逆向思维解题例说

心理学认为,每个思维都具有与它相反的思维过程,在中学数学教学中,不但要培养学生的正向思维能力,也要培养学生的逆向思维能力,现举数例如下: 例1若三个方程x~2 4ax 3-4a=0,x~2 (a-1)x a~2=0,x~2 2ax-2a=0,中至少有一个方程有实数解,试求a的范围。分析:若从正面考虑,可有一个、三个或三个方程有实根共七种可能,甚繁,若从反面(三个方程都无实根)考虑则只有一种可能。解:由判别式得,关于a的不等式组     

它山之石可攻玉——补集法解题浅析

1.问题的提出 例1 如果下列三个方程x~2 4ar-4a 3=0,x~2 (a-1)x a~2=0,x~2 2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围。 分析:正面理解题目中的关键词“至少”,可得如下三类: (1)只有一个方程有实根,有三种情形; (2)只有二个方程有实根,有三种情形; (3)二个方程都有实数根,有一种情形。 从反面,即从否定的角度理解“至少”,只有一种情形:三个方程均无实根。 从正反两方面的“并”的角度审视下,a的范围是     

运用补集思想解题例说

有些数学问题,从正面入手比较困难,这时可考虑从问题的反面入手,若关于集合A的问题,比较难于考虑,有时可考虑其补集,学生分析问题大部分都采用顺向思维,这样就造成思维僵化,为此,在习题教学中,要重视引导学生善于从反面思考问题,培养学生的逆向思维能力,下面举例说明。 例1 已知集合A={x∈R|x~2-4mx 2m 6=0},若A∩R_≠,求实数m的取值范围。 分析 集合A是方程x~2-4mx 2m 6=0的实数解组成的集合,意     

一道国际竞赛题的别解

第十五届国际数学奥林匹克竞赛题中有这样一道题: 设 a、b都是实数,并且方程x~4 ax~3 bx~2 ax 1=0至少有一个实数解,试确定a~2 b~2的最小可能值。     

错在哪里

题目　当a取何值时,关于x的方程:xx-2+x-2x+2x+ax(x-2)=0只有一个实数解?错解　去分母,整理得2x2-2x+a+4=0.因为原方程只有一个实数解,所以Δ=4-8(a+4)=-8a-28=0,∴a=-72.剖析　可化为一元二次方程的分式方程只有一个实数解需要考虑两种情况:一是所化成的一元二次方程有两个相等的实数根.二是原方程中未知数有两个不同的取值,其中一个是增根,另一个是原方程的实数解,情况二往往被同学们所忽视.正确解法　去分母,整理得　2x2-2x+a+4=0.Δ=0时,解得a=-72.此时方程的根是x=12;若x=0时,代入2x2-2x+a+4=0,解得a=-4.此时,x1=0,x2=1,x1=0为增根,原…     

1991年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、填空题(本题10小题,前5小题每题6分,后5小题每题8分;共70分) 1.实数x使x-1/x=5~(1/2),则x+1/x=____。 2.若a、b是二次方程x~2-x+g=0的两个根,则a~3+b~3+3(a~3b+ab~3)+6(a~3b~2+a~2b~3)的值是____。 3.设m为实数,方程x~2-5x+m=0有一个根的相反数是方程x~2+mx+5=0的一个根,则m=____。 4.用[a]表示不超过实数a的最大整数,{a}=a-[a]表示a的小数部分,则方程[x~3]+[x~2]+[x]={x}-1的解是____。     

解分式方程一例

解方程 x~2 1/x~2=a~2 1/a~2,经去分母整理可得a~2x~4-(a~4 1)x~2 a~2=0,亦有(a~2x~2-1)(x~2-a~2)=0,所以 x_(1,2)=±1/a,x_(3,4)=±a.a 为非零实数。x_(1,2)与 x_(3,4)均为原方程的解。     

从反面思考

反面思考数学问题 ,是数学思维的一种重要方法 ,它广泛用于解题之中。比如 ,“若３个方程ｘ２ ｍｘ -ｍ＝０,ｘ２ ２ｍｘ -３ｍ＝０,ｘ２ （ｍ -１）ｘ ｍ２＝０中 ,至少有一个方程有实数根 ,试求实数ｍ的取值范围”一题 ,从正面上思考 ,则要分多种情形讨论 ,很是复杂。那么换一个角度想 ,就会另有感觉———简单明了。“至少有一个方程有实数根”的反面就是“３个方程都没有实数根” ,我们如果求出了“３个方程都没有实数根”时ｍ的取值范围 ,则运用补集就可求出“至少有一个方程有实数根”时ｍ的取值范围。因此 ,若３个方程都没有实数…     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…     

关于实系数方程az~2+bz+c=0的复数解的几何解释

一、问题的提出一元二次方程ax~2+bx+c=0,其中a、b、c均为实数,其解为:x_(1,2)=(-b±(b~2-4ac)~(1/2))/2a 我们知道,在实数范围内,当b~2-4ac>0时,方程有两个不同的实数解;当b~2-4ac=0时,方程有两个相同的实数解(或有一个二重实数解)。其解的几何解释分别如图1中(a)、(b)所示。     

△=b~2-4ac的应用导学

△=b~2-4ac是一元二次方程ax~3 bx c=0的根的判别式,利用它可以不解方程,直接判别方程根的情况。实际上,在解题中,△=b~2-4ac的用途是相当广泛的。 1.△=b~2-4ac在“四个二次”问题中的应用 例1 已知方程(1)x~2-2kx k~2 k=O,(2)x~2-(4k 1)x 4k~2 k=0,(3)4x~2-(12k 4)x 9k~2 8k 12=0中至少有一个方程有实根,求k的取值范围。 分析 结论中“至少有一个方程有实根”的含义为:可能有一个方程有实根;可能有两个方程有实根;可能有三个方程有实根。 从分析看出,此题要用△≥0来解决。但情况复杂,解题繁琐,难以直接证明。因此,     

浅谈辅助方程法

用适当方法构造与原问题有关的方程,利用方程的知识使原题获解,此为“辅助方程法”。一、解方程(组) 例1 解关于x的方程 x~4 6x~3-2(a-3)x~2 2(3a 4)x 2a a~2=0 解:化为a的方程: a~2-2(x~2-3x-1)a (x~4-6x~3 6x~2 8x)=0解得a=x~2-4x,a=x~2-2x-2。故得原方程的解x_(1,2)=2±4~(1/2) a,x_(3,4)=1±(3 a)~(1/2)(注;a<-3时,有虚根)     

对一习题的探讨

“要使方程 lg(kx)=2lg(x 1)只有一个实数解,求常数 k 的取值范围”.解:lg(kx)=lg(x 1)~2得 kx=(x 1)~2,整理得x~2 (2-k)x 1=0,要使方程只有一个实数解,即方程有两个相等的实根,只须判别式Δ=0.得Δ=(2-k)~2-4=k(k-4)=0,k_1=0 k_2=4,当 k=0时,不满足 kx>0,故舍去.     

2006年湖北卷第10题的解法探究及应用

题目:关于x的方程(x~2-1)~2-|x~2-1| k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根,其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3分析:从方程的整体来看,可通过参数替换,将其转换为二次方程的结构t2-|t| k=0(令t=x2-1),但其含有绝对值,若采用分类讨论来去绝对值,再由二次方程实根分布的知识来处理,势必很烦琐,倘若考虑方程实根的几何意义,采取数形结合,便可迅速获解.图1解:令t=x2-1(t≥-1),则原方程可化为t2-|t|…     

错在哪里?

题:a是什么实数时,(x)/(x-2)+(x-2)/(x)+(2x+a)/(x(x-2))=0只有一个实数根,并求出这个实根。解原方程可变为(2x~2-2x+4+a)/(x(x-2))=0要使原方程只有一个实根,只要使方程2x~2-2x+4+a=0的判别式△=4-8(4+a)=0,解得 a=-7/2把a=-7/2代入方程2x~2-2x+4+a=0解得 x=1/2故当a=-7/2时,原方程只有一个实根x=1/2。解答错了!错在哪里这里混淆了只有一个根与重根的概念,其实由△=4-8(4+a)=0得a=-7/2,从而     

应用判别式 谨防赘与误

读罢贵刊1994.9期《判别式在初中数学里的应用》一文,深有感触。的确,判别式在数学解题中起着十分重要的作用。但用判别式解题很容易出现错误。本文就原文的几个例子对判别式解题的常见错误予以剖析,以期引起注意。 例1 若方程(a 3)x~2-4x a=0有实数解,试确定实数a的取值范围。(原文例7)     

献给数学教师的一组填空题

本文献给读者的如下题目,各题具有一些特点和功能,供读者们根据需要而选用。 1.将1/(a~(1/2)+b~(1/2))分母有理化得__(写出过程)。 2.若实数a、b满足关系式a~2-3a+2=0和b~2-3b+2=0。则a+b=__。 3.解关于x的方程(b-c)x~2+(c-a)x+a-b=0得x=__。 4.解关于x的不等式kx~2-3(k+1)x+9>0得__。 5.若不等式(1-m)x~2+(m-1)x+1>0的解集是全体实数,则m的取值范围是__。     

一元二次方程错解分析

许多同学在解一元二次方程时,由于概念不清、理解不透,在解题中出现这样或那样的错误.本文列举了容易出错的几种情况,以期引起同学们的重视. 例1 a为何值时,方程a~2x~2+(2a-1)x+1=0有两个实数根?错解∵方程有两个实数根,     

巧解一道讨论题

在学习“一元二次方程”中,老师出了这样一道讨论题:已知关于x的一元二次方程:①x~2-2mx+m~2-m=0;②x~2-(4m+1)x+4m~2+m=0;③(m~2+1)x~2-(2m+1)x+1=0中至少有一个方程有实数根。试求m的取值范围。     

对立统一规律在解题中的应用

矛盾的双方互相联系、互相依赖、互相排斥，并在一定条件下向自己的对方转化．用此规律统帅解题思想和解题方法，不仅能巧辟思路，而且有利于创新意识的发展．一、正与反若问题的正面情况复杂，入手较难，或出现一些逻辑困境，可从问题的反面去思考和探索，利用正、反面的相互转化求解．例１如果一元二次方程x２＋４x＋４a＋３＝０、x２＋x＋a２＝０、x２＋２x＋a＝０中至少有一个实数根，试求实数a的取值范围．分析与解：正面求解需分类讨论，运算量大，解法较繁．可考虑反面情况．至少有一个实数根的反面为三个方程均无实数根，则应有Δ１…