_1]dx+C_2(x+k),其中C_1,C_2为任意常数,k为常数,并证明该通解存在的充要条件是p(x)+(x+k)q(x)=0,同时还得出特殊情形的相应结果.     

变换x=e~(λt)y在解微分方程中的作用

中山大学数学力学系常微分方程组编的《常微分方程》教材中,在解常系数线性齐次微分方程L[x]=a_1x a_1x′ … a_nx~(n)=0(1)和非齐次方程L[x]=a_0x a_1x′ … a_nx~(n)=f(t)(2)时都要用到这一变换。我们在教学中觉得把常系数线性方程经过变换x=e~(λty)后的结果写了出来并用数学归纳法加以证明较妥。这样在常系数线性齐次方程的特征方程有重根时解的讨论和非齐次方程(2)右端函数为f(t)=e~(λty)(t)(P(t)为m次多项式)的待定系数法的研究中都很方便,而且也更有说服力。即引入下面的定理。     

常系数非齐次线性微分方程求特解的两种方法

欲求形如y″ py′ qy=e~(λx)P_m(x) (1)(p、q 为常数,λ亦可为复数,P_m(x)为 m 次多项式)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,在诸教材及习题解答中都是设特解y~*=x~kQ_m(x)e~(λx) (2)其中 Q_m(x)是与 P_m(x)同次的多项式,而 k 是λ做为与(1)对应的齐次方程的特征方程     

常数变易法求解三阶常系数非齐次线性微分方程

用解一阶微分方程的常数交易法求解三阶常系数非齐次线性微分方程y^m py^n qy′ sy=f(x)，其优点是无需求特解，无须求基本解组，但可求通解，并且给出了一个通用的公式。     

求y″ py′ qy=Ae~(ax)cos~βx(或 Be~(dx)sin~βx)型微分方程特解的代数方法

一个微分方程可以刻划某系统的运动状态,其通解可以反映该系统所发生的无数不同的过程,而每一个过程又只与一个特解相对应,所以求一个微分方程的通解和特解就显得十分重要。依线性微分方程解的结构定理知,欲求二阶常系数非齐次线性微分方程y″ py′ gy=f(x) (p,q 是常数)的通解,需求(1)的一个特解 y*,再求相应的齐次线性微分方程y″ py′ qy=0的通解 Y,则(1)的通解即为 y=y* Y.     

二阶变系数线性非齐次微分方程的通解

时于形如yn+a(x)y'+b(x)y=0的二阶变系数常微分方程,在已知一个特解y1(x)的情况下,通过线性变换,找到了一个既与y1(x)线性无关又可由变系数a(x)、b(x)共同表出的特解y2(x),从而使二阶变系数线性非齐次常微分方程的通解可用其变系数a(x)、b(x)明确地表达出来.     

复常系数线性齐次微分方程组的解法

本文给出了一种求复常系数线性齐次微分方程组: X~′=(A+iB)X (1)的标准基解矩阵的方法,得到了方程组(1)的通解公式。这里A,B均为n阶实常数矩阵。     

高阶常系数线性差分方程的解的研究

在文献[5]中,论文作者将常系数齐次线性差分方程改写为矩阵与向量乘积形式的递推关系,并运用相似矩阵的理论给出了常系数齐次线性差分方程通解的解析形式。在论文中,则通过引进算子把常系数齐次线性差分方程化为一些式子之积,再利用算子相关的引理,简便地得到k阶常系数齐次线性差分方程k个线性无关的解,从而得到通解。     

三阶常系数线性非齐次微分方程的常数变易解法

将常数变易法应用于三阶常系数线性非齐次微分方程,对一般非齐次自由项形式,给出了方程的特解公式,进而求得了通解。     

二阶线性微分方程通解在Riccati方程解下的积分表示

首先给出二阶线性微分方程x“ p(t)x‘ q(t)x=f(t)的通解在Riccati方程y‘=y^2-p（t)y q(t)解下的只分表示，然后得出二阶线性常系数微分方程x“ px‘ qx=f(t)通解的积分公式。     

利用复函数求解二阶常系数线性非齐次方程的一个特解

二阶常系数线性非齐次方程的通解是对应的线性齐次方程的通解与其自身的一个特解之和,而二阶常系数线性齐次方程的通解已经解决.所以求线性非齐次方程的通解,只需求其一个特解.求其特解有常规的方法,这里主要介绍利用复函数求解二阶常系数线性非齐次方程的一个特解,方法要比常规解二阶常系数非齐次方程的方法思路更为统一,因而更易掌握.     

复常系数线性微分方程的解法

文[1]仅给出了y″+(a+bi)y′+(c+di)y=0的通解公式,本文先提出一类高阶复系数齐次方程的通解公式。进而利用待定系数法,得到了二阶复常系数线性非齐次方程特解的简捷求法,即直接利用公式写出相应方程的特解。     

二阶线性微分方程通解在Riccati方程解下的积分表示

首先给出二阶线性微分方程x″ +p(t)x′ +q(t)x =f(t)的通解在Riccati方程y′ =y2 -p(t)y +q(t)解下的积分表示 ,然后得出二阶线性常系数微分方程x″ +px′ +qx =f(t)通解的积分公式 .     

常微分方程综合练习

Ⅰ　综合练习1　填空题(1)方程dydx =xtany的所有常数解是 。(2 )若 y =y1(x) ,y =y2 (x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解 ,则用这两个解可把其通解表示为。(3)方程dydx =ysinx2 的任一非零解与x轴相交。(4 )方程dydx =x2 +y2 满足解的存在惟一性定理条件的区域是。(5 )方程dydx =(1- y2 ) 12 满足解的存在惟一性定理条件的区域是。(6 ) fy′(x ,y)连续是保证方程dydx =f(x ,y)初值惟一的条件。(7)方程组dYdx =F(x ,Y) ,x∈R ,Y∈Rn 的任何一个解的图像是维空间中的一条积分曲线。(8)线性齐次微分方程组dYdx =A(x)Y的一个基本解组的个…     

二阶线性微分方程可积性判据的讨论

主要讨论了二阶变系数线性齐次微分方程的可积问题,利用变量代换得出了方程y″+P(x)y'+Q(x)y=0在满足一定条件下可积的几个充分条件,并给出了相应的通解。     

关于e~(At)的级数计算法的一点注记

常系数线性微分方程组X(t)=AX(t)(t>0)(1)X(0)=X o式中X(t)=[x_1(t),x_2(t),…X_n(t)],A为n×n实常数矩阵。其解X(t)=e~(Al)XO (2)e~(Al)=sum from n=0 to ∞(A~nt~n/n!) (3)且Reλ(A)＜0 (4)e~(Al)计算的级数方法如下: