双曲线条件的取值范围问题

初中数学学习中,经常遇到双曲线条件的取值范围问题.解答它们,除了灵活应用反比例函数的知识外,还要注意灵活应用不等式的知识.现举例如下:例1如图,A、B是双曲线y=kx的一个分支上的两点,且点B(a,b)在点A的左侧,则b的取值范围是.分析:由点B(a,b)在双曲线y=kx上,那么b=ka.要确定b的取值范围,应先求k的值和确定a的取值范围.     

一道解析几何习题的引申

【题】 :过双曲线x2 - y22 =1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点 ,若|AB|=4 ,则这样的直线共有 (　　 ) .A .1条　　　　B .2条C .3条　　D .4条正确答案是C .对该题进一步的探讨分析发现 ,此双曲线的实半轴a =1,虚半轴b =2 ,过焦点与x轴垂直的弦长为2b2a =4 ,|AB|=2b2a =4 >2a =2 .试问 :|AB|无论多长答案是否都是C呢 ?请看 :设双曲线 x2a2 - y2b2 =1(c =a2 b2 )的右焦点为F ,过F作直线l交双曲线于A、B两点 ,|AB|=d ,试根据d的不同取值讨论l的存在性 .预备知识 :(1)两顶点间的距离是双曲线两支上的两点间距离的最小值 ;(2 )过双…     

双曲线渐近三角形四心轨迹及其方程

已知直线l是过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)上的点P(x0,y0)的切线,直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点,则称△OAB是双曲线的渐近三角形.本刊2009年第一期邹生书老师给出了它的一组有趣性质,笔者经过探究发现还有如下性质:     

2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛

一、选择题 (每小题 4分 ,共 2 4分 )1 .已知点 (x ,y)在直线x 2 y =3上移动 .当 2 x 4y 取最小值时 ,点 (x ,y)与原点的距离是 (　　 ) .(A) 354　 (B) 451 6 　 (C) 324 　 (D) 982 .设双曲线 x2a2 - y2b2 =1的离心率e∈2 33,2 .则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 (     

双曲线的几个有趣性质与应用

笔者最近对双曲线的准线作了些研究,得到了几个十分有趣的性质,供读者参考.定理1　设直线l经过双曲线x2a2 - y2b2 =1 ( a >0 ,b >0 )的焦点F,l交双曲线的两条准线于A,B两点,O是双曲线的中心,e是离心率,l的倾斜角为θ(θ∈( 0 ,π) ) ,则OA⊥OB的充要条件是sinθ=1e2 .证明　由对称性,不妨设l的方程为y= k( x - c) (其中k =tanθ) ,分别与x =- a2c 和x =a2c联立,解得两交点A( - a2c,- a2 c2c k) ,B( a2c,a2 - c2c k) ,故OA⊥OB x A.x B y A.y B=0 ,即a4 k2 ( a4-c4) =0 ,或1 k2 ( 1 - e4) =0 .把k2 =tan2θ代入,即得sin2 θ=1e…     

圆锥曲线“垂轴线”的一个性质与两组“姊妹”结论

受文献[1]的启发,本文给出圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)垂直于焦点所在对称轴的直线(简称“垂轴线”)的一个性质,并应用性质证明两组“姊妹”结论. 1 一组性质 性质1 已知椭圆Γ:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)与x轴交于A、B两点,直线l:x=m(| m |≠a)是垂直于x轴的一条定直线,P是椭圆Γ上异于A、B的任意一点,若直线PA交直线l于点M(m,y1),直线PB交直线l于点N(m,y2),则y1y2为定值b2/a2(a2-m2).     

利用曲线系思想解一类轨迹问题

1命题命题1若A B是椭圆22C1:ax2+by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则椭圆22222C:(2x M x)(2y My)a b?+?=1经过A、B两点.证明设点A(x A,y A)、B(x B,y B),则由M是弦AB的中点,可知,x B=2x M?xA,y B=2y M?yA,由点B在椭圆C1上,知(2x M?x A)2/a2+(2y M?y A)2/b2=1,所以点A在椭圆C2上.同理可知点B也在椭圆C2上,故椭圆C2经过A,B两点.类似地有:命题2若AB是双曲线22C1:ax2?by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则双曲线22222C:(2x M x)(2y My)1a b???=经过A,B两点.命题3若AB是抛物线y2=2px的一条弦,且弦AB的中点为…     

椭圆和双曲线的性质与应用

本文介绍椭圆和双曲线的一个垂直性质与应用,供读者参考. 定理1 经过椭圆x/a2+y/b2=1(a＞b＞0)准线和x轴的交点E且倾斜角为θ的直线与椭圆相交于A,B两点,O是椭圆中心,则OA上⊥OB的充要条件是sinθ=b/a√a2-b2/a2+b2.     

一个命题 两个应用

命题:若直线y=kx+m与双曲线x2/a2-y2/b2=1相交于A,B两点,M(x0,y0)为AB的中点,则b2x0-ka2y0=0. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1/x2-x1=k 由于A、B两点在双曲线上得: x12/a2-y12/b2=1 ①,x22/a2-y22/b2=1②     

一道二次曲线间交点问题的错解反思

<正>1错解呈现例1抛物线x2=2py(p>0)的焦点F恰好是双曲线y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,求该双曲线的离心率.解答由[{x2=2py,y2/a2-x2/b2消x得b2y2-2a2py-a2b2=1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线与双曲线的两个     

对一道高考题的推广

20 0 2年高考第 2 0题是这样的 :设 A,B是双曲线 x2 - y22 =1上的两点 ,点 N ( 1 ,2 )是线段 AB的中点 .( )求直线 AB的方程 ;( )如果线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C,D两点 ,那么 A,B,C,D四点是否共圆 ?为什么 ?本文将第 ( )题的条件一般化 ,探究 A,B,C,D四点共圆的充分必要条件 .命题　设 A,B是双曲线 x2a2 - y2b2 =1 ( a>b>0 )上的两点 ,点 N( x0 ,y0 )是线段 AB的中点 ,线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C,D两点 ,则 A,B,C,D四点共圆的充分必要条件是 :a2 y0 ± b2 x0 =0 .证明　设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,…     

同心椭圆与圆的一个性质

<正>已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),点A1,A2分别为C的左、右顶点.结论1如图1,若椭圆C和动圆C1:x2+y2=t2(b相似文献   

有心圆锥曲线一个有趣性质的引申

文[1]给出了椭圆与双曲线如下一个有趣的性质.性质1给定椭圆C:x2/a2 y2/b2=1(a>b>0),A(?a,0)(或A(a,0))是长轴的左(或右)顶点,M(?a,m)(或M(a,m))(m≠0)是定直线L:x=?a(或x=a)上的一定点,过M引直线交C于点P、Q两点,则k AP kAQ为定值2b2/(am)(或?2b2/(am)).性质2给定双曲线C:x2/a     

解析几何问题综合分析

一、将平面向量融入解析几何【例1】(2004年山东卷)设双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)与直线l∶x y=1相交于两个不同的点A、B.(I)求双曲线C的离心率e的取值范围;(II)设直线l与y轴的交点为P,且P A=512P B,求a的值.分析:本小题主要考查直线、双曲线的概念和性质,平面向量的运算等知识.解题时先将直线方程代入曲线方程中,整理一下,变成一个关于x的一元二次方程,再使用韦达定理,写出两根之和与之积,最后再根据题目的要求求解.解:(I)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组x2y2-y2=1x y=1有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2 2a2x-2a2=0.①所以…     

2004年全国新课程卷理科21题别解

题目 设双曲线C:(x2)/(a2)-y2=1(a>0)与直线l:x y=1相交于两个不同的点A、B. (Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围; (Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且PA=(5)/(12)PB,求a的值.     

双曲线渐近三角形性质再探

定理1 已知直线l是过双曲线X2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的点P(x0,Y0)的切线,直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点,则称△OAB是双曲线的渐近三角形,渐近三角形有如下性质……     

高考圆锥曲线基础试题考点解析

《考试说明》要求考生:1掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程;2掌握圆锥曲线的初步应用.下面介绍圆锥曲线基础试题的考点和解析.考点1　求椭圆坐标的取值范围例1　(2000年新课程卷高考题)椭圆x29+y24=1焦点为F1和F2,点P为椭圆上的动点.当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围.解析:设P(x0,y0)是曲线x2a2±y2b2=1上的一点,则|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(e为离心率,F1、F2为左、右焦点).运用焦半径公式可简捷地解决与焦点三角形有关的问题.解:a=3,b=2,c=5.设P(x,y),由焦半径公式知|PF1|=3+53x.|…     

有心圆锥曲线切线的性质的再推广

文(1)给出了椭圆切线的一个性质:设A、B分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),短轴(长轴)的两个端点,P为椭圆上的任一点(不与A、B重合),直线PA、PB交长轴(短轴)所在的直线于C、D,则椭圆在点P处的切线平分线段CD. 文(2)将此性质推广至双曲线,并将切线推广为割线,文(2)末还提出了一个猜想.本文证明这个猜想,并由这个猜想出发,进一步证明文(1)中的四个定理的更一般情形.     

圆锥曲线的几个重要性质

性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆.     

用极端思想解函数选择题

<正>学习数学的核心是解题,而解题时应选择怎样的策略是一个解题者十分关注的问题,本文仅就用极端思想解常见的函数选择题作些盘点,以期对大家的学习有所启发和帮助.1线性函数例1对于a∈[-1,1],若函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则实数x的取值范围是().A.(1,3)B.(-∞,1)∪(3,+∞)