不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。     

关于《不等式(a+1/a)(b+1/b)≥(25)/4的再推广》一文来信综述

本刊1987年第5期发表了许泽民同志的文章《不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广》,此后接到一些读者来信,指出了许文中两个定理中的错误,并对许文的定理进行了进一步推广,许泽民同志本人也来信作了更正.本刊对读者的关心表示感谢.此     

不等式(a b)(1/a 1/b)≥4的应用

在解析几何的一些极值问题或者不等式问题中,恰当地运用不等式(a b)(1/a 1/b)≥4(ab>0,可以使解题更简洁. [例1] 求圆x~2 y~2=r~2(r>0)的切线方程,使此切线夹在两坐标轴正半轴间的线段长最短,并求出这个线段长.     

不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9的引申与推广

若ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,则(ａ ｂ ｃ) ( 1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9( )是初等数学中的一个基本不等式 ,利用平均不等式可容易得证 .本文讨论它的引申与推广形式 .首先 ,容易得到该不等式的一般推广形式 .若ａｉ>0　 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 ａ2 … ａｎ) ( 1ａ1 1ａ2 … 1ａｎ)≥ｎ2 .( 1)( 1)可变形为1ａ1 ａ2 … ａｎ≤ 1ｎ21ａ1 1ａ2 … 1ａｎ.( 1’)利用以上结果 ,我们可以对不等式 ( )进行以下一系列的引申和推广 .设ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,则〔(ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ)〕( 1ａ ｂ 1ｂ ｃ 1ｃ ａ)≥ 9, ( )于是　　 1ａ ｂ 1ｂ …     

再论不等式(α+(1/α))(b+(1/b))≥25/4的推广

(一)引言偶翻期刊,看到两篇文章,涉及不等式的推广(文[1],[2]). 推广1 设x_1>0,i=1,2,…,n,且k≤n.则     

不等式log_a(a 1)>log_b(b 1)(b>a>1)的证明推广及应用

在有关书刊中.对109。(,, 1)>109(, ,》(;: 2)(neN)的证明作了深入的研究,实际上它是!。g。(a 1)>109办幼 1)(l,>a>l)的特殊情况,更一般地是函数‘f(二)一109,(二 1)在(1, 二)上的单调性问题.下而就此题的证明、推广及应用谈谈笔者的看法.供读者参考. 原题:已知b>a>1,求证: 109口(a 1)>109、(b 1) 证:因为。>。>1,所以土>牛>。,所以土 1 ~‘曰/J一‘一“了丫‘~a‘b‘一’尸’,,a>会十1,.19(x: 1)(lgx:一lgx,) lgx,lgxZ 因为lgx:(o,lgx:(o,19(x: l))o,lgx:一lgxl>0, 所以109!,(xZ 1)一109!2(‘2 l)>0· 所以10gJ、(‘: l)>109!2(x: 1), 所…     

不等式a+b/2≥(ab)~(1/2)(a,b∈R~+)的几何意义

中学数学教学大纲指出:“数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。”数与形是数学研究的两个重要侧面,它们之间相互渗透、相互转化。六年制重点中学高中数学课本代数第二册P87推论“如果a,b∈R~+,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。”此不等式有很多几何意义,本文提供的各种几何意义若能使学生理解,那么无疑会有助于我们综合运用中学数学知识能力的提高。 (1)取直线AMB,设AM=a,MB=b,以AB为直径作⊙O,其圆心为O,连结ACBC,由射影定理知CM~2=AM·MB,即CM~2=abCM=(ab)~(1/2),由于在圆内直径是最大     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

关于对(x+a)(x+b)的探索

例１已知（x＋a）（x＋b）＝x２＋５x＋ab，且a和b都是正整数．求a和b的值．解：依多项式的乘法法则，可得（x＋a）（x＋b）＝x２＋（a＋b）x＋ab，由已知，得x２＋５x＋ab＝x２＋（a＋b）x＋ab，∴a＋b＝５．又由a和b都是正整数，可得到．a＝１，b＝４ 或a＝２，b＝３ 或a＝３，b＝２ 或a＝４，b＝１ 如果把例１改一下，可得到例２．例２已知（x＋a）（x＋b）＝x２＋（a＋b）x＋６，且a和b都是正整数，求（x＋a）（x＋b）的运算结果．类似例１的解法，易得a＋b的值为７或５．把例２再改一下，可得例３．例３已知（x＋a）（x＋b）＝…     

妙用不等式a/b＜(a+m)/(b+m)巧解题

我们熟知,若用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/b.若在上述不饱和溶液中再添加mkg白糖,此时糖的质量分数为(a+m)/(b+m).将这个事实抽象为数学问题,即若a、b、m∈R~+,且a相似文献   

arctan a/a+b+arctan b/2a+b=π/4的几何证明

本通过构造等腰三角形,给出反三角恒等式: arctana/a+b+arctanb/2a+b=π/4(其中a,b>0)的一种巧妙的几何证明.     

剖析不等式f(x)(g(x))(1/2)≥0的解法

在多年的教学中,我发现学生在求解形如f(x)g(x)≥0的不等式中往往会因为一些原因不清楚而得到错误的结论,究其原因不外乎对式子中的等号理解不透,如何处理这类题呢?下面就以一个例子作为说明.题目:解不等式(x-2)x2-4x 3≥0.误解一:原不等式等价于x-2≥0x2-4x 3≥0,化简得:x≥3,     

基本不等式ab~(1/2)≤(a+b)/2课堂实录

<正>在前两节课的研究当中,学生已掌握了一些简单的不等式及其应用,并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系,掌握了不等式的一些简单性质与证明,研究了一元二次不等式及其解法,学习了二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外,为基本不等式的应用垫定了坚实的基础,所以说,本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第24届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等     

基本不等式a+b/2≥ab~(1/2)的应用

函数的最值是函数这一章节中的重要内容,它的重要性不仅在题型多样、方法灵活上,更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,一元二次函数是函数应用求最值的常用方法,而基本不等式是解决     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2

《基本不等式》这节课主要研究从代数和几何两方面探究基本不等式的证明过程,体会数形结合,提高论证能力,提升数学素养。     

《FINSLER 不等式的推广》一文的补注

本刊1984年第6期刊出陈远利同志“Finsler 不等式的推广”一文以后,在读者中引起了很大兴趣,不少人给本刊编辑部来稿来信。其中大部分的内容是给出前文末一个猜想的证明,如浙江岱山少沙中学周松宽,湖北通山洪港中学谭宜家、浙江杭州韶山中学润生、四川重庆二十三中高灵、浙江上虞县谢塘中学朱华银、甘肃天水师范学校韩毅、胜利油田教育学院数学系83级2班王德刚、山东滨县严士武、浙江嘉善县魏塘中学钱斌,贵州普安一中石文栋、湖北远安县78信箱四中李刚、安徽教育学院数学系83级孙利群、物理系84级张志贵、潜山县油坝小学熊若愚、河南许昌师专数学进修班朱华伟等。也有个别稿件提出陈文的应用,如合肥二十八中学刘光景。对此,我们表示感谢。陈远利同志在写出前文后不久,自行获得猜想的证明,并写了关于 Finsler 不等式的续篇,为见完壁,现以“补注”的形式发表。因来稿中对猜想证明方法,与此“补注”中方法基本相同,所以其他来稿就不再重复刊登,敬请原谅。     

不等式(a b)/2≥ab~(1/2)(a,b∈R~ )的几种巧妙证法

不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2).     

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)给出的信息

命题1设。、b、c都为非零数,则1 11几一十一=二,下飞一宁-DC“十U十C互为相反数,不妨设a二一方,则l︷少 十l护 +1一尸 一 一一l尸 +l+11a百+b3 1一少·︸3一一,分 r丫的充要条件是a、b、。中至少有两个互为相反数. 证三‘’充分性显然,卞亩证必要性,,若口3十十乃落二j)几于下奋’ 1=云丁, 1一万,1,1,1._—宁一犷~甲一=口口C.浮.a+b+c皓十去、劲“二(一价朵于是,所证等式成立.更一般有: 1一a+b+e1一c 十]一b由题设知“,乙,。子。,得 (a+b.+e)(bc+ac+ab)=abc,去括号整理得a Zb+ab’+aZe+acZ+bZc+beZ+Zabe=0,因式分解得 (a+b)(b+e)(e+a)=0…     

关于不等式(ax+b)~(1/2)■cx+d的教学

1985年高考数学试题理工农医类和文史类都有这样一个题目:解不等式(2x+5)~(1/2)>x+1.这是一道考查基础知识,基本方法,基本能力的难度适宜、区分度较好的题目。然而,考生的答卷并不理想,这里除了非正常失分外,主要错误表现在以下几个方面: 1.将不等式(2x+5)~(1/2)>x+1的两端平方,得到错误的解集:{z|-2相似文献