圆锥曲线的一类最值问题

<正> 本文探讨在圆锥曲线上求一点,使其到一定点和一焦点(或圆心)的距离之和最小、或距离之差(绝对值)最大的问题. 圆锥曲线将平面分成两部分,我们称含焦点的区域为圆锥曲线的内部,不含焦点的区域为圆锥曲线的外部.以下讨论定点在曲线内     

焦点问题 分类剖析——圆锥曲线的焦点问题例析

在圆锥曲线中,其焦点既给圆锥曲线定“位”,又直接影响着圆锥曲线的某些“量”的变化,也就是圆锥曲线的众多性质都依赖于焦点,所以由焦点而引发出圆锥曲线的许多问题,使“过焦点问题”成为高考的热点题型,涉及焦点的高考试题已成为人们关注的热点.一、圆锥曲线的焦半径问题我们把连接圆锥曲线的焦点与曲线上任一点的连线段称为它们的焦半径,根据圆锥曲线的统一定义,很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式.下面是用得较多的焦半径公式:(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)而言,|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)而言,|PF1…     

圆锥曲线焦点弦的定点分比

定义若过圆锥曲线焦点 F 的直线交圆锥曲线于 A、B 两点,则线段 AB 称为圆锥曲线焦点弦,F 分的比(AF)/(FB)称为圆锥曲线焦点弦的定点分比.解析几何中经常遇到,圆锥曲线的焦点分焦点弦的定点分比的问题,这里分别给出抛物线、椭圆、双曲线的一般结论.相关问题如有意识地运用焦点弦的定点分比公式解决,将来得简捷;以焦点弦的定点分比为背景还可构造新题型.下面介绍圆锥曲线焦点弦的定点分比公式并例说其应用.     

圆锥曲线的一个性质及应用

在研究圆锥曲线时,许多问题经常涉及圆锥曲线的焦点和准线.如圆锥曲线的统一定义,是通过引入圆锥曲线的离心率,建立曲线上点到焦点距离与到对应准线距离的数量关系.这种数量关系已被广泛应用.而本文试图以圆锥曲线的焦点、准线为载体,通过引入圆锥曲线的切线,建立圆锥曲线的焦点、准线与切线三者之间的位置关系.通过揭示其内在的共同属性和定性问题,促使我们认识这类数学问题和相应的解决方法.性质1设F为椭圆的焦点,l为焦点F所对应的准线.(1)若点P为l上动点,过P作椭圆的两切线PA、PB(A、B为切点),则A、F、B三点共线;(2)过焦点F作直线…     

揭开两个问题的本源

本文通过寻找两道椭圆问题的内在联系,运用合情推理,得到圆锥曲线的焦点弦的一般结论,并得到由圆锥曲线的焦点(准线)寻找相应准线(焦点)位置的一种方法.     

圆锥曲线准线的两种作法

已知圆锥曲线(包括顶点、焦点等特征点)如何用简单的方法作出其准线?通过探索,本文给出以下两种方法.方法1F是圆锥曲线的一个焦点,圆锥曲线上任一点A1关于长轴(椭圆),实轴(双曲线),轴     

高考中一类圆锥曲线关于焦点弦问题的新解法

本文介绍了圆锥曲线的焦点弦(或焦半径)与离心率的一条新关系式及其推论,并说明了其在解高考题中的应用.定理设点F是离心率为e,焦点在x轴上的圆锥曲线的一个焦点,P为焦点F到其对应准线的距离,r为该圆锥曲线的焦半径,则有:e=P±rrcosθ(*)成立其中:(1)若该圆锥曲线为椭圆,当定点     

统一定义在焦点弦相关问题中的妙用

<正>过圆锥曲线焦点的弦称为焦点弦,关于焦点弦问题,除了运用弦长公式外,常利用过焦点的特点,即用圆锥曲线统一定义求出焦半径,从而得到焦点弦的长,也可使与焦点弦相关的问题获得简解,达到优化解题、提高解题效率的效果.圆锥曲线的统一定义:与定点(焦点)的距离与对应的一条定直线(准线)的距离的比等于常数(离心率e)的点的轨迹为圆锥曲线,当0 1时轨迹为双曲线,当e=1时轨迹为抛物线.     

圆锥曲线一个性质的再推广

文[1]给出了圆锥曲线焦点与准线的一个相关性质,文[2]对此进行了推广,本文将从新的角度对文[1]性质进行了再推广。 先看文[1]中的命题1: 过圆锥曲线ρ=ep/(1-ecosθ)的准线(l)与对称轴的交点(K),引一条直线和圆锥曲线相交于两点(A、B),则这两点与准线所对应的焦点(F)的连线(即焦半径)与焦点轴成等     

圆锥曲线的焦点问题例析(二)

三、圆锥曲线的焦点弦问题过焦点的直线与圆锥曲线相交,两个交点的线段叫焦点弦,与焦点弦有关的圆锥曲线问题常用定义(特别是第二定义中的焦半径公式)把问题转化.1.如果弦MN过椭圆的焦点F1,设M(x1,y1),N(x2,y2),则|MN|=a ex1 a ex2=2a e(x1 x2).【例6】设椭圆方程为ax22 by22=1     

圆锥曲线有关焦点弦(焦点半径)的五个统一性质的统一证明

下面分别从四个方面,给出了圆锥曲线有关焦点弦(焦点半径)的4个统一性质,都是采用对圆锥曲线进行分类讨论,用方程的思想,通过比较复杂的运算得到了证明。本文将用圆锥曲线焦半径的倾角表达式,(本质上圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化)统一证明上述性质1、性质2、性质3和性质4本文给出的性质5,并用这样的思想方法证明巧妙地解答圆锥曲线中的热     

活用二次曲线的定义解题

已知圆锥曲线一个焦点为F(2，0)，对应这个焦点的准线方程为x=-2，且曲线过点M（1，2√2)．求这个圆锥曲线的方程．     

圆锥曲线主轴上点的另一种配对性

文[1]中称圆锥曲线的焦点所在的对称轴为其主轴,证明了圆锥曲线主轴上点的一种配对性质,本文则阐述圆锥曲线主轴上点的另一种配对性质,并给出次轴(焦点不在的对称轴)上点的一种配对性.定理1设M为圆锥曲线Г的主轴上异于Г顶点及中心(如果存在的话)的任一点,则存在一条垂直于Г的主轴的(与M相关的)直线l M,使得对于Г的过M的任意两弦AB和CD(端点分别为A、B和C、D),三直线AC、BD、l M平行或共点;三直线AD、BC、l M平行或共点.证明Г的离心率为e,焦点到相应准线的距离(焦参数)为p,以一焦点为原点,该焦点到相应准线的垂线段的反向延长…     

关于圆锥曲线极线和极点的几个推论

定理过定点P(x_0,y_0)的动直线与圆锥曲线交于两点P_1、P_2,则过P_1、P_2的切线交点共线于直线T(见图1,直线T称极线) 证明见参考资料《平面解析几何》辞典(唐秀颖主编) 推论1 若点P在对称油x(y)轴上,则直线T垂直于对称轴x(y)轴。[注] 推论2 若点P和圆锥曲线的焦点重合,则直线T和圆锥曲线的准线重合。推论3 若点P与圆锥曲线的准线和坐标轴的交点重合,则直线T过曲线的焦点且     

与圆锥曲线焦点弦有关的一组性质

<正>圆锥曲线的焦点弦是圆锥曲线中的重要元素,圆锥曲线存在与焦点弦有关的众多性质,笔者通过研究得到了下列性质,与各位同仁分享．性质1设点F为有心圆锥曲线(椭圆或双曲线,下同) C的一个焦点,C的离心率为e,过点F且斜率为k的直线l与C交于P,Q两点(C为双曲线时,P,Q两点均在与点F对应的一支图象上),设焦点弦PQ的中垂线与两焦点所在直线交于点M,则2|MF|=e|PQ|.     

圆锥曲线的焦半径公式及其应用

圆锥曲线上任一点到焦点所连线段叫做圆锥曲线过该点的焦半径。由于椭圆、双曲线有两个焦点,所以椭圆和双曲线上的点都有两条焦半径。对于涉及焦半径的问题,运用焦半径计算,可使问题化繁为简、化难为易。一、焦半径公式设P(x,y)为圆锥曲线上任一点,离心率为e,那么P到焦点的距离r可以用下面公式表示,统称焦半径公式。     

椭圆中焦点、准线一个性质的探究与推广

焦点、准线是圆锥曲线中最为重要的知识点,圆锥曲线中的很多性质都和其焦点、准线有关．纵观高考中的圆锥曲线问题,相交弦倍受关注,特别是焦点弦问题,在此我们不妨称准线和对称轴交点为准点;以焦点在茗轴上的圆锥曲线为例,     

圆锥曲线“焦顶三角形”的一个有趣性质

以圆锥曲线上的一点、一个焦点及此焦点对应的顶点(与此焦点在圆锥曲线的同一条对称轴上且距此焦点近者)为顶点的三角形称为“焦顶三角形”.本文介绍圆锥曲线“焦顶三角形”的一个有趣性质,以飨读者.定理1设椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个“焦顶三角形”为AFB(其中F为C的一个焦点,A为F对应的顶点),设∠BAF=α,∠AFB=β,则tanαtanβ/2-1=e(e为C的离心率).     

圆锥曲线焦点弦长度的又一种计算方法

《数学通讯》1996年第1期刊登了《圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法》一文,读后很受启发,笔者经过研究,再给出圆锥曲线焦点弦倾斜角及长度的又一种计算方法。设圆锥曲线过焦点F的弦交圆锥曲线于A,B,令AF/FB=λ(λ>0),焦点弦所在直线倾斜角为α,则焦点弦AB所在直线方程为     

圆锥曲线定点弦的一个有趣性质

通过对圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质的研究,将其推广到一般的圆锥曲线,得到一般圆锥曲线定点弦的一个有趣性质(定理1),并予以证明.然后再次推广,得到更为一般的结论(定理2)及三个推论.