一例中考题的13种解法及其反思

例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM=     

对一道选择题答案的反思

题目如图1,四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP与△ECP相似的是().(A)∠APB=∠EPC(B)∠APE=90°(C)P是BC边的中点(D)BP∶BC=2∶3本题答案应该是C.但许多同学是这样解的:当∠APE=90°,∠1+∠α=90°,又因为∠β+∠1=90°,所以∠α=∠β,又因为∠B=∠C,所以△ABP∽△PCE.故选B.选择支B能否推出△ABP∽△ECP?可以换个角度思考,即当△ABP∽△PCE时,能否求出BP的长呢?不妨设正方形的边长为4a,BP=x,则CP=4a-x,CE=2a,根据相似三角形的对应边成比例可得CBEP=PACB,即2xa=4a4-…     

问题3·10

如图1,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=1,BC=3~(1/2).(1)在△ABC 内找一点 P,使∠APC=∠APB=∠BPC=120°.(通过作图找出点 P,写出作图的主要步骤,不需证明.)(2)在(1)的作图中,若设 AP=x,BP=y,CP=z,求 x+y+z 的值.     

运用方程思想解有关角度问题

有关三角形的角度计算是三角形一章中重要问题之一,解决这类问题的方法虽因题而异,但利用列方程求解不失为一种好方法。现举几例加以说明. 例1 已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解设∠A=x°,∵AD=BD, ∴∠ABD=∠A=x°,∵∠BDC=∠ABD+∠A,∴∠BDC=2x°, ∵AB=AC,BD=BC,∴∠BDC=∠C=∠ABC=2x°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 即x+2x+2x=180°,∴x=36°∴△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°, 例2 已知:如图2,在△ABC中,AB=BD=AC,AD=CD,求△ABC各角的度数.解:设∠B=x°,∵AB=AC,AD=CD,∴∠C=∠DAC=∠B=x°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°,     

小马做几何

有人说,数学的殿堂庄严神圣.你不把它当回事,它也会不把你当回事.一次,老师给小马做了以下几道几何题:第1道,△ABC的边BC上的高AD为5cm,又BD=2cm,DC=4cm,求△ABC的面积.小马画出了左图后答:S△ABC=12AD·BC=21AD(BD+DC)=21·5(2+4)=15(cm2).第2道,请设计一种方案求出△ABC三内角之和.小马在△ABC的边BC上取了一点D(如图),连接AD,于是他写道:设三角形的三内角之和为x,则∠1+∠3+∠B=x,∠2+∠4+∠C=x.那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=2x.即x+(∠3+∠4)=2x.x+180°=2x`,x=180°.第3道,BE、CF分别是△ABC的高,已知∠A=α,BC=…     

数学通报2596号问题的另证与推广

2021年第4期《数学通报》刊登了彭翕成老师提供的问题2596号如下:1问题呈现如图,在△ABC中作中线BM,已知∠ABM=∠A+∠C,求证:BC=2BM,tan∠BAC/tan∠ABM=3.彭老师给出了利用高中正余弦定理以及三角变换等知识的证明过程,现给出两种利用初中平面几何知识的证法以及对该问题的推广.     

用计算法证明几何题

不少几何题,可由题设及图形特征,通过边计算边推理进行证明。这是几何证明中常常采用的一种证题方法。 例1 已知:如图1,在△ABC中,∠C=90°,D和E是斜边AB上的点,且AD=AC,BE=BC。求证:∠ECD=45°。证明 ∵ AD=AC,BE=BC。 ∴ ∠1+∠2=∠4=∠3+∠B,① ∠1+∠3=∠5=∠2+∠A,②     

上期《“证明(二)”自测题》参考答案

1 .(1) 3 　△ABD≌△DCA ,△ABC≌△DCB ,△AOB≌△DOC .　 (2 )AOB、DOC、AOB、DOC、ABO、DCO或∠BAO =∠CDO 　 2 .2 0 　 3.2 ,6 ,2 3.　 4 .72 ,10 8 　 5 .如果∠ 1+∠ 2 =180° ,那么∠ 1与∠ 2互为邻补角 .假 　 6 .AB=CD ,或BC =DC ,或∠BAC=∠DAC ,或∠ACB =∠ACD .　 7. 130 ,70 　 8. 5 0 ,5 0 　 9.9 　 10 . 18,93 　 11.D 　 12 .D 　 13.D 　 14 .B 　 15 .B 　 16 .(1)略 　 (2 ) 6 　提示 :BE+CE=AC =8.　 17.2 5 .提示 :△PBC为Rt△ ,在Rt△ABP中 ,∵AB =2 2 ,∴AP =2 ,PC =4 …     

问题2．10参考答案

图1如图1,连结CD,将△ACD以D为旋转中心顺时针旋转60°到△BC′D,连接CC′则∠C′DB=∠CDA,CD=C′D,BC′=AC=b,∴∠C′DC=∠BDA=60°.∴△CDC′是等边三角形,∴CC′=CD.∴在△CBC′中,CC′≤CB+C′B=a+b.∴CD≤a+b.当C′,B,C在同一条直线上时,CD取最大值a+b.这时∠DBC′+∠DBC=180°.又∠D B C′=∠D A C,∠D B A=∠DAB=60°,∠BCA+∠CBA+∠CAB=180°,∴∠DAC+∠DBC=180°,∴∠CBA+∠CAB=60°,∴∠ACB=120°.故当∠ACB为120°时,CD取最大值,最大值为a+b.问题2.10参考答案…     

第42届IMO第五题的推广

第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且　△ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即　∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理　等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的…     

每期一题

题:等腰Rt△ABC中。在直角边AB上取一点M,使AM=2/3AB,在另一直角边上取一点N,使AN=1/3AC。求证:∠AMN=∠CBN。 1 利用相似三角形证一如图1,作NP⊥BC于P。因∠C=45°,∴ NP=PC=1/2(2)~(1/2)NC=1/3~2(1/2)AC=1/3BC, BN=2/3BC,∴NP/BP=1/2=AN/AM,又∠A=∠BPN=90°,∴△AMN∽△PBN,∴∠AMN=∠CBN。     

第19届江苏省初中数学竞赛(初二第一试)

一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.1.已知x1,x2,x3的平均数为5,y1,y2,y3的平均数为7,则2x1+3y1,2x2+3y2,2x3+3y3的平均数为().(A)31(B)313(C)935(D)172.在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=70,则∠ADC等于().(A)145(B)150(C)155(D)160图13.如图1,△ABC为等边三角形,且BM=CN,AM与BN相交于点P,则∠APN().(A)等于70(B)等于60(C)等于50(D)大小不确定4.如图2,三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等.图(1)、图(2)所示的两个天平处于平衡状态,要使第…     

旋转图形解题两例

例1如图1,设O是等边三角形ABC内一点,∠AOB= 115°,∠AOC=125°,则以OA、OB、OC为边所构成的三角形的各内角的度数各是多少?解如图2,把△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC,则AD=AO,∠2=∠1.所以∠2+∠3=∠1+∠3 =∠BAC=60°.     

处理二倍角问题的一种常用方法

引例如图1,∠DAC是△ABC的一个外角,且∠DAC=2∠B.求证:△ABC是等腰三角形.证明:因为∠DAC=∠B+∠C,∠DAC=2∠B,所以∠B=∠C,即△ABC是等腰三角形.     

从多个角度考虑

在数学课上,杨老师出了一个练习题.例1如图1,已知∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠D(图1中所示的钝角)的度数.小毛第一个举手发言:“连结B、C,如图2.因为△ABC的内角和为180°,所以∠DBC+∠DCB=180°-30°×2-40°=80°;又因为△DBC的内角和为180°,所以∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-80°=100°”.杨老师微笑着点了点头,表示赞同,又问:“还有什么解法?”聪明的小倪举手.“延长BD交AC于E,如图3,因为∠BDC=∠C+∠CED,∠CED=∠A+∠B,所以∠D=∠C+∠A+∠B=100°”.小倪答完,同学们不禁鼓掌,杨老师摸着下巴不住地点头小侯在旁边不…     

四点共圆的证明及应用

1．四点共圆的证明方法 (1)四个点到某一定点距离相等例1 如图1,K为△ABC内任一点,在△ABC 内作三条线段AL、BM、 CN,使∠BAL=∠CAK, ∠ABM=∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且AL= AK,BM=BK,CN=CK．求证K、L、M、N四点共圆．     

外角平分线三角形中的类正弦定理

文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?…     

一道课本习题的变式探究

一、原题再现题目(苏科版《数学》八(下)练习)如图1,在△PAB中,点C、D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC与△PBD相似吗?为什么?略解本题由PC=PD得出∠ACP=∠PDB,利用三角形内角和定理与推论得出∠A+∠B=60°,∠A+∠APC=60°,得出∠B=∠APC,从而判定△APC∽△PBD.点评本题容易得出∠ACP=∠PDB,     

一道课本习题的有趣变形

现行九年义务教育三年制初级中学《几何》第二册第 1 1 2页复习题三A组有这样一道习题 :题　已知　△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE相交于点I。求证　∠BIC =π2 +12 ∠A。本文先给出该习题的解答 ,然后再在该习题的基础上做一些有趣的变形。分析　本道题中∠BIC为三角形两条内角平分线相交而成的角 ,求证的是∠BIC与∠A的关系式 ,题目涉及的知识点 :①三角形内角和定理 ,②角平分线定义 ,③由方程或方程组求解。图 1证　如图 1所示 :∵BD平分∠ABC ,∴可设∠ABD =∠DBC =x ,同理设∠BCE =∠ACE =y ,则有x +y +∠BIC =π ①…     

6月份《30分钟智力冲浪》参考答案

1.(59a+b)cm.　提示:环套环拉直时,两环间距为acm(见原题图),第 一个与最后一个环各有一个边缘长b-a2cm.因此,60个环长为60a+b-a2× 2=59a+b(cm).　2.120.　提示:如图1,因为△ABC的三边相等,所以它 的三个内角都是60°.故在△ACD与△CBE中,因为AD=CE,∠CAD=∠BCE =60°,AC=CB,所以△ACD≌△CBE(SAS).所以∠3=∠1.因为∠3+∠2= 60°,所以∠1+∠2=60°.所以∠BFC=180°-60°=120°. 图1　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3 3.提示:如图2,以ME为轴,将△DME翻折至另一侧,得△EMF,因为 ∠DME=90°,故点D,M,F共线,连…