惹麻烦的平行公理

让人怀疑的第5公理欧几里得是古希腊著名的数学家,他在其名著《几何原本》一书中,列出了五个公理:     

几何学分支几何?

"几何"这个词的词义来源于希腊文,原意是土地测量。真正把几何总结成一门学科的是希腊数学家欧几里得。在公元前300年左右,他写成了《几何原本》,书中的几何学方法和原理,人们称为欧式几何。此后的两千年,人们头脑中的世界图景就是按照欧式几何描述的,人们以为这就是世界的唯一真相。     

是爱因斯坦错了还是李约瑟错了? 与席泽宗先生商榷

一事由2008年第2期《科学文化评论》上席泽宗先生的论文《欧几里得〈几何原本〉的中译及其意义》中开头一节的题目是"爱因斯坦的片面论断",引了爱因斯坦1953年给J.E.Switzer(该是J.S.Switzer)信中的话:"西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础:希腊哲学家发明形式逻辑体系(在欧几里得几何中),以及(在文艺复兴时期)发现通过系统的实验可能找出因果关系。"在我看来,中国的贤哲没有走上这两步,那是用不着惊奇的。作出这些发现是令人惊奇的。"     

非欧几何——险被怯弱所埋没的发现

<正>大家都知道,《几何原本》是数学史上的经典之作。几乎所有的人都坚信,欧几里得几何是物理空间的正确抽象,欧几里得的公设是不证自明的真理;有些数学家却不这看,甚至还有点苛刻和较真。他们习惯于用怀疑的眼光去打量这些真理。对于欧几里得几何中的第五公设,即平行公设(如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于180°,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于180°的一侧相交),这些数学家更是疑虑重重,由于第五公设的真理性不像其他的公设那样明显,所以缺乏绝对的说服力,必须加以证明。非欧几何的诞生,就始于人们努力消除对欧几里得平行公设的怀疑这一过程中。     

数学的视觉盛宴——从双曲型灯罩到异域天使

正数字是否曾令你头疼?你是否曾经觉得那些数学公式枯燥又无味?但在艺术的王国里,它们可是十分生动有趣的。北京故宫、巴黎圣母院、罗丹的雕塑"思想者",可都包含着数学原理呢。下面的艺术品,不是艺术家们天马行空想象出来的,它们都是数学原理实践的成果。双曲型灯罩(编织物)学过数学的你,一定知道"几何之父"欧几里得,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础。我们学习的许多公理,都有欧式几何的影子。例如"若     

轶事三则

学习的动力被称为“几何学之父”的古希腊数学家欧几里得(约公元前330～前275年)对他的学生们循循善诱,不厌其烦;然而,当孩子对学习产生动时,他也会用辛辣的讽刺来鞭挞他们。一天,欧几里得在课堂上给学生讲解几何第一定理,讲着讲着,他发现一个学生在底下坐不住,一会儿和旁边的同学说说话,一会儿又在桌下做小动作。欧几里得有意停顿了一下,用目光示意这位学生注意听讲,没想到这位学生却突然站了起来,问道:“请问先生,学习几何究竟有什么实际好处?”欧几里得听罢,沉默了一会儿,转身吩咐一旁的佣人:“拿一点儿钱来给这位先生,看来,没有钱他是不…     

16世纪英国学者约翰·迪伊的学术困境与科学探索

约翰·迪伊作为英国都铎王朝时期的重要学者,积极推动并参与了欧几里得《原本》的英译工作,并为1570年比林斯利英译的《原本》作了一篇长达50页的《数学序言》。由于从事神秘学研究,迪伊的身份遭到了质疑,其学术贡献也常常为后世学者所忽视。通过解读《数学序言》的文本,可重新发现约翰·迪伊的学术思想及其对当时英国社会的积极影响,并从中窥见16世纪英国学者在科学方面的探索及英国科学发展的重要方向。     

是爱因斯坦错了还是李约瑟错了?与席泽宗先生商榷

一事由 2008年第2期<科学文化评论>上席泽宗先生的论文<欧几里得<几何原本>的中译及其意义>中开头一节的题目是"爱因斯坦的片面论断",引了爱因斯坦1953年给J.E.Switzer(该是J.S.Switzer)信中的话:     

资讯

正迄今最大的"梅森素数"美国数学家通过"互联网梅森素数大搜索"(GIMPS)找到第49个也是迄今已知最大的梅森素数——2的74 207 281次方减1,该素数有22338618位。素数又称质数,只能被1和它本身整除。公元前300年,古希腊数学家欧几里得就在《几何原本》中证明素数有无穷多个,而其中一些素数可以写成2n-1的形式,n也是一个素数。这种特殊形式的素数引得许多数学家苦思冥想,其     

几何学的革命

公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得(Euclid,生卒年不详,鼎盛期约在公元前300年)写了一本划时代的巨著<几何原本>(Elements),这本书在科学上开创了公理化方法的先河,它最早用公理化方法去建立演绎数学体系.<几何原本>共13卷,它的开头是23个定义,诸如点没有大小、线有长度没有宽度、线的界是点、面只有长度和宽度、面的界是线等等.定义的后面是5个公设,前4个公设分别是:两点间可连一条直线、直线可无限延长、以任一点为圆心以任一半径可作一圆、凡直角都相等.公设之后是5个公理,分别是:等于同量的量相等、等量加等量和相等、等量减等量差相等、可重合的图形全等、整体大于部分.<几何原本>就是从定义、公设、公理出发,通过逻辑推理从而得出一系列的定理.<几何原本>后来成为后世学习几何知识的标准教材,它记载的几何学也被称为欧氏几何.<几何原本>在科学史上影响十分深远,如牛顿(I.Newton,1642～1727)在撰写<自然哲学的数学原理>时就仿照了它的体例.     

生理明度与磁性原理的艺术展示

与欧几里得相同,注重几何光学的托勒密后来接受的也是"视觉射线"理论,但远超过欧几里得的是,托勒密承认几何光学的局限性,由几何光学得出的结论与日常经验相悖时,托勒密非常愿意借助视知觉的心理分析来澄清问题.     

反先验论与亥姆霍兹非欧几何公理化思想的关系

反先验论是亥姆霍兹哲学思想中的一个重要倾向。它开始于他的感觉生理学研究,后来扩展到对算术和几何公理之来源问题的思考,最终形成了作为其科学生涯后半期的一个显著特点的经验主义立场。文章从生理学中有关空间知觉研究的先验论与经验论之争的分析入手,考察了亥姆霍兹从经验主义出发驳斥康德关于欧几里得几何公理之先验性的论述,进而认为这些公理是后天经验的产物并在此基础上提出了他的非欧几何公理化思想。     

机械化数学的典范——评吴文俊的专著《几何定理机器证明的基本原理》

1899年希尔伯特(Hilbert)出版了他的经典名著《几何基础》,从此奠定了几何公理化体系的基础。1984年科学出版社出版的吴文俊的专著《几何定理机器证明的基本原理》(以下简称《原理》)一书,可以说是奠定了几何机械化体系的基础。它可以与《几何基础》媲美,成为机械化数学的典范著作。     

“几何”曾经不是几何学明末“几何”及相关学科命名新探

徐光启和利玛窦一起翻译了《几何原本》,这是一个中西数学、科学甚至文化首次实质性交流的重大历史事件。然而学界目前对“几何”的中西来源及其含义以及与之相关学术的研究颇多值得商榷之处。本文从已有研究出发,通过对原始文献的详细解读,对“几何”、“几何府”、“几何家”、“几何之学”、“几何原本”等词汇的来源和含义提出了与以往不同的观点。     

科学的道路

古希腊时期,托勒密国王希望能轻轻松松就学好几何学,于是便向欧几里得打听学习几何学的捷径,欧几里得回答说:“几何无王者之路。“就是说,无论是皇亲国威还是平民百姓,在科学的道路上完全平等。马克思将科学的入口处同地狱的入口处相提并论,认为从事科学需要有种义无反顾的精神。那么,科学的     

"欧先生"来华四百年

在《几何原本》被引介到中国达四个世纪之际,本文回顾了这部西方数学名著在中国的传播过程,介绍了以《原本》为典范的数学思想在西方文化中的作用,特别指出它所体现的公理化思想体系被奉为以理性追求确定知识的圭臬,它所蕴涵的美学价值与真理标准对其他领域具有重大影响,对于教育青年、陶冶人的美好情操具有无可比拟的示范作用。     

算学经典《九章算术》——中国独具特色的数学体系形成

《九章算术》作为周秦至汉代中国数学发展的一部总结性著作，是我国古代以算筹为计算工具及独具特色数学体系形成的标志。《九章算术》对中国古代数学发展所产生的影响，正如古希腊欧几里德《几何原本》对西方数学所产生的影响一样，极为深远。     

明末清初公理化方法未能在我国广泛传播的原因

明末清初随着《几何原本》等西方文献的汉译,在西方社会盛行了近两千年的公理化方法来到了中国。这种方法中国古代没有,且和近代科学的关系密切,本应受到国人的欢迎,并能尽快在科学研究中应用和传播。但事实却相反,公理化方法传入后一直被国人冷落,直到晚清。从当时的实际出发,我们认为这主要有三个原因:1、《几何原本》生涩难读;2、“西学中源”说轻视西方科学;3、公理化方法传来的时候本身不完整。正是这三个原因造成了当时公理化方法传播的停滞。     

科学本来就很美

今年是瑞士数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉诞辰306周年。这位科学巨匠善用简洁的函数表达真理,他的欧拉公式至今仍被认为是最具美感、最有魅力的公式之一。他还曾写下《音乐新理论的尝试》,将数学与艺术美结合在一起。这位天才数学家富有创造力的一生,给后人有益的启示:探究真理的动力中饱含着对美的追求,科学之美可诱发出科学家无限的创造力。尽管科学家们对科学美的阐述大多是零散的、即兴的,但不难看出他们对科学之美的肯定和重视。英国数学家和哲学家罗素从欧几里德的《几何原本》中"读出音乐般的美妙",德国生物学家海克尔从达尔文《物种起源》中"见出生物世界无与伦比的     

叛逆的几何——拓扑几何学

这是一门崭新的几何。它的革命性思想彻底背叛72000多年来欧几里得几何学的传统。使人类以全新的眼光重新审视我们身处其中的世界。