一个不等式的加强

本刊1989年第际数学竞赛题中有 设a,b,e任R+,5期刊登第二届友谊杯国则 a 2 .b“.cZ_a+b+e—十一—十一—万二声—.白+CC+口口+口艺不等式可加强为设a,b,c任R+,丝+些兰+‘C+召+c:a+b 一L口日男)竺鉴些十抓‘;荞以‘淤三+告厂〕.事实上,不妨设a)b):>0.作如下变形 a2西+c=厂其二 、口十C~4a一b一c 4(b一e)24(b+c)〕班卫二立二少+ 4(乡一c):4(b+c)=六{(a一宁)’一(勿’〕班些立班+ 4(b一e)z4(b+c)(a一b)(a一c)州兰卫上二 4 ︸‘,l︸+ 一百口.(b一十— 4(bc)2·+c)同理刃一,续有类似表达式,三式相加, C个a“十0有兰+b+C b2‘+口十_丝_ a十b一…     

一个不等式的加强

1938年,费恩斯列尔——啥德维格尔提出了如下的不等式: 设ΔABC的三边为a、b、c,面积为Δ,则 a~2+b~2+c~2≥4(3~(1/2))Δ+(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2 (1) 其中等号当且仅当a=6=c时成立。 1983年,王玉怀首次把不等     

一个不等式的加强

众所周知,在△ABC中,有不等式 文[1]将之改进得到从而有 今给出(3)的改进, 定理 在△ABC中,设R,S分别为△ABC的外接圆半径、半周长,则     

一个不等式的加强

文[1]给出问题“设a,b,c是ΔABC的三边,求证：a2/b＋c-a＋b2/c＋a-b＋c2/a＋b-c≥a＋b＋c.”的两种证法．     

一个不等式的加强

1965年,H.Demir——D.C.B.Marsh建立了三角形中的如下重要不等式: 设△ABC的三条高和旁切圆的半径分别为h_a、h_b、h_c、r_a、r_b、r_c.则 r_a/h_a r_b/h_b r_c/h_c≥3, ① 当且仅当△ABC是正三角形时等号成立。     

一个不等式的加强

教授法国路易·巴斯德大学的Mohammed Aassila,在1998年9月的Crux Mathematicorum With Mathematical Mayhem杂志上提出了一个不等式：     

一个不等式的加强

《中学数学》(苏州)1996年第11期张善立先生证明了一个猜想不等式:设p为△ABC的费马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a,b,c,则 (u v w)~2≤ab bc ca (1) 笔者加强(1)为:(2) 证明 在△ABC中,有tgA/2 tgB/2     

一个三角不等式的加强

[1]中有一个不等式:可作如下加强: 定理对△ABC,记则为此,先证对所有x,y,z∈R~+,成立x~3+y~3+z~3     

一个三角不等式的加强

在很多高中数学竞赛资料上能看到这样的一个不等式：在△ABC中,A、B、C＋是三角形中的三个内角,则有0〈sinA＋sinB＋sinC≤3/2√3,笔者经过探究后可以发现在不同形状的三角形中,这个结论可以进一步加强．     

一个加强不等式的推广

对于高中课本上的不等式笔者在《也谈一个不等式的加强》(见本刊94年第1期)中加强得到:若n∈N,n≥2,则当仅当n=2时等号成立。 本文进一步把加强不等式(2)作指数推广,得到     

一个三角形不等式的加强

《数学通报》1995年1月号的问题931:“在锐角△ABC中,求证:tgA·tgB·tgC>1。”这个三角形不等式可加强为:     

一个代数不等式的加强

设x≥0,求证: (2 x)/(1 x)·(1 (1 x)~2)~(1/2)≥2(2~(1/2)). (1) 《中学数学》(湖北)及《中学数学》(苏州)曾给出这道代数不等式的多种证法,本文加强了(1)式,同时给出一个简洁的证法.     

一个三角形不等式的加强

文[1]给出如下一个三角形不等式: 在△ABC中,有等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 本文给出(1)式的加强.     

一个不等式的系列加强

[1]证明了对自然数n,成立不等式     

一个代数不等式的加强

在文献[1]中，萧振刚和张志华先生提出并证明了如下的不等式： 定理设a，b，c皆为正实数，λ，μ，v是不全为零的非负实数，则     

一个几何不等式的加强

王红权曾介绍以下不等式:     

一个推广不等式的加强

命题1 设a,b,c>0,则 2/(b+c)+2/(c+a)+2/(a+b)≥9/(a+b+c)。本刊1988年第6期P.8,曹健同志给出命题1的一个推广如下: 命题2 设a_1>0(i=1,2,…,n),m∈N,S=a_1+a_2+…+a_n,则 n-1/(S-a_1)~m+n-1/(S-a_2)~m+…+n-1/(S-a_n)~m≥n~2/S~m ①笔者发现命题2并不比它的特例(命题3)强。     

一个三角不等式的加强

命题 对o≤七≤2 2/2,在△A8c中成立不等式∑sinA≤掣州∑sin号一争(1)(《中等数学》1 995年第1期P17) 现加强为:对o≤^≤3、//了,在△ABc中有 ∑sM≤学州∑咖导一争(2) 证明 先证在△以Bc中有 ∑sin2A≤掣十3厅[∑。。。A一知 (3) 由三角形恒等式 n 厶sin24—4sin4sinBsinC. ∑c。s以=- tsin导sin詈sin导知 不等式(3) 仁》4sin月sinBsinC ≤t·s、/厂了sin导sin·导sin导 ㈢c。s导c。s鲁c。s导≤生等三. ㈢。。。虿。。。i。。。i≤—百一’ 而这是显然成立的.再对(3)式作变换(么A,么B,么c)一(9卜等.90一譬,9俨等御得∑咖A≤半 3厅(…     

一个几何不等式的加强

1966年,H.Guggenheimer建立了三角形中的如下不等式[1]。 设△ABC的角平分线长和旁切圆半径     

欧拉不等式的一个加强

熟知,著名的欧拉不等式为:设△姓BC的内切(ZsinA一sinZA _~_.R_圆和外接圆半径分别为r和找,则下多艺32C05丝2c。s旦 2__CCO吕,二- 2(3)C一2 n 一﹄B2 n .司人 SA一2 n .‘人 SOJ叮自 厅舀下面将欧拉不等式加强为:定理设△任BC的内切圆和外接圆半径分别为r,则同理ZsinB一sinZBC一2A一2B一2 g 占L广产‘.、、 +月‘、11,R‘_.下少艺’卜;l( A .B工g气石一〔g不 ‘云C(一tg一万)‘32e0s _BCOS— 2(4)COSC一ea./C姓、月+ltg万一tg万JI 、“JJ 。C‘A(1)tg‘万5 In不 自‘5 inB一2ZsinC一sinZC证明 _~.0.月.B田十在△且廿…