借题发挥 一题多变——例析直线与部分圆的相交问题

学习直线与圆的位置关系时,常见一类直线与部分圆的相交问题,其中以求解参数的范围最为典型,一般地,解决此类问题必须采用数形结合的方法进行求解.求解时一定要注意以下问题:(1)曲线表示的是圆还是半圆?是哪一部分半圆?是左半圆,右半圆,上半圆,还是下半圆?圆的位置决定了解题的成败.(2)直线有何特征,是斜率固定的平行线族还是过定点的线族?抓住圆与直线的图象特征,从而     

补圆解题 化难为易

我们在解题时 ,常会遇到一些已知图形是半圆的几何题 .如果仅局限在半圆中思考求解 ,有时会陷入困境 .这时 ,若把半圆补成整圆 ,则可以运用圆的有关性质 ,在整圆中发现某些隐含的条件 ,从而使解题化难为易 .例 1　如图 1 ,点Ｄ、Ｃ在半圆上 ,Ｍ、Ｎ在半圆的直径ＡＢ上 ,ＣＭ⊥ＡＢ ,∠ＡＮＤ =∠ＢＮＣ .若∠ＡＤＮ =5 8°,则∠ＡＣＭ =.分析　要想求出∠ＡＣＭ的度数 ,在半圆中很难沟通未知角与已知角的联系 ,故考虑把半圆补成整圆 .延长ＤＮ交圆于Ｃ′,则∠ＢＮＣ′=∠ＡＮＤ =∠ＢＮＣ .根据圆的对称性 ,可知Ｃ、Ｃ′关于直线ＡＢ对称 .…     

圆和周角相同吗

一次,我听一位老师讲“角”这一课。当他把角的概念和分类讲完,便提了这样两个问题:圆是多少度?半圆是多少度?学生回答,圆是360°,半圆是180°,理由是圆是一个周角,半圆是平角。显然这一问一答都是错误的。圆是一条线段绕着它的一个端点旋转一周所形成的图形,具体地讲圆是一个面。而周角是一个角,是从一点引出两条射线组成的,只不过两条射线重合而已。尽管圆和周角在形     

非圆问题圆处理

在解析几何中有许多问题,从已知条件中直接看不出是与圆有关,但只要我们能善于发现隐含于题中与圆有关的信息,那么好多看似非圆的问题将可以转化成圆的问题,并得以巧妙解决.     

一组轨迹题的推广和引伸

在数学复习中,常碰到如下一组轨迹题:“根据椭圆、双曲线、抛物线的定义,说出下列动圆圆心的轨迹:(1)A是定圆内的一个定点,动圆过A且同定圆相切;(2)动圆与互相外离的两个定圆都相外切;(3)动圆与一定圆相切,又同x轴相切;(4)动圆在定半圆的内部且同这个半圆内切,又同直径相切。”这组轨迹题对于复习圆锥曲线的定义是很好的。如果把它适当地推广和引伸,就能使这组题发挥更大的作用,使学生开阔视野,提高研讨问题的能力,同时,还能活跃学生的思路,增强探求知识的兴趣。本文试对以上问题作如下探讨。我们把上述问题分别作为例一、例二、例三,为节     

构造“圆”解质点运动题

圆作为最完美的平面几何图形,具有很多重要的性质．一些中考热点问题,如有关图形运动变化的问题,若能由题目特点构造圆．借助于圆来解决,则常常能化难为易,出奇制胜．     

在半径上“做文章”

同学们知道,连接圆上任意一点和圆心的所有线段都是圆的半径,这些半径与圆有着"千丝万缕的联系".因此,我们在解决圆的有关问题时,若能从圆的半径入手,进行转化、变通,     

圆

2要点剖析2．1与圆有关的概念（1）圆的概念圆是由圆心和半径来决定的,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小．（2）弦和直径、弧和半圆连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径．圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．     

图形的认识与证明

图形的认识与证明是中考的热点之一。它要求同学们能根据图形画出三视图。能根据三视图知道原图形的形状;会运用平行线、全等三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理进行推理及证明：会解决有关圆的计算问题：能运用圆的相关知识解决与圆有关的实际应用问题、动态问题、探索问题：能综合运用直角三角形、相似三角形、方程、函数、圆等知识解决一些实际问题．     

一个基本结论的证明及其应用

几何解题中,有时会遇到两圆内含问题.实际解题时,若能灵活运用两圆半径和大圆弦之间关系的一个基本结论,则能提高思维起点,缩短思维进程,从而快速地解决有关问题.1基本结论     

直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系是历年高考的一个热点,除考查位置关系之外,还考查轨迹问题及与圆有关的最值问题.点到直线的距离公式与垂径定理是解决与圆有关的问题所常用的两个方法,用好了能起到事半功倍的效果.ZHONGDIAN NANDIAN重点难点重点:(1)直线与圆的相交、相切问题,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;(2)计算弦长、面积,考查与圆有关的最值问题;(3)根据已知条件求圆的方程.难点:(1)圆的几何性质;(2)通     

椭圆化圆事半功倍

众所周知，椭圆和圆的关系可谓千丝万缕，圆可以看成是椭圆的特例，椭圆也可以看成圆的变形和推广；圆显得老实本份，它涉及的问题往往容易解决；而椭圆则显得比较调皮甚至捣蛋，它涉及的问题相对不太容易解决．我们若能把有关椭圆的问题转化为有关圆的问题解决，则往往能收到事半功倍的效果，下面举例说明之．     

有关圆的概念辨析

“圆这一章知识点多.有些概念也容易混淆,学好这一章的关键是掌握好有关的概念.下面就有关圆的易错、易混的概念作些剖析. 1 两个半圆是等弧辨析错误.等圆或等弧是对同圆或等圆而言的,都是以“完全重合”为前提定义的.在半径不等的两圆中,不存在     

球截面性质的补充证明

“球心和截面圆心的连线垂直于截面”是球截面的一条性质,教科书上没有给出证明过程,如何证呢?下面给出四种证明方法.方法一:利用球面的第一定义(半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面)并结合圆的有关性质证明.如图1所示,已知圆 O 及圆 O 内任一条弦 AB,过点 D 作直径 EF 垂直于 AB 于 K.当半圆 EAF(半圆EBF)绕着它的直径 EF 旋转一周得到球面的同时,AK(或 KB)的轨迹为圆面,显然,OK 垂直这个圆面,其中D 是球心,K 是圆面的圆心,这个圆面是球 O 的截面,所以,球心和截面圆心的连线垂直于截面.     

半圆周长与半圆弧长不能混淆

在小学现行教材里,没涉及"弧长"概念,所以教学中出现求半圆弧长时,为避开这一名词,不少教师改用"半圆周长"来叙述.殊不知这样一改,就把两个不同的概念弄混了,出现了知识性错误.事实上,"半圆周长"是指半圆弧长与圆的直径长度之和,而"半圆弧长"即圆周长的一半.两者的区别在于前者含圆的直径,而后者不包括圆的直径.在教学中遇到这一问题时,教师不应该讲"半圆弧长"的术语,更不能用"半圆周长"来替代,怎么     

过两圆交点的圆系方程的推导、拓广及应用

数学高考科《考试要求》对于圆这部分,要求在内容上掌握圆的标准方程和一般方程,理解圆的参数方程;在能力上能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题.由此可知,求圆系方程的问题无论是从方法上,     

半圆的联想

一个简简单单的半圆,它究竟是什么?半圆,是英文字母D。它是26个英文字母中的一员,不能缺少。半圆,是一顶帽子。在炎热的夏季,它能为我们遮挡阳光,送给我们清凉;在寒冷的冬季,它能严严实实地戴在我们头上,带给我们温暖。半圆,是一把量角器。当同学们需要量角器时,它会马上出来帮助同学们。它真是一个热心肠的家伙呀!半圆,是一块用了一半的圆橡皮。每当同学们遇到写错的字时,它总会毫不犹豫地挺身而出,帮助同学们改正错字,默默地奉献到生命的最后一刻……半圆,是一把打开的折扇。林黛玉曾用过它……虽然现在空调已经代替了它,但是每当扇它时,…     

巧用“作圆”解题

添加辅助线是初中阶段解决几何问题的重要方法之一,也往往是解决问题的关键所在.许多数学问题,常与圆密切相关,解题时若能恰当地作圆,且巧妙地运用圆的有关特征,常能收到删繁就简的效果.一、根据边特点作圆例1在四边形ABCD中,AB=AC=     

查漏补缺自测表——2008年中考考点：圆

圆是初中阶段重要的内容之一．近年来,为适应课改的要求,对于圆的基础知识和基本能力,要求有所降低．从2008年全国各地的中考试题看,与圆有关的规律探索题以及利用圆的相关知识来解决的生活实际问题越来越受重视．因此,我们在复习与圆有关的内容时,应该尽量避开“繁”“难”“偏”“旧”的证明题,重视计算题,强化基础知识训练,并通过与圆有关的探索研究性问题培养探索研究能力,通过解决与圆有关的实际问题提高应用意识和解决实际问题的能力．     

非圆问题圆处理

在中学数学中有许多问题,从已知条件中直接看不出是有关圆的问题,但只要我们能善于发现隐含于题中与圆有关的信息,那么好多看似非圆的问题将可以转化成圆的问题,并得以巧妙解决.