抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形的证明

1问题的提出 在一次关于抛物线内容的集体备课会上,承担主讲任务的郭老师提到了解析几何课本第121页的例3．     

三角形内接正三角形的最小面积

命题　设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+…     

三角形内接正三角形的个数

定义设E,F,G分别是△ABC三边AB,BC,AC上的内点(不与顶点重合),称△EFG为△ABC的内接三角形.(如图1)图1 文[1]指出任意一个三角形至少存在一个内接正三角形,但究竟有几个?文[1]未加解决.本文对这个问题作出解答.     

三角形的最小内接正三角形

1　问题的提出若△DEF的三个顶点分别在△ABC的三边上 ,图 1称△DEF是△ABC的内接三角形。如图 1 ,△DEF是△ABC的内接三角形。文 [1 ]讨论了三角形的内接正三角形的存在性问题 ,指出三角形的内接正三角形是存在的 ,并给出了一种作图方法。文 [2 ]指出任意三角形都存在无数个内接正三角形 ,给出了另一种作图方法。那么 ,一个给定的三角形的无数个内接正三角形中 ,有无边长最小的三角形 (最小内接正三角形 )呢 ?本文研究这一问题 ,给出最小内接正三角形的边长和位置。2　最小内接正三角形的边长设在△ABC中 ,∠C是最大角 ,△DEF是…     

圆锥曲线内接三角形一个性质的引伸

本刊2002(4)文[1]把文[2]的有两边与轴夹等角的椭圆内接三角形的性质(即文[1]的“定理”)移植到抛物线、双曲线(即文[1]的定理1、定理2),这三个定理揭示了椭圆、双曲线、抛物线的一个共性,读后颇受启发.本文把这一共性加以综合、引伸.并给出上述三个定理的一个简捷的统一证明. 我们把椭圆、双曲线、抛物线统一为圆锥曲线Г:f(x,y)=Ax2 Cy2 Dx Ey F=0.把文[1]的三个定理综合为. 定理设△ABC内接于圆锥曲线Г:f(x,y)=Ax2 Cy2 Dx Ey F=0,其两边AB、AC与Г的对称轴夹等角的充要条     

三角形的内接最大正三角形

本文探讨任意三角形其内接正三角形的边长何时取最大问题．     

关于内接于三角形的正三角形问题

定义　若正三角形的三个顶点分别在已知三角形的三条边上 ,则称这个正三角形为(已知三角形的 )内接正三角形 .对于任意给定的一个三角形 ,它是否存在内接正三角形 ?若存在 ,有多少个 ?本文回答了这些问题 ,同时还给出了内接正三角形的边长公式等重要结论 .定理　任意三角形都存在内接正三角形 .已知 :△ABC是任意三角形 .求作 :正三角形 EFG.其中 E,F,G分别在三边 BC,CA,AB上 .图 1分析　假设正三角形 EFG已经作出 (如图 1) ,则由正弦定理知BEsin y=EGsin B,ECsin x=EFsin C,由此得 BEEC=sin Csin ysin Bsin x. (* )可见△ E…     

有心圆锥曲线的"垂径定理"

圆的垂径定理是一个众所周知的结论,笔者尝试着把定理情境作了些许拓广,发现了一个关于有心圆锥曲线内斜率乘积为定值的结论.本文将给出此结论的证明及其在解题中的应用,供各位参考.     

圆锥曲线内接四边形的一个统一性质

最近,笔者经过探究,发现圆锥曲线内接四边形存在一个漂亮的统一性质．证明这个性质需引用以下两个引理：     

速解抛物线内接三角形的问题

抛物线内接三角形这类数形结合题,既是初中数学的难点,又是初、高中数学知识的衔接点,它涉及知识点多,综合性强,难度大,近几年中考压轴题出现的频率比较高.     

圆锥曲线内接直角三角形的性质及应用

在许多书刊中都可以看到关于抛物线的这样一道题:设A,B是抛物线y2=2px上的点,且满足∠AOB=90°,O是坐标原点,则直线AB必过一定点.     

有心圆锥曲线的性质探究及应用

直线与圆锥曲线的位置关系在高考试题中常常涉及,且常考常新.探究有心圆锥曲线的性质,并由此得到有用的结论,可以提高学生分析问题和解决问题的能力,从而提高学生的核心素养.     

一类圆锥曲线内接三角形的性质探究

本文由佛山市高三教学质量检测的一道圆锥曲线题出发,探究圆锥曲线中内接三角形三边之间过定点与斜率为定值的关系,并引入极点极线的命题背景知识,最终得到定点与定点以及定点与斜率之间的一般关系.     

两种正多边形的最小内接正三角形

正多边形的内接正三角形是指顶点在正多边形的边上的正三角形．正多边形的边长最小的内接正三角形问题是一个有趣的几何极值问题．本文研究正五边形和正六边形的最小内接正三角形．     

关于椭圆内接正多边形个数的探索

一、问题产生的背景一年一度的成人高考阅卷工作又开始了,我有幸被分配批阅最后一题.题目及所给参考答案如下:     

有趣的“倒有心圆锥曲线”

圆锥曲线是高考的热门考点,在教学过程中偶尔有粗心的学生把圆锥曲线方程写倒了,于是笔者将错就错,意外得到了倒圆、倒椭圆、倒双曲线,进一步得到统一的倒有心圆锥曲线．请看：     

有心圆锥曲线的一个性质

在对圆锥曲线的研究中,笔者最近发现了椭圆、圆和双曲线（统称有心圆锥曲线）的一个性质,不揣冒昧,写出来与读者交流．     

单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A,B,C为单位圆x^2＋y^2=1上的三个点,且△ABC为正三角形,则可设A,B,C的坐标分别为A别为A（cos a,sin a）．B（cosβ,sin βC（cos γ sinγ,．若k为整数则有如下结论：     

圆锥曲线内接三角形定值定点问题的充要条件

文章在文献[1]研究基础上,通过对椭圆中的内接三角形的三边斜率关系与直线过定点问题进行研究,发现有关斜率定值问题与直线定点问题之间的内在等价性,从而得到有关椭圆内接三角形定值定点问题的充要条件,并将其拓宽于双曲线与抛物线中,得到相应的结论,揭示圆锥曲线一类定值定点问题的内在统一性.