构造勾股数的一种法则

大家知道,能够成为直角三角形三条边长的三个整数,称为勾股数. 如,因为3~2+4~2=5~2,所以3、4、5是最简单的一组勾股数.一般地,若正整数n、x、y     

基本勾股数及其性质

不定方程x~2+y~2=z~2的正整数解叫做勾股数,记作(x,y,z),而当(x,y,z)不含有公约数时,则称之为基本勾股数,如(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)等。每一组基本勾股数与自然数相乘,结果仍得勾股数,如由基本勾股数(3,4,5)可以得到(6,8,10),(9,12,15),…以这些勾股数为边的直角三角形都是相似的。含有公约数的勾股数被称为可约勾股数。在研究勾股数的性质时,人们总是着眼于基本勾股数。在包罗一切勾股数的公式一: 中,当a,b同为奇数或同为偶数时,得出是可约     

勾股数的基本组及其性质

本文给出勾股数基本组的某些性质,并由此得出排列勾股数基本组的一个方法。定义1 如果正整数a,b,c能满足不定方程 a~2+b~2=c~2,(1)则它们叫一组勾股数,用[a,b,c]表示。定义2 如果[a,b,c]为一勾股数组,且(a,b)=1,则[a,b,c]叫一个勾股数的基本组;全体勾股数的基本组用集合A表示。     

勾股数的另一些有趣特点

大家都知道,在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边平方的和。这是有名的勾股定理。我们通常把斜边设作 c,两直角边分别设为 a、b,那么,根据定理得:c~2=a~2+b~2,也就是弦~2=勾~2+股~2。而 a、b、c(勾、股、弦)这一组勾股数的正整数组必定满足上列等式。经常提到的勾3、股4、弦5就是勾股数中最小的一组。这里介绍勾股数的另一些有趣特点。     

基本勾股数公式的几何证明

(一) 通常把能构成一个直角三角形三边长度的一组正整数,称为勾股数。由勾股定理及其逆定理,求所有勾股数,就是求方程 a~2 b~2=c~2 ①的全休正整数解。我国最早的算经之一《周髀算经》中就有一组勾股数的记载:“勾广三、股修四、径隅五”。即数组3、4、5是方程①的一个解。显然,对任何正整数m,数组3m、4m、5m也是①的解。一般地,如果a、b、c是一     

关于前两数为连续整数的勾股数的计算公式

《数学通讯》1989年第7期刊登了殷庆和的《关于前两数为连续整数的勾股数》的文章,该文讨论了不定方程 X~2+(X+1)~2=Z~2的正整数解的问题,即令x_1=3,z_1=5以及x_(+1)=3x+2z+1,z_(+1)=4x_n+3z_n+2,则上面不定方程的全部正整数解为     

勾股数杂谈

如果一个直角三角形的三边长正好都是正整数,那么这三个正整数叫做勾股数（也叫勾股数组）．一般地,如果正整数a、b、c能满足a^2＋b^2=c^2,则它们叫做勾股数．     

三探勾股数

求勾股数组(a、b、c)的实质是求三元二次不定方程a2+b2=c2的正整数解的问题,因此可以从方程角度探求勾股数.为了便于探求勾股数,可将a2+b2=c2变形为a2=(c+b)(c-b),这样就可以求出一些具体的勾股数了.例如,当a=12时,有(c+b)(c-b)=144.因为c、b都是正整数,且易知c>b,所以c+b、c-b都是正整数,于是可得如下7个方程组:(1)cc+-bb==114;4,(2)cc-+bb==272;,(3)cc-+bb==348;,(4)cc+-bb==346;,(5)cc-+bb==264;,(6)cc-+bb==188;,(7)cc-+bb==196.,解这7个方程组可得4个勾股数组:(12、35、37),(12、16、20),(12、9、15),(12、5、13).实际上,上述7个方程组…     

勾股数组与费马大定理

如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．也就是说，满足不定方程χ^2＋y^2=z^2的每一组正整数解都是勾股数组．人们对勾股数组的研究是对勾股定理研究的延伸．     

一个著名代数恒等式的应用——兼谈共弦直角三角形个数

<正>数学上,把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称为勾股数.对于勾股数问题,从古至今人们从未停止过探究活动.已知勾边或股边利用整数的性质,容易求出对应的勾股数,但若已知弦边,如何探求勾股数呢?这是一个具挑战性的问题,这里利用一个著名代数恒等式给出一种初等的解决办法,与大家分享.1一个著名代数恒等式1.1恒等式:(a²+b2+b²)(c2)(c²+d2+d²)=(ac-bd)2)=(ac-bd)²+(ad+bc)2+(ad+bc)²(1)     

勾股数的有趣性质

我们知道,满足不定方程x~2 y~2=z~2的正整数组(x,y,z),称为勾股数,在勾股数中最小的一组为(4,3,5,)可记作(x_0,y_0,z_0)。性质一:对任何一组勾股数,必有: x_0整除x(注意x、y可以互换位置的特点),     

勾股数的构造方法

勾股定理是初中数学的重要定理,反映了直角三角形三边的关系,勾股数则是满足a²+b²=c²的一组自然数。本文探讨给出任意一个大于2的正整数a,都可以构造出所有以a为直角边的勾股数,勾股数的组数可以由a的因数个数来确定。     

寻求勾股数组的一种简便方法

初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数). 换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2 b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.     

勾股数杂谈

如果一个直角三角形的三边长正好都是正整数,那么这三个正整数叫做勾股数(也叫勾股数组).一般地,如果正整数a、b、c能满足a~2 b~2=c~2,则它们叫做勾股数.按我国古代的叫法,如果勾股数的关系为a相似文献   

勾股多项式

在整数环Z中,通常把满足不定方程x~2+y~2=z~2的正整数解(x_0,y_0,z_0)叫做勾股数,我们可把这一问题引申到实数域R上的多项式环R[t]中进行讨论,相应地得到了有关勾股多项式的有趣结论。     

“勾股数组”初探

我们学习初二几何时,知道能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,被称为勾股数或勾股弦数,也可称之为商高数或毕达哥拉斯数．我们能举出许多常见的勾股数组,如3,4,5；5,12,13以及由他们的整数倍所产生的6,8,10；10,24,26等等．前者三个数之间无公约数,是互质的,我们称其为基本勾股数组．基本勾股数组有无穷多组,有没有一个能够求出所有勾股数组的公式呢？     

勾股数杂谈

如果一个直角三角形的三边长正好都是正整数,那么这三个正整数叫做勾股数(也叫勾股数组).一般地,如果正整数a、b、c能满足a2 b2=c2,则它们叫做勾股数.按我国古代的叫法,如果勾股数的关系为a＜b＜c,则a叫勾数,6叫股数,c叫弦数.……     

巧用勾股数规律求面积

<正>勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,设三角形的三边长分别为a,b,c,且都是正整数,它们满足条件a²+b²=c²,那么a,b,c就是一组勾股数．我国对于勾股数的研究有辉煌的成就,古代数学书《周髀算经》中记载,在公元前1100年人们就将直角三角形中较短的直角边叫作“勾”,较长的直角边叫作“股”,斜边叫作“弦”,并知道一组常见的勾股数,即3,4,5．后来在《九章算术》中,除了3,4,5这组勾股数,还提出了9,12,15;7,24,25;8,15,17;20,21,29等几组勾股数．实际上,勾股数不只有这几组,还有很多,下面我们先探究用勾股定理求面积,然后讨论如何运用勾股数规律求出面积．     

几类特殊勾股数的探索

勾股数是指满足a2+b2=c2的三个正整数a、b、c,但不一定满足a2+b2=c2的数a、b、c都是勾股数。利用好勾股数可以迅速判别三角形是否为直角三角形,从而利用直角三角     

脱口而出勾股数

大家一见到3,4,5中的任意一个,就会脱口而出含有这个数的勾股数3,4,5。然而,碰到大于2的任意正整数时,也能做到脱口而出吗?要想做到这一点并不难,只要用本文的办法就行了。设M为所告诉的大于2的正整数。可据下列情况分别得勾股数: 一 M为偶数:M,(M~2-4)/4,(M~2 4)/4 二 M±1是完全平方数:2(M±1)~(1/2),M,M±2 三 M为奇数:M,(M~2-1)/2·((M~2 1)/2) 四 2M±1是完全平方数:(2M±1)~(1/2),M,M±1 这些公式的证明都极为简单,相信同学们自己能够很快证明出来。获得步骤:一、M的附近(M±1)是否有完全平