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定理设f(x)为单调奇函数,则方程f(ax+b)+f(x)一O与方程(a二十b)十x一O同解. 证明由f(一二)~一f(x),则方程厂(ax十b)+f(x)一。可化为f(ax+b)~f(一x)‘又f(二)为单调函数,f为一一映射,故f(ax+b)一f(一x)成立的充要条件是ax+b-一x.证毕. (编者按:只是在实数范围内同解.) 例1.解方程 (x+6)工,91+x‘,,‘+Zx+6=0.‘._’解f(x)一x,‘+x为递增奇函数.故有(x十6)+x一O,原方程有唯一实根x-一3. 例2.解方程 (Zx+1)(z+丫(Zx+1),+3 +sx(2+了石压不万)一0. 解令t一3x,则原方程变为(亏+‘)(“+ +,(z+丫砰不压):考虑函数f(t)=t(2+奇函数,原方程化为了砰… 相似文献
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本刊84年第一期曾译介苏联《数学教学》刊登的解法.本文给出方程 侧ax+b士订‘e劣+房=无(1)的另一解法.不妨设无护0.将等式 (a劣+b)一(e劣+d)=(a一c)x+(b一己)两边除以(1)的两边:、而丁不了干、而丁万丁_a一C 无b一‘ 垂(1)十(2),两边平方即得二次方程.(2)4(a劣+b)二(罕·朴竺书二).例1解 (3).解方程侧3x十1一了:+4=1.今3)’袱一;份飞、钟叭‘:=5·验知:=5是原方程的根. 例2.解方程召矛丁牙二及+侧万恋万丽不了二3。 解等式(护一:一2)一(x2一3:+5)=2‘一7两边除以原方程两边,再与原方程相加,平方整理: 8劣2一1 12一19二0。解得:x,=一1,x:=… 相似文献
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岁ax丫b+令al二+b:=衣碗:+b:(1) 对这个简愚的解决,某些作者指出要合理的使用一「面的公式: (a十b),~护+护十3ab(a十b) 利用这个公式把方程式咬幼变为下面的形状: (衣ax+b一+粼ai二+b,),=(小内二+b:)” a劣+b+a1劣+b,+3岁ax+b.小ai劣+b,(衣a劣+b+粼ai二+b;)=a:劣一卜b:(巳) ‘不难看出,方程(助与方程(1)崖实数休里是等价的。 我仍作代换:衣a,十b+寸al二十b,二令内二+久 便得到:。劣十b十al二十b,+3粼a二十。·岁氏x+b,·令‘:十b:=飞x+八:(3) 这就崖生以下的尚题:方程(3)与(1}尔实数沐里面等价还是不等价?而如果一般需来是不等价的活,如何找… 相似文献
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老师布置给初一(5)班同学一道题目: 求云正:四个连续自然数的积与1的和一定是一个完全平方数. 同学们设四个连续自然数为二,二十1,二一+2,二十3. 小梅的解法是乞 了(x+1)(x+2)(及+3)十1 一〔r“+了)(才“十5￡十6)十1 一‘x“+x)(x之+‘r+哇x+6)+1 ‘一(xZ+劣)“+(4x十6)(了2+x)+1. 无法做下去了. 小清的解法是: 了(工+1)(沈、+2)(工+3)+1 一了(2,+2)(沈·+1)(必+3)十1 一‘劣“十2了)(了2+4才十3)十i 一〔二2+4二一卜3一(2二十3)](,一“+4二+3)+1 一(了2十4x+3)’一(2主+3)(犷2+4x+3)+1. 到此,小清也做不下去了. 小华的解法是: x(x+1)(x+2… 相似文献
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例已知x,求x+丫尹+1的值解法l‘:x:引~一岸赢!一韵~一方毓1 1999一12厅马西 999甲’1 999:。xZ+1一99921 999+19992+1 9991 999 1,__,._、,___一万一下二万只气,日,“-十乙2又日日5丫卜1少= 1沙沙,1 00021 999x+、亨不了~999丫1 999+1 000丫1 999一亨1 999. 说明的一步是将 解法2上面的解法就是先将x的值化简,再代人求解,关键1 999表示为2又999+1.丫x>0,将x的值改写为(、·厂1 999)2一Zx丫1 999一l可把上式看作方程犷一2二·y一l一。,将y一O。一、午亏石百代人其中的结果,于是用求根公式得了1 999一2了士丫4x2+4 2即丫1999一二十认l+厂或… 相似文献
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1 武汉市东西湖吴家山中学 甘大旺 (邮编 :43 0 0 40 )题 关于x的方程 |x|=kx +1有负根而无正根 ,则实数k的取值范围是 ( )。(A) [1 ,+∞ ) (B) [-2 ,1 ](C) ( -1 ,1 ](D) ( -1 ,+∞ )错解 由于x <0 ,则原方程可变形为-x =kx +1 ,即 (k+1 )x =-1 ,则k +1 =-1x >0 ,则k >-1。故选 (D)。解答错了 !错在哪里 ?不妨取k =0∈ ( -1 ,+∞ ) ,则此时原方程有一正根x1=1和一负根x2 =-1 ,于是 (D)错。上述解法错在当k∈ ( -1 ,+∞ )时 ,原方程确实有负根但可能兼容着正根。正确解法一 易验知x≠ 0 ,下面分两类情形 ;(Ⅰ )当x <0时 ,… 相似文献
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当a=一1日寸无解;当a“1时有无穷粗解;当a等一1且a等1时有一解。当a二一2时无解;当a=1时有无穷粗解;当a为其余的值时,有一解。根是对于满足2钱x蕊3的任意x(无穷多个根)。提示:研究下列各种情形:当二>3;当2毛二或3;当l毛x<2;当二3,2返f叹一l返3,斌几一1‘2等各种情形。无解。4训了 5提示:合斌汗,+二丁=少,斌1二x+尸提示:变换方程为交砂+1)2一〔侧2一(1一二二二〔(2+斌3)”+l〕/〔(2士斌3一)n一l〕。一,并、,一丢劣,用)〕2=0。… 相似文献
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《中学数学教学参考》2005,(8)
,、,、/呻、.声一、选择题口加函数f(二Sin二十cos川的最小正周期C.冗D .2兀 匹2 A工二4 A.是解法1:j(x)=泛{Sin(、:十平)l,由函数 斗f(二)的图象易知最小正周期为二,选C. 解法2:/(二)=丫(Sin二十cos二)2二丫l+SinZ;:, 由y=sinZ二的最小正周期为7r知选C. 解法3:由周期函数的定义容易验证f(x十兀)一、f(x),./(晋+二)二f(二),选C· l月垃口图1,正方体朋口)A。召;c1D,中,尸、Q、R分别是八刀训八O、BICI的中点.那么,正方体的过尸、Q、尺的截面图形是(). A .y二丫(二+l)’(x)一1) B .y二一丫(二+1)“(二乒一l) e .y二丫(二+1),(二》o) … 相似文献
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、用于化简 例,实数工、〕在数轴I二的对应点如图所示,化简由图可看出,0,.…卜,<0.t一V一丫、丫一飞丫 、二一伙一、)一(一x)二}一叹一~万一一下一若11一, I!一、=l+11.化简饰一,)2 工一】二I+}兀}〕1.…x妄()x一1<0. 一2解·二例解 丫 (、一l)_ x一l二、用于求值x一11一(x一l)J一It一I例3已知x.、:均为实数,且满足访一「、V什2+、/:一4二l(,十、、:),2长x,下.:的f既 解原方程化为x一2功一】灯一2劝、2十:一2功一4=() 整理,得(-l一l卜2访二z+l+行+2卜2劝+2+l价一4卜2诱礴+l二0 .(功-一),+(\/,干2一),+(诀一4一l),=0. 由非负数定义… 相似文献
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例l计算丫2(6一Zv/万一2丫飞+训五). (1997年山西省太原市初中数学竟赛试题)解原式一丫(3+2瓜+5)一(厅+厅)十4丫。/丁十勺万):一丫(了万十、厅一:)一v万+了了一2.例2计算8+2丫云一丫丁石一、/万 、厂了十vZ万一斌万解原式一(5+2丫万+寸万一喇万、厅弓丫万 (1998年山东省初中数学竞赛试题)+3)一(、而+丫厂子)(丫了+丫万)2一训万~(、不孚+、厂了) 、爪+丫厄一一了万如/万+、万)(丫飞一+、万一丫万)一丫万+若O<二丫万+丫了一训万、厂万.例3<1,化简 /{1}2.丫{x一万{十住 1{勺十—! 2一4丈 一丫(1995年“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)解由O相似文献
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题目:求麟。一。了绍撰猛的值域,以下各种思路及解法都来目脸生.思路一:化为“能认(二+们十b”型. 工劣/劣解法一:。一‘S’n二i些空仁l兮{渔世功‘了2· 二一51且,艺 兀、吸X月~-几下少一 4笋一1.也即红” 5 In火COS义l+5 ijl工eos:变型为*华女叮劣一卜岛义、2夕后取值应去掉g井一1.,引n着cos香+ZcOSZ着所‘”域应为!了2十1 2一])U(一1,.戈.乙cos百“In劣/。x万气COS“万一5 111:,\ Z/2005普(s‘。普(S‘”讼一十cos云)了2一1 2〕思路二:解法三:化为“f(才,妇~。”型. _劣.大\co‘丁一“’且丁) 劣拦宜卜十犷了丫“52二,进行万帐于… 相似文献
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《中学数学教学》1988,(4)
四川蓬澳县教师进修学校周余孝题:、长函数夕=x+了Ib牙二乏5二无万的值 (封一x)三二10x一23一名望即Zx资一2(g+。)劣+(,,·厂23)二o⑤ ,.’劣是实数,又 .,.△==4(奋+5)2一心xZ(升子+23)势0解得3《肚‘7 将沙==3代入③得:=4满足②,,’.甘‘.,a’ 将,=7代入③得:=6满足②,稿。来.域解t‘.’夕=x+认10x一23一x,10x一23一劣2奋O5一斌万《丫《5+了万由①可得①②令得少。.二了。函数夕=x,亿1石无二乏丁而百的值域是〔3,7〕。 解答错了!错在哪里? 因为方程③是方程①的结果,即方程①的解都是方程③的解,但方程③的解不一定是方程①的解。事实上,… 相似文献
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一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分) 1.如果方程2x2一6x+3二0的两个实数根分别为x:、xZ,那么x,·x:的值 是(). A .3B一3c一立D.立 22 2.下列一元二次方程中,两根分别为一卜V了,一1一、/了的是(). A.劣2+Zx十4二0 B.xZ+2火一4二O C,劣2--2戈:十4二0 D.劣2一2另一4二0 3.若xl、二2是方程x坏3,一5=O的两个根,则(xl+l)(x汁l)的值为(). A一7B一IC一1+、厄互D一1一、汽骊~ 4.若一个一元二次方程的两根之比是2:3,其判别式的值等于4,则 这个方程可能是(). A .2冤斗10沈:+24二0 B.劣2+1《)架:+24=0」B C .xZ+2、厂了x+1=0 D.七2一1伍+2… 相似文献
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通过代换等手段,构造易解的新方程来解难于下手的方程(组),是一种重要的解题策略。 例1.(1987年数学夏令营)解方程‘二侧1十了厂厂于f不x’命i+x=:,则:二拭西奋二-天即石二“f不妥“侧i下万了丁不屯,与原方程结构一样,故x”侧石,即戈“亿f下及,解得二=1+斌了 2例2.(1978年加拿大数学竞赛)确定最大实数z,使(x,y也是实数)x十夕十之二5,x万+夕之十之x=3.解得x+百二5一:,x穿二3一(5一z)右由韦达逆定理,得关于t的方程 t“一(5一之)z+3一(5一之)之,0一,,,,栩。、~。‘。‘。二一_13有实根,故△)0,解得一1镇“(丫,13育)品工一构造方程解方程@兰振万… 相似文献
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.设集合M二玉劣!f(二)=0},N={劣!g(劣)=o},那么方程j(劣)·班劝=。的解集是() (A)M门N;(B)MUN;(C)N;(D)M. 答案:(B) 这是一道近年来常见的试题、它告诉我们方程I(义)·夕(x)=。的解集等于方程j(x)=。和试功“。的解集的并集,也就是方程l(二)·爪x)二0与方程l(二)二o和夕(二)=0同解.这个结论对吗? 如果方程f(x)=o及夕(x),o中的f(x)和夕(二)分别为下列各解析式: (1)f(x)二万 2,夕(劣)二工 3;(2)f(劣)=兰十2x 3 g(工)“x 3X 2(3)f(劣)=19(二 2),g(劣)二19(二 3)(4)f(义)二了劣 3,夕(戈)二丫劣 2一则材、N、MUN及M「}N分别为下表所示:… 相似文献
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例1.分解因式:(xZ一劣+15)(劣2一x一5)+51解令夕二忿念一劣十15+劣2一劣一5=劣名一劣+5.则原式=(夕+10)(夕一10)+51二夕2一49 =(军一7)(夕+7) =(劣一2)(劣+1)(劣2一2+12)。例,·求{劣‘+犷4”272’劣一歹二2的实数解. 解设:二宁,结合‘一;第1式化为(:2一9)(22+25)=o,=2,方程组士3.故得两组解:一2,一4;=4,=2。二X夕之了,、、例3.已知劣,+劣:十.)为实数。求证:==1,名2蕊劣万。劣护..、几+端‘专十十”·十吐(等式当且仅当::二‘二二劣.二告时成立,· ﹂贝1一扩 +1 .1 劣 一一解设劣‘…+:二二0.因此 十‘护全 劣 十I‘1 劣+:盖 . . .十名注 … 相似文献
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《中学数学教学》1988年第二期“数学若 X,t一12十 兮2t一32 之2=1题集锦”的第二题:—二 t一5乙 留2才一72寿十忐十病 *令寿一卜而十寿 恙二1二1劣2y222砰二乎饰亡落百 百王万歹 劣艺8洛一12 犷.矛.丫云「万砰丫矛二丐1甲 留么6名一72 留么82一7吕==1=1试确定护 扩 广 。“的值。” 原解先求出护、扩、砂、wZ显然较繁,考虑到2么、4名、62、52是方程的四个根,将此方程去分母,整理,得 xZ(‘一9)(t一25)(t一49) 梦:(君一1)· (t一25)(t一49) 22(t一1)(七一9)· (t一49) 留2(t一1)(t一9)(亡一25) =(才一1)(t一9)(t一25)(t一49)即t弓一(x么 g… 相似文献
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解无理方程(组)技巧性很强,解法不好,解题过程很繁琐,下面的无理方程(组)的解法有一定的优越惨r 「1.解方程姐二,:、·。-①②{凡压干玉于、于巧~5,之一y~12.︵口加解泣由②得 (x十1)一(夕一2)一15,即(v尹呀耳万),一(、/亏二厄)’=15,③令①得、/不l石一、厂压江豆一3.①+④得2、王平)一8..’.犷一15.把二一15代人①得y一3经检验,原方程组的解为工一15y一3.一点点滴滴一①②③①②③2.解方程丫任二再一、饭…二亏一2,解显然(x+3)一(x一5)一8,即(丫任干百)2一(丫下二息)’=8.②十①得丫王干百+、任二亏一4.①+③得2训诬耳毛一6,解得x一6.经检… 相似文献
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《数学教学》1985,(4)
1985年第3期问题解答1翻盛求证:n(2+幼了+e妙o)二(8+4寸了)“,.丫2十斌了+眺g护=2十创了一卜e0s矛osin希。=(2+寸了)sin洽。+。05希。Sink。 …心上r卜‘曰子t嗽‘ 一~了亚华区sin。。十迈狂义瓦。s、。)(丫6+丫2)\44,’(犷百+、/万)sin(正“+15“)二曰sin护’sin(180。一奋。)1.性164仃sin(孟“+15。)二七翔1n sin(180。一无。),七,1生日4n Sin(奋“+15“) n(2一卜寸了+ctg无。)“寸万+寸丁)‘叭 七七1一一~,叫,..‘~.‘~,......‘,~~...,二二(s+4寸了).,.七.1n Sin(180”一希。) ”,考虑在开区间O<劣<1内有两个不同零点的整系数多项式a… 相似文献