掷骰子与概率的起源

概率的初步知识已经进入初中数学课程.作为学习概率概念时常用的一个直观的、典型的例子,掷骰子的问题也出现在初中数学教材之中.骰子的形状是正方体,在它的6个面上分别有不同的记号,通常分别刻上1,2,…,6个点.掷一次骰子,骰子的6个面中任何一个面都有可能向上,并且每个面向上的可能性大小都相等.从概率论的角度看,掷骰子是一种等可能的随机试验:“掷一次骰子,向上的面有 i 点(i 是1～6中的某个正整数)”是一个随机事件;通过掷骰子可以从6种可能结果中机会均等地、随机地产生出一种结果.在数学史中,概率的起源与掷骰子有密切关系,概率论的创立者正是从研究掷骰子等问题入手,建立了相应的数学模     

与最小复盖圆半径有关的一个常数

1.平面上n个点组成的点集F={p_i}_(i-1)~n,D(F)=Maxp_ip_j表示F的直径,r(F)表示复盖F的最小圆的半径,本文讨论 N_2=inf F D(F)/r(F);(其中下确界对任何有限点集F取) 我们证明N_Z=3~(1/2),并给出一些高维空间的类似推广。 2.N_2=3~(1/2)的证明设复盖F的最小圆为C。 A.若圆C的圆周上只有F中两个点,不妨设为P_1、P_2,我们证明P_1P_2是圆C的直径。若否,不妨设F中其余n-2个点对P_1P_2的张角满足∠P_1P_3P_2≤∠P_1P_4P_2≤…≤∠P_1P_nP_2(不然改变P_i的下标即可)。如果∠P_1P_3P_2>90°,则以P_1P_2为直径的圆C′也复盖F,但比C有更小的半径,与圆C的最小性矛盾。如果∠P_1P_3P_2≤90”,作△P_1P_2P_3的外接圆C′,C′小于C,我们证明C′也同样复盖F。     

高中解几总复习达标与评估

一、选择题:(16×3'=48')。 1.线线|P_1P_2|=1,点P在P_1P_2的延长线上,|P_1P_2|=2,则P分P_1P_2所成的比是 ( ) (A)2 (B)1/2 (C)-3/2 (D)-2/3 2.直线l的倾角的一半的余弦值为3/4,且直线过点(0,-3),则其方程为 ( ) (A)y=3(7~(1/2))x 3 (B)y=3(7~(1/2))x-3     

错解分析4例

例1 把两盏标有“6V 6W”,“6V 2W”的电灯泡串联接在12V的电源上。求两灯泡的实际功率。 错解∵R_1=U_(1额)~2/P_(1额)=(6V)~2/6W=6Ω, R_2=U_(2额)~2/P_(2额)=(6V)~2/2W=18Ω, ∴I=U/R_1 R_2=12v/6Ω 18Ω=0.5A. 故 P_1=I~2R_1=(0.5A)~2×6Ω=1.5W, P_2=I~2R_2=(0.5A)~2×18Ω=4.5W.     

一道概率问题的变式探究

引例甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的正方体骰子,规定:如果某人某一次掷出1点,则下一次继续由此人掷,如果掷出其他点数,则由另一人来掷,且第一次由甲掷.设第 n 次由甲掷的概率为 p_n,由乙掷的概率为 q_n.(1)计算 p_2,p_3的值;(2)求证:{p_n-q_n}是等比数列;(3)求 limp_n.n→∞解(1)由已知得,p_1=1,q_1=0,p_2=1/6,q_2=5/6,p_3=1/6 p_2 5/6 q_2=(26)/(36)=(13)/(18).(2)由题意得,p_n=1/6 p_(n-1) 5/6 q_(n-1),q_n=1/6 q_(n-1) 5/6 p_(n-1)(n≥2),两式相减得p_n-q_n=1/6(p_(n-1)-q_(n-1)) 5/6(q_(n-1)-p_(n-1))=-2/3(p_(n-1)-q_(n-1)),即数列{p_n-q_n}是公比为-2/3的等比数列.(3)由结论(2)得     

点对称三角形的性质及其应用

P为三角形ABC内一点,点P关于△ABC的边AB、BC、CA的对称点分别为P_1、P_2、P_3,我们称△P_1P_2P_3为点对称三角形(如图1).将点对称△P_1P_2P_3与原△ABC结合起来研究,可以得到下面有趣的性质. 性质1 P_1P_2=PB(2(1-cos2B)(1/2)); P_2P_3=PC(2(1-cos2C)(1/2)); P_3P_1=PA(2(1-cos2A)(1/2)). 性质2 ∠P_1P_2P_3=∠BPC-∠A; ∠P_2P_3P_1=∠CPA-∠B; ∠P_3P_1P_2=∠APB-∠C     

概率中常见的数学思想

概率是新教材中新增的内容,求解概率问题会涉及到许多数学思想,下面举例说明.一、函数方程思想有时从问题出发,需要先设好变量,建立一个方程或函数式再求解.例1甲、乙2人独立解出某一道数学题的概率相同.已知该题被甲或乙解出的概率为0.36,求甲独立解出该题的概率.解析设甲独立解出该题的概率为x,则该题被甲或乙解出有三种情表,得概率方程为x(1-x)+(1-x)x+x~2=0.36,解得x=0.2.例2将一枚骰子任意抛掷500次,问1点出现(标有1点的面向上)多少次的概率最大?     

电源功率与效率问题的讨论

1 功率问题 (1)电源的输出功率为P_出=I~2R=E~2╱{(r+R)~2}R=E~2R╱{(R-r)~2+4Rr=E~2}╱{(R-r)~2╱R+4r} 当R=r时,P_出有最大值即P_出=E~2╱(4R)=E~2╱(4r),R_出与外电阻R的函数关系可用图1来表示,由图中可知,对应于电源的非最大输出功率P,外电阻可以有两个不同的阻值R_1和R_2;当Rr时,若R增大,则P_出减小.值得注意的是,上面的结论都是在电源的电动势E和内阻r均不变的     

究竟谁对谁错

有一次,我们数学教研时,李老师提出了一个问题:相同的随机变量ξ取值,对应的概率有两个,一个是ξ=2,3,4时的概率分别是37,37,17;一个是ξ=2,3,4时的概率分别是1/337/81,1/937/81,1/937/81.问题是哪个概率对.标准答案给了前一种概率,后一种概率是李老师解的.李老师认为他的对,标准答案不对,那究竟是谁对谁错呢?1原题(2007年5月昆明市高考模拟题)质点P在正方形ABCD的4个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的6个面上分别写有2个1、2个2、3个3一共6个数字.质点从A点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点P前进一步(如由A到B);当正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步(如由A到C);当正方体上底面出现的数字是3,质点P前进三步(如由A到D).在质点P转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止.(Ⅰ)求点P恰好返回到点A的概率;(Ⅱ)在点P转一圈恰能返回到点A的所有结果中,用ξ随机变量表示点P恰能返回到点A的投掷次数,求ξ的数学期望.2标准答案(Ⅰ)投掷1次正方体玩具,上底面每个数字的出现都是等可能的,其概率...     

例析概率问题中的递推数列

一、Pn=A·Pn-1+B型例1:某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动,已知开关第一次闭合,出现红灯和出现绿灯的概率都是1/2,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是1/3,出现绿灯的概率是2/3;若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是3/5,出现绿灯的概率是2/5,记开关第n次闭合后出现红灯的概率为Pn。求(1)P2;(2)求证Pn<1/2(n≥2)。