一类三角函数最值问题与若干三角方程的解集

本文给出一类三角函数的最值问题及其解答,并利用其结论给出若干三角方程的解集. 问题1 已知x∈R,n ∈ N,且n≥1,求f(x)=sin2n+1x+cos2n+1x的最大值与最小值,并求当x取何值时f(x)分别取得最大、最小值. 解 设a=sinx,b=cosx,则可将问题转化为:已知a,b∈R,且a2+ b2=1,求P=a2n+1+ b2n+1(其中n∈N+)的最大、最小值.     

一个最值问题的探究

函数y=Asin(ωx φ) B(A>0),或y=Acos(ωx φ) B(A>0),x∈R,它们的最大值是A B,最小值是-A B,当一个三角型的函数y=f(x)不能化成上述两种类型时,它的最值又如何求呢?本文就以2005年全国高考的一道选择题为例来探究它的解法.题当0相似文献   

高考江苏卷第（22）题别解

第22题已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|.(1)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.     

一类函数最值问题的不等式求法

题目函数f(x)=λ1x-a+λ2b-x(λ1＞0,λ2＞0,b＞a),求f(x)的最大值和最小值.     

求数列a_(n+1)=qa_n+p(n)〈p(n)为多项式〉的通项的积分解法

设f(x)=a_x,x∈1[1,+∞],且f(1)=m,(m∈R), f(x+1)=qf(x)+p(x)显然,当x=n(n∈N)时,有f(n+1)=qf(n)+p(n)或a_(n+1)=q_n~a+p(n),当x=1时有f(2)=qf(1)+p(1)=qm+p(1),对(1)式两端关于x求导,可得     

线性规划应用题讲解(高一)

线性规划应用问题的一般求解步骤是: (1)根据题意,建立数学模型,作出不等式组所表示的可行区域; (2)设所求目标函数f(x,y)的值为m; (3)将各顶点坐标代入目标函数,即可得到m的最大值与最小值,或求直线f(x,y)=m在y轴上截距的最大值(最小值),从而求得m的最大值与最小值;     

用分离常数法解2012年高考陕西卷压轴题

高考题1:(陕西·文·21)设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.高考题2:(陕西·理·21)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;     

警惕高中数学题中的那些“陷阱”

<正>易错点1端点值处最易出错的三种情形1.一元二次不等式恒成立类问题例如:设(fx)=x2-2ax+2ax+2(a∈R),若当x∈R时,不等试f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.分析:当x∈R时,f(x)≥a恒成立,即当x∈R时,x2-2ax+2-a≥0恒成立。∴△=4a2-4(2-a)≤0(易错为)△<0),所以-2≤a≤1。2.使用最值原理时的端点值问题例如:若k>13x3-4x当x∈(2,3)恒成立,求k的取值范围。分析:由导数分析可知,当x∈(2,3)时f(x)=13x3-4x单调递增,故k应大于f(x)的最大值,而由于     

这两道题值得商榷

一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4,     

两个映射命题的应用

在近几年的数学竞赛中,出现了许多关于有限集合上一一映射的问题,虽然这些问题的表述形式不尽相同,但是它们都要用到以下两个命题。 命题1 设有限集A={a_1,a_2,…,a_n},f是A到A上的映射.记f(x)=f(x),f_(r 1)(x)=f[f_r(x)](x∈A,r∈N).则f是一一映射的充要条件是:对任意a_i∈A,存     

利用数学原理求函数的最值问题

在中学数学的教学中,经常遇到求函数最值的问题,所谓最值是指在某区间内的最大值或最小值,即:一般地,设函数y=f(x)的定义域为Ⅰ,如果存在实数M,①对任意x∈Ⅰ,f(x)≤M;②存在x0 ∈Ⅰ,f(x0) =M,称M为f(x)的最大值,若存在实数N,满足x∈Ⅰ,f(x)≥N,存在x0,f(x0)=N,则称N为f(x)的最小值.下面谈谈利用数学原理求函数的最值问题.     

辅助角公式在解题中的应用

我们知道,asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中ab≠0,tanφ=ab,这个公式叫做辅助角公式.该公式可将异名三角函数化为同名三角函数,在解题中具有广泛的应用.现举例说明,以引起同学们的重视.一、求最值例1当-2π≤x≤2π时,函数f(x)=sinx+3cosx的()(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-21(C)最大值是2,最小值是-2(D)解最大值是2,最小值是-1f(x)=sinx+3cosx=2sinx+3π,因为-2π≤x≤2π,所以-6π≤x+π3≤65π,所以-21≤sinx+3π≤1,所以-1≤f(x)≤2·故选(D).例2求函数y=sin2+2sinx·cosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的解x…     

用均值不等式处理一类恒成立问题

关于一类a≥f(x)对任何x∈D恒成立问题,只要满足a≥f(x)max,x∈D即可;关于a≤f(x)对任何x∈D恒成立问题,只要满足a≤f(x)max,x∈D即可.这类问题在确定f(x)的最大值或最小值时,常用到均值不等式求最值.     

复合最值问题的解法

在最值问题中 ,常常会遇到最大值和最小值相互嵌套在一起的一种问题 ,我们称之为复合最值问题 .本文就此类问题的解法作一介绍 .1　利用分类讨论例 1　已知函数f(x) =-x2 + 2tx -t,x∈ [- 1 ,1 ].记f(x)的最大值为M .求M的最小值 .解 :因f(x) =-x2 + 2tx-t=- (x-t) 2 +t2 -t,又 - 1≤x≤ 1 ,则当t≤ - 1时 ,M =f( - 1 ) =- 3t- 1 ;当 - 1 相似文献   

函数f(x)=(a±bx)~(1/2)±(c±dx)~(1/2)的最值

函数f(x)=a±bx±c±dx(a,b,c,d>0,定义域非空,下同)的最值可分为以下三类.第一类型如f(x)=a-bx+c-dx,f(x)=a-bx-c+dx的函数在定义域内单调递减;型如f(x)=a+bx+c+dx,y=a+bx-c-dx的函数在定义域内单调递增.故只要求出其定义域,根据单调性就可求出这类函数的最值.(1)f(x)=a-bx+c-dx无最大值,只有最小值,最小值是f[min(ba,cd)],即[f(x)]min=f[min(ab,dc)].(2)f(x)=a-bx-c+dx既有最大值又有最小值,分别为[f(x)]max=f(-dc),[f(x)]min=f(ab).(3)f(x)=a+bx+c+dx在定义域内单调递增,只有最小值,无最大值,最小值是f[max(-ab,-dc)],即[f(x)]min=f[max(…     

增减不定最值的另类求法——诱导法

对于y=f(x),x∈N*,f(x)在其定义域上有增有减,如直接用函数单调性或导数法求其最值,或麻烦,或求之不得.然而换个角度,如用“诱导法”,或许会柳暗花明.模型:对已知y=f(x),x∈N*,设当x-k时取得最大值(最小值类似),则必有     

关于函数f(x)=sum from i=1 to n(a_i|x-b_i|)的最值

美国第10届大学生数学竞赛题中有一道是: 一条笔直的大街上有几座房子,每座房子里有小孩若干,问他们在什么地方相会,所走路程之和为最小? 我们设共有n座房子,每座房子里分别有a_1,a_2,…,a_n个小孩,现置大街于数轴上,并设相会点及每座房子分别对应数x,b_1,b_2,…,b,则孩子们到相会点的路程之和为 f(x)=∑a_1|x-b_1|,这里a_1∈N,b_1∈R且i≠j时b_i≠b_j。这样,原问题就转化为求x的值,使f(x)最小本文拟探讨a_1∈R时f(x)的最值情况。     

求一类二元函数最值问题的解析方法

在中学数学中,有一类形如二元函数f(x,y)满足条件g(x,y)≥0(或g(x,g)>0,或g(x,y)=0)的最值问题。求此类二元函数的最值时,如巧用解析几何知识,并借助图形的直观形象,就会得到令人满意的解答。它的一般步骤是: (1) 令f(x,y)=k; (2) 求k的取值范围,使区域g(x,y)≥0(g(x,y)>0)或图象g(x,y)=0与f(x,y)=k的图象有公共点; (3) 从这个范围内求f(x,y)=k的最大、最小值。下面举例说明: [例1] 设x~2 y~2≤4,试求3y-4x的最大值和最小值。     

一道高考题探源

2007高考广东卷理科压轴题已知函数f(x)=x~2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是f(x)的导数.设a_1=1,a_(n 1)=a_n-(f(a_n)/(f′(a_n)))(n=1,2,…).     

错解不是无情物 化作春泥更护花——一道“任意”与“存在”混搭问题的解法辩析

在最近笔者所在学校参与的一次高三联考中,出现了如下一道关于函数中双变量的任意与存在混搭的等式问题.题目已知函数f(x)=aln x+x^2+x-2(a∈R).(1)若f(x)在[1,+∞)单调增,求实数a的取值范围;(2)当a=2时,对于任意的λ∈[1,2],存在正实数x1、x2,使得f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2),求x1+x2的最小值.