用切线法新探一类条件不等式

文[1]在文[2]对不等式“若xi〉0,i=1,2,3,且∑i=1^3 xi=1,则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出的初等证明进行探究的基础上,得出如下结论：在xi〉0,i=1,2,3……且∑i=1^n xi=m的条件下,欲证不等式∑i=1^ng（xi）≤k（≥k）成立。只需构造函数f（x）=g（x）=（ax＋b）且使f（m/n）=0.     

一个分式不等式的推广与应用

文[1]给出了如下定理及证明: 定理1设ai∈R ,n∑I=1ai=s,k∈N,k≥2,则有n∑I=1 aki/s-ai≥sk-1/(n-1)·nk-2.(1)其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.     

一道竞赛题及其推广的另证

（2001年爱尔兰数学奥林匹克试题）证明：对任意正整数n．2n/3n＋1≤2n∑k=n＋1 1/k≤3n＋1/4（n＋1）成立（文[1]例2）．     

一个不等式的再推广

文[1]的定理 1、2 给出如下两个不等式: n ai k sk?1 ∑s?a ≥ ① i=1 i (n ?1)nk?2 n k 1 n ∑s?a ai ≥ ∑a k?1 ②     

不等式Пi=1^n（1/xi-xi）≥（n-1/n）^的一般化和初等证明

文[1]提出一个猜想:设xi>0(I=1,2,…,n),n≥3,n∑I=1xi=1,则∏n I=1(1/xi-xi)≥(n-1/n)n①. 文[2]用逐步调整法证明了①式.文[3]细致地探讨了①式的证明策略,用拆项法和磨光变换对①式给出了两种初等证明.     

从一道例题的分析谈强化命题证明一类数列不等式

文[1]通过强化命题结论的方法突破了一类数列不等式证明过程中直接使用数学归纳法难以实现从n=k到n=k＋1过渡的瓶颈，笔者经过仔细研读，发现该文思路新颖，令人耳目一新，对数学归纳法教学和竞赛辅导具有借鉴作用．但同时笔者也发现文[1]例1在分析过程中对数学归纳法的递推传递性原理的使用似有不当之处，为便于研讨，现将该例的分析过程抄录如下：     

一类数列不等式的常用证明方法及评注

文[1】、[2】、[3】探讨了形如n∑i=1f（i）〈（〉）M（M为常数）的数列不等式的几种证明方法，且文【1]指出形如n∑i=1f（i）〈（〉）M（M为常数）的数列不等式适宜用放缩裂项法，     

用等比数列和估计数列和上界方法的一种改进

文[1]给出一类数列不等式：i=1n∑ai〈C（C为常数）的巧证，其具体思路是（详见文[1]）：     

两道竞赛题的简证

1 2007年全国高中数学联赛一试试卷中的第13题是： 设an=k=1∑n1/k（n＋1-k）,求证：当正整数n≥2时,an＋1〈an．文[1]对此题的两种证法,笔者认为过程较复杂,下面给出简证：     

Minc-Sathre不等式的加强及简便证明

文献[1]中给出了Minc-Sathre不等式 n/n＋1〈n√n!/n＋1√（n＋1）!〈1 （n∈N^＊）① 此不等式可以用高等数学中的Stirling公式证明．文[1]给出了它的两个初等证明．文[2]给出了它的一种加强：     

强化命题证明一类数列不等式

数列不等式是近年来高考和竞赛中的热点题型，其中一类形如∑i=n0^n1/ai〈C（C为常数）的证明题难度较大．由于此类不等式的右边是常数，所以数学归纳法证明无法实现归纳过渡，但通过对归纳过渡过程的研究，可以放缩右边的常数，将命题加强为∑i=n0^n1/ai≤C-1/g（n），其中g（n）〉0表示关于正整数n的函数式，从而可以构造单调递减数列证明这类问题．     

一个猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^n（0〈x〈π/2,a，b为大于0的整数，n∈N^＋。）当且仅当z=arctan n＋2√b/a时取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2．文[2]用相当长的篇幅且繁琐的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的，本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单的初等证明．[第一段]     

离散型Hoeldel不等式与加权均值不等式的推广

文中的定理2给出了Holdel不等式在∑j=1^n1/pj≥1时的推广形式．我们将对0〈∑j=1^n1/pj〈1和∑j=1^n1/pj〈0时给出其推广形式,并给出文[3]中的加权均值不等式在pj〈0时的推广．     

一个猜想的证明

贵刊文[1]在末尾提出了如下猜想:设ai∈R ,i=1,2,3,…,n,若∑n i=1 ai=k(常数),k≤(√2 √5),则     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x最小值猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N^＊当且仅当x=arctan n＋2√b/a时，取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2,文[2]用相当长的篇幅且非常繁杂的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的．本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单漂亮的初等证明．     

证明∑^ni=1αi〈C（C为常数）的两种常用方法

证明∑^ni=1αi〈C（C为常数）型问题是高考中的重要题型．本文以2006年高考题为例，给出证明∑^ni=1αi〈C（C为常数）的两种常用方法．[第一段]     

关于华罗庚先生的一个不等式及其应用

在不等式的王国中,我们知道有很多不等式都是用华罗庚先生的名字命名的,其中有一个初等不等式如下: 华罗庚不等式[1]设ak为实数,p,q＞0则(P-n∑k=1ak)2+q(n∑k=1a2k)≥pq2/n+q.仅当a1=a2=…=an=qp/n+q时等号成立.     

一个不等式的推广

文[1]给出“若n≥2,n∈N,在△ABC中,有∑cos^nA≥3/2^n（1）”的证明。     

Minc-Sathre不等式的初等证明

文[1]对Minc—Sathre不等式n/n＋1〈n√n!/n＋1√（n＋1）!〈1给出两个初等证明．其中证法1使用数学归纳法，并用到不等式（1＋1/k＋1）^k＋1〉（1＋1/k）^k.     

例谈和型不等式的证明

形如∑n k=1f（x）〈c（c为常数）或∑k=1^nf（k）〈g（n）的不等式称为数列和型不等式,这类不等式的证明问题常常在高考压轴题中出现,其中∑k=1^nf（x）不易求和,是学习的难点,下面通过一道高考题介绍证明数列和型不等式的常用方法．