具Abel型积分算子的积分微分方程的广函解

本文我们考虑下列具有Abel型积分算子的积分微分方程sum from n=1 to n(α_i(f)x~(n-1))(t)=1/г(1-α)×(integral from n=o to t[(b(r)x(r))/(t-r)~α]dr (1)的广函解存在的充要条件,其中α是不取0和负整数的任意实数,系数函数α_i(t)和b(t)在t=0的邻域内分别为C∞函数和足够光滑的实函数.容易看出,当α_i(t)=0,i=1,…,n一1,时,且b(t)=1,方程(I)即为文[1]中研究的Abel型积分方程.当b(t)=0时,即为文[2]中所讨论的常微分方程.     

方程N‘(t)=r(t)N(t)(1-N(g(t)))α的正解的渐近性

研究时滞Logistic方程N'(t)=r(t)N(t)(1-N(g(t)))α的正解的渐近性,证明了在∫0+∞r(t)dt=+∞,且∫tg(t)r(s)ds≤δ(α/α-1)α-1时方程的每一正解趋于1.     

面积公式A=integral from n=α to β(1/2)[φ(θ)]~2dθ的一种推导

用极坐标求面积的计算公式A=integral from n=αtoβ(1/2〔ф(θ)〕~2dθ)在一般的《数学分析》教材中都是采用微元法得到的,本文根据直角坐标与极坐标的关系,给出参数方程进行推导。     

一类含BESSEL函数无穷积分的一致有界性

本文讨论了无穷积分integral from n=0 to r|J_n(r)|~qdr的一致有界性,证明存在常数C_2>C_1>0使当q→4~+时,有C_1/(q-4)≤sup integral from n=0 to ∞ r|J_n(r)|~qdr≤C_2/(q-4)。     

积分算子的凸半径

本文研究积分算子g_1(z)=integral from to z[f′(t)]~αdt和g_2(z)=integral from to z(f(t)/t)~αdt的凸半径问题。     

欧拉不等式的广义积分插入(英文)

从所周知,欧拉不等式2r≤R2(3)~(1/3)r≤3~(1/3)R。(1765)我们可加细到2(3)~(1/3)r≤(abc)1/3≤1/3(a b c)≤3~(1/3)R;(1)2(3)~(1/3)r≤(abc)~(1/3)≤{P integral from n=1 to ∞( 8)[(a x)(b x)(c x)]~-(P 1)3dx}-1/P≤1/3(a b c)≤3~(1/3)R;(2)2(3)~(1/3)≤(abc)~(1/3){P integral from n=1 to ∞( 8)[(a x)(b x)(c x)]~-(P 1)/3dx}~-(1/P)≤{Pintegral from n=1 to ∞( 8)λ~(-1)[(ι λ)(a x))~(1/3)(ι λ(b x))~(1/3)(ι λ(c x))~(1/3)-ι]~(-P-1)dx}~(-1/P)≤1/3(a b c)≤3~(1/3)R。(3)     

对两个积分问题的研究

不利用Newton-leibniz公式,而从Riemann积分的定义出发,得出:integral from n=a to b(dx/x′)=1/r-1[(1/a~(r-1))-(1/b~(r-1))](a>0,r为正整数,且r≥2)integral from n=a to b(x′dx)=b~(r 1)-a~(r 1)/r 1(a>0,r为正整数)About the Research of Two Integral Problems     

时变Logistic方程解的渐近性态

本文研究了时变Logistic方程dx/dt＝r(t)x(1-x/K(t))解的一些渐近性态,记K＝sup_(t∈R)K(t),k=inf_(t∈R)K(t),若00,integral from n=1 to -∞r(s)ds=∞成立,则当t充分大时Logistic方程的任一非零解一定进入区间(k',K'),并且任意两个初值解将任意接近.尤其当(?)(t),K(t)为T-周期函数时,Logistic方程存在唯一的全局渐近稳定的T-周期解.本文还给出一般时变Logistic方程和周期Logistic方程解的表达式.     

求sum from i=1 to n i~k的简便递推公式

寻找求sum from i=1 to n i~k值的方法,研究得不浅[1-9]都有介绍。这里仅用微积分的最基本知识推出较简便的自然数幂之和的求值递推公式:S_n~(k 1)=(k 1)[integral from n=0 to n(S~k(x)dx)-n integral from n=-1 to 0 (S~k(x)ds)。其中S~k(x)是S_n~k=sum from i=1 to i~k的派生函数。     

关于丢番图方程sum from k=0 to (n-1) (1+2k)~r=(1+2n)~r

本文证明了,当 r,n 为正整数,方程 sum from k=0 to n-1(1+2k)~=(1+2n)~无正整数     

关于方程sum from k=0 to n(x-qk)~r=sum from k=1 to n (x+qk)~r

本文证明了对任何正整数n,q,r,方程sum from k=0 to　n(x-qk)~r=sum from k=1 to n(x+qk)~r仅有正整数解:r=1,x=qn(n+1);r=2,x=2qn(n+1)。     

一个定积分性质的探讨

本文对《高等数学》中,积分不等式integral from n=a to b(f(x)dx)≤integral from n=a to b(g(x)dx)≤(f(x)≤g(x))的等号取舍作以讨论。     

关于丢番图方程sum form k=0 to n(b-21k)=sum form k=1 to n(b+21k)

本文得到下面结论:设n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to∞(1/n)(b-21k)~r=sum from k=1 to∞(1/n)(b+21k)~r仅有正整数解r=1,b=21n(n+1)和r=2,b=42n(n+1)     

用定积分证明不等式

例1.对x,y∈R,求证: (1) |sinxsiny|≤|x-y|; (2) |arctgx-arctgy|≤|x-y|。证不妨设x≥y,则|integral from n=y to x costdt|≤integral from n=y to x |cost|dt≤integral from n=y to x dt=|integral from n=y to x dt|,此     

巧求sum from i=1 to n multiply from j=i to i+r-1 j(r∈N)

如何计算sum from t=1 to n multiply from j=i to i+r-1 j(r∈N)的值(表达式)方法多种多样,但一般都比较繁琐。联想到高级中学《代数》第三册P82习题18_((2))的组合数恒等式,可得: C_r~r+C_(r+1)~r+C_(r+2)~r+…+C_(2+r-1)~r=C_(2+r)~(r+1) 将此式展开后两端乘以r_1,即可得:     

一类广义积分的计算方法

对于广义积分integral from n=0 to ∞ dm/dx~m(1/1 x~2)d~n/dx~n(1/1 x~2)dx和integral from n=0 to ∞ d~m/dx~m(sin x/x)d~n/dx~n(sin x/x)dx(m,n为非负整数),采用Fourier变换及级数计算出它们的值,并指出在区间(-∞, ∞)上可积的函数f(x),亦可仿此计算广义积分integral from n=0 to ∞ f~(m)(x)f~(n)(x)dx.     

关于无穷积分收敛的必要条件

我们知道,无穷积分(积分区间是无穷区间的积分)收敛性方面的理论,几乎是和无穷级数的相应理论互相平行的。这是因为无穷积分和无穷级数有着紧密的联系:一方面,对于给定的函数f(x),有integral from n=0 to+∞(f(x)dx)=sum from n=0 to+∞[integral from n=n to n+1(f(x)dx)]=sum fron n=0 to+∞(u_n).(1)其中u_n=integral from n=n to n+1(f(x)dx)(n=0,1,2,…);另一方面,给定级数sum from n=0 to+∞(u_n),我们可以造一个国数f(x)=u_n,n≤x相似文献   

定积分中值定理的一个推广

函数f(x)(?)(x)和g(x)(?)(x)分别在[a,b]上连续,在(a,b)内(?)(x)≠0则必存在一点ξ∈(a,b)使得g(ξ)integral from n=1 to ab f(x)(?)(x)dx=f(ξ)integral from n=1 to b(a)g(x)(?)(x)dx成立.这个结论对于多个函数对f_i(x)(?)(x),i=1,2,…,2n也成立.     

OSCILLATORY CRITERIA FOR A CLASS OF EVEN ORDER NONLINEAR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION

<正> In this paper we consider the following nth order nonlinear functional differential equation x~(n)(t)+integral from n=1 to ∞p(t,ξ)f(x(t),x[g(t,ξ)])do(ξ)=0(n even,n≧2,b>a) (1) Oscillations of this equation are studied.We make the     

定积分分部积分公式的一个推广

给出定积分分部积分公式integral from n=a to b udv=uv|_a~b-integral from n=a to b vdu的一个推广:integral from n=a to b udv=integral from n=a to b ud(v c)=u(v c)|_a~b-integral from n=a to b(v c)du其中 c 为常数。同时,举例说明推广式的应用。