善用“中点”解决问题

<正>本文通过一道解三角形问题,多角度利用"中点"条件解决问题.题目在ABC中,点D是BC边上的中点.若∠BAC=60°,AB=2,AD=3/2,求AC.解法1利用互补角设BD=DC=x,AC=y,由cos 60°=(2²+y2+y²-(2x)2-(2x)²)/(2·2y),得4x2)/(2·2y),得4x²-y2-y²+2y-4=0.(1)由cos∠BDA+cos∠CDA=0,得     

求无理函数值域的常用方法

学生经常产生一些似是而非的错误,如: 例1 求函数y=x (x~2-3x 2)~(1/2)的值域。 错解 由y-x=x~2-3x 2)~(1/2) 可得 (y-x)~2=x~2-3x 2. 整理得　x=（2-y~2)/(3-2y)(y≠3/2). 因而函数的值域为{y|y∈R,y≠3/2}.     

“变通”、“整合”启开综合题之门

同一个题目,尤其是综合题,有的人拿到会迅速得解,有的人却一筹莫展,只能望题兴叹。究其因,固然不能一概而论,但是,善于将题目的条件、结论等价变通或重组整合,不失解综合题之良策。现撷2001年中考题几例略述,供参阅。例1 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=53、BC=a,AC=b,且a>b,若a,b分别是二次函数y=x2-(2k 1)x k2-2的图象与x轴两个交点的横坐标,求a,b的值。(天津市中考题)分析摆条件:(1)∠ACB=90°,AB=53;(2)BC>AC,BC、AC分别是y=x2-(2k 1)x k2-2的图象与x轴两个交点的横坐标:     

成果集锦

直角三角形的一个充要条件黑龙江省绥化市北林区五中　王　航　　定理　在△ABC中,CD平分∠C ,则∠C =90°的充要条件是1AD2 1BD2 =2CD2 .①证明:如图,作BE∥AC ,AF∥BC ,分别交CD的延长线于点E、F ,则有CDDE =ADDB =DFCD .若∠C =90°,则∠CBE =∠CAF =∠C =90°,∠BCE =∠ACF =45°,BC =BE ;AC =AF ,于是由DF =ADDB·CD知2AC2 =AC2 AF2 =CF2 =(CD ADDB·CD) 2 ,类似得　2BC2 =(CD DBAD·CD) 2 .以上两式相加,注意到AC2 BC2 =AB2 ,AD DB =AB ,即得2AB2 =CD2 ·AB2 ( 1AD2 1BD2 ) ,即…     

一道高考立体几何试题的解法及反思

<正>一、试题再现(2014年课标版全国试题)如图1,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(1)证明:AC=AB1;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.二、思路探究本题考查了空间几何体中有关线段长度的证明以及空间角的求解,从能力上,较好地     

巧妙构图 tan15°

如何求 tan 15°?学生时常为这个问题所困扰,笔者经研究发现:利用特殊角(30°,45°和60°)之间的关系巧妙地构造几何图形,不难找到一些简捷、精当的方法,下面以含30°的直角三角形为基本图形,商榷几种求 tan 15°值的方法.基本图形:如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1.基本结论:AC:BC:AB=1:3~(1/2):2,即 AB=2,BC=3~(1/2),∠A=60°.1 以30°角为顶角,构造等腰三角形方法1:如图2,延长 BC 至 D 点,使 BD=AB,连结 AD.由作法可知,BD=AB=2,∠CAD=15°.所以CD=BD-BC=2-3~(1/2).     

一法多用

对形如x~2=y~2 k·z形式的结论的几何题,可把上式变形为k·z=(x y)(x-y),这样就可以应用圆的相交弦定理或圆的割线定理证明.下面就以例题来加以说明:例1:已知在△ABC中,∠B=2∠A,求证:AC~2=BC~2 BC·AB分析:由AC~2=BC~2 BC·AB变形得:BC·AB=AC~2-BC~2=(AC BC)(AC-BC)这样就可以以C为圆心,以BC或AC为半径作圆,利用圆的相交弦定理或圆的割线定理来证明.证明:如图1-(1)示:由于∠B=2∠A,则AC>BC,作以C为圆心,BC为半径的圆,分别交AC及其延长线于D、E,交AB于F点,则:AD=AC-CD=AC-BC,AE=AC CE=AC BC     

平面几何复习与训练

一、几何元素的基本概念、角、相交线和平行线复习要点和例题理解点、直线、射线和角等基本概念;掌握线段和角的度量及和与差;掌握余角、补角的概念与性质;掌握两直线垂直、平行的判定及性质;了解命题、定理等概念. 例1 已知B是线段AC上一点,且AB=α,BC=b(α相似文献   

巧用角度 多法求点

<正>一、原题呈现(2019·盐城中考)如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-1的图象分别交x轴,y轴于点A,B,将直线AB绕点B顺时针旋转45°,交x轴于点C,求直线BC对应的函数表达式.     

2006年贵州省中学生数学竞赛试卷

一、选择题(共4小题,每小题6分,满分24分)1、已知:ab=1,则下列计算正确的为()。A、1-aa-bb-1=-1;B、1-aa-bb-1=-2;C、1-aa-bb-1=1;D、1-aa-bb-1=2·2、已知:y=kx b(k≠0)中,当x增加5时,y减小3,则k的值等于()。A、-35 b;B、3 5b;C、53;D、-53·3当、如折到图第,用n一次张时面,小积为矩形1的的矩面形积白s纸和,折进痕行数如y下分操别作等:于()。(A)s=y=2n;(B)s=1,y=2n-1;4(、C已)s知=:y梯=形n A;BCD(中D),sA=Bn1∥,DyC=且21n·AB=3CD,DF∥BC,E为BC中点,连接AE交DF于H,若S△AHD=20,则S梯形ABCD=()·(A)50;(B)60;(C)64;(D)6…     

换元法求函数的值域

求函数 y=x+(1-2x)~(1/2)的值域,一般用如下方法:由函数式得 y-x=(1-2x)~(1/2)(1)两边平方得 y~2-2xy+y~2=1-2x(2)整理得 x~2-2(y-1)x+(y~2-1)=0 (3)∵ x 是实数,     

分析反思 探究新解

1分析解法首先看一位教师对2012年高考数学浙江卷理科第15题的讲评:在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB·AC=____.解∵AB=AM-1/2BC,AC=AM+1/2BC,∴AB·AC=(AM-1/2BC)·(AM+1/2BC)=AM2-1/4BC2=9-1/4×100=-16.老师讲完以上解法马上转入下一道题,没有分     

重庆市第三届中学生数学竞赛试题参考解答

一、在同一坐标系里有两条抛物线y=ax~2 c和x=ay~2 c,其中,a、c为实数且-(3/4)相似文献   

运用发散思维求15°角的三角函数值

含30°、45°、60°角的直角三角形中,各边之间的数量关系很容易求出来,运用发散思维,把上述三种三角形的边的数量关系转化为含15°角的直角三角形的各边之间的数量,就能顺利求出15°角的三角函数值.一、借助含30°角的直角三角形方法一如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1,延长CB到D,使BD=AB=2,则∠D=∠BAD=15°,BC     

直角三角形与几个特殊数不等式

引理　设Rt△ABC中 ,∠C =90° ,CD是斜边上的高 ;过B点作BE ⊥AB ,BE =BC ,连结AE ,过E点作EF ⊥AE交AB的延长线于F ,则DB =BF .证明　在Rt△ABC中 ,BC2 =AB·BD ,Rt△AEF中 ,BE2 =AB·BF ,因为BE=BC ,所以DB=BF .这个引理表明 :在两个直角三角形中 ,若第二个直角三角形的一条直角边在斜边上的射影与高分别等于第一个直角三角形的斜边与一条直角边 ,那么 ,其另一直角边在斜边上的射影等于与高相等的直角边的射影 .本文将用几何方法证明如下的代数不等式 :若x>y >0 ,则y <2xyx y 相似文献   

直线平面 简单几何体训练测试题

一、选择题1·在下列关于直线l1,l2与平面α、β的命题中,真命题的是()(A)若l1β且α⊥β,则l1⊥α.(B)若l1⊥β且α∥β,则l1⊥α.(C)若l1⊥β且α⊥β,则l1∥α.(D)若α∩β=l2,且l1∥l2,则l1∥α.(第2题)2·如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点D、E分别是棱AB,BB1的中点,则直线DE与BC1所成的角是()(A)45°.(B)60°.(C)90°.(D)120°.3·二面角α-l-β的平面角为120°,A、B∈l,ACα,BDβ,AC⊥l,BD⊥l,若AB=AC=BD=1,则CD等于()(A)2.(B)3.(C)2.(D)5.4·空间四边形ABCD,AC=AD,∠BAC=∠BAD=3π,…     

动脑筋

育英中学数学园地有奖征解试题:“在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,CE⊥AB,D、E为垂足,BC=2(3~(1/2))cm,S_ΔABC=8cm~2,求DE与S_ΔADE的值。小明求得答案DE=3~(1/2)cm,S_ΔADE=2cm~2,试鉴别正误,并阐述理由”。     

数学最值问题错解剖析

例1求函数y=x+5-x2√的最值.错解由y=x+5-x2√得2x2-2yx+(y2-5)=0.∵xR,∴Δ=4y2-8(y2-5)≥0,-10√≤y≤10√,∴ymax=10√,ymin=-10√.剖析把y=x+5-x2√两边平方后得(y-x)2=5-x2.显然,5-x2≥0,x的范围没有改变.错因是改变了值域.由y-x=5-x2√知y≥x,而把y-x=5-x2√两边平方后,值域发生了改变.正解由y=x+5-x2√得2x2-2yx+(y2-5)=0.∵xR,∵xR,∴Δ=4y2-8(y2-5)≥0,∴-10√≤y≤10√.又∵y≥x,-5√≤x≤5√,∴y≥-5√,-5√≤y≤10√.∴ymax=10√,ymin=-5√.例2求函数y=x2+2x+2x2+2x+5√的最小值.错解令t=x2+2x+5√,则x2+2x=t2-5.∴y=t2…     

与圆相关的阴影面积的八求法

一、割补法 例1 (2013年·山西中考题)已知如图,四边形ABCD是菱形,∠A =60°,AB =2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中的阴影部分面积是() A.2π/3-√3/2 B.2π/3-√3 C.π-√3/2 D.π-√3 解:连接BD 因为:在菱形ABCD中,∠A =60° 所以:∠ABC=120° 所以:∠DBC =60° 则:BC=BD =2 因为:扇形BEF的圆心角为60° 所以:∠EBD=∠CBF 所以:(DE)=(CF)     

对一道相似中考题的解法探究

正题目如图1,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AC=3,AB=4,点P是线段AB上任意一动点,以AP为直角边作等腰直角三角形APQ,PQ交BC于点E,线段AQ交BC于点D,设AP=x,DQ=y.(1)求y关于x的函数关系式及DQ的最大值;(2)如图2,连结CQ,当△CDQ和△ADB相似时,求x的值;(3)当以点C为圆心,CQ为半径的⊙C和以点B为圆心,BQ为半径的