以两条相交直线为背景的点的轨迹问题

在平面上,到两定点的距离之比为常数λ（λ〉0）的点的轨迹是直线或圆;到两定点距离之和或之差的绝对值为常数2a（其中a〉0,2a大于两定点距离或2α小于两定点距离）的点的轨迹是椭圆或双曲线．那么我们自然联想,以两条相交定直线为背景的点的轨迹又是什么呢？     

关于抛物线定义的思考

在中学数学教材中,抛物线是这样定义的:“平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫抛物线.”为了使抛物线与椭圆和双曲线的定义方法相一致(用距离的“和”或“差”来定义),我们可以将抛物线的定义改述如下:平面内与一个定点F和一条定直线L的距离之差等于零的点的轨迹叫抛物线.把改述后的抛物线定义,再与椭圆和双曲线的定义比较,我们自然会想到下面的问题:平面内与一个定点F和一条定直线1的距离之差等于常数a(-P≤a≤P,P是定点F到定直线1的距离,下同)的点的轨迹是什么图形呢?关于这一点,我们有下面两个命题.命题 1 平面内与一个定点F和一条定直线1的距离之差等于常数a(0≤a≤P)的点的轨迹是抛物线.证明 建立如图(一)所示的直角座标系.设定点F和动点M的座标分别为     

到定点与定直线的距离和为定值的点的轨迹

读了《到定点与定直线的距离差为定值的点的轨迹》(《中学数学月刊》1999年第9期)一后颇受启发，由此而联想到，平面内动点到定点与定直线的距离和为定值m的点的轨迹是什么曲线?     

对高考数学好题的探讨

正一、引例例1(龙岩市一级达标校联盟2013年高三联考数学卷理科第8题)在同一平面内,下列说法:①若动点P到两个定点A、B的距离之和是定值,则点P的轨迹是椭圆;②若动点P到两个定点A、B的距离之差的绝对值是定值,则点P的轨迹是双曲线;③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离,则点P的轨迹是抛物线;④若动点P到两个定点A、B的距离之比为定     

阿波罗尼斯圆的探究及其应用

<正>一、问题背景我们知道,到两定点的距离之和为定值(定值大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆,到两定点的距离之差为定值(定值大于零且小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线.那么,到两定点的距离之商为定值(定值大于零且不等于1)的点的轨迹是什么呢?这就是由公元前3世纪下半叶古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius of Perga,公元前262-公元前190)提出的几何作图问题,载于他的     

到两直线距离的和与差为定值的点的轨迹

笔者最近让学习学科教学法I的大三学生做文[1]所提出的轨迹问题,即求到两相交直线距离的和与差为定值的点的轨迹,学生的解答令人不甚满意,遂有撰文讨论该问题的想法.1.到两相交直线距离和为定值的点的轨迹第一步：建立平面直角坐标系.以两相交直线的交点为原点,它们的一条角平分线为x轴建立平面直角坐标系（图1）.第二步：列方程.设两直线的方程分别为l_1：kx-y=0（不妨设k〉0）和l_2：kx＋y=0.又设定值和为a,     

到两定点的距离之比为定值的点的轨迹

1．问题提出 我们知道，到定点和定直线的距离之比为定值的点的轨迹为圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线），并具有丰富的几何性质和物理光学性质．那么，到两定点F1、F2的距离之比为定值λ（λ〉0）的点的轨迹是什么？又具有什么性质呢？     

从圆锥曲线的定义想开去

圆的定义为:平面内与定点距离等于定长的动点轨迹。 这告诉我们,平面内动点相对于定点,(或定直线)的运动可形成某些特殊曲线,下面根据发散思维探索它们能产生哪些曲线。 1.平面内与两定点F_1、F_2距离相等的动点轨迹是线段F_1、F_2的垂直平分线。证略。 2.平面内到两定点F_1、F_2距离之和为常数（大于|F_1、F_2|）的动点轨迹是椭圆。 3.平面内到两定点F_1、F_2距离之差的绝对值为常数(小于|F_1F_2|)的动点轨迹是双曲线。 4.平面内到两定点F_1、F_2距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点轨迹是圆。 略解 以F_1、F_2连线为x轴,线段F_1F_2的垂直平分线为y轴,设F_1(-c,0）,F_2(c,0)则由题意有     

关于圆内接闭折线的一个轨迹命题

文献[1]中有下面的一个轨迹命题:命题平面内到已知闭折线的各顶点的距离的平方和为定值的点的轨迹,是以这闭折线的重心为圆心的一个圆.反过来,如果一条闭折线的各顶点是定圆上的动点,且各顶点到平面内一定点的距离的平方和为定值,那么这条动闭折线的重心的轨迹是什么?本文将证明,这条动闭折线的重心的轨迹是一条线段,即有定理1 若闭折线的各顶点均为定圆O     

抛物线定义的应用与理解

我在指导学生学习了抛物线的定义及标准方程以后,提出如下问题:既然三种圆锥曲线可以统一定义为"平面内与一个定点F和一条定直线L的距离之比等于常数e的点的轨迹",并且课本分别就这个定义推导出了椭圆、双曲线的标准方程,但是否可以笼统地说"抛物线是到一定点与一条定直线距离相等的点的轨迹"呢?请看下面分析。     

立体几何中点的轨迹问题探究

<正>1轨迹为点例1已知平面α∥β,直线l?α,点P∈l,平面α,β之间的距离为8,则在β内到P点的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是().A.一个圆B.两条直线C.两个点D.四个点解析设Q为β内一动点,点P在β内的射影为O,过O,l的平面与β的交线为l′,所以PQ=10,所以     

以空间图形为背景的轨迹问题例析

例1已知平面α∥平面β,直线l奂α,点Pl,平面α、β间的距离为8,则在平面β内到点P的距离为10,且到直线l的距离为9的点的轨迹是()A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点解析如图所示,设点P在平面β内的射影是O,则OP是平面α、β的公垂线段,OP=8.在平面β内到点P的距离等于10的点到点O的距离等于6,故点的集合是以O为圆心,以6为半径的圆.在平面β内到直线l的距离等于9的点的集合是两条平行直线m、n,它们到点O的距离都等于92-82姨=17姨<6,所以直线m、n与这个圆均相交,共有四个交点.因此,所求点的轨迹是四个点.选C.例2已知正方体ABCD—…     

关于解析几何中一类题目的解法探讨——一种求到二平行直线距离相等的点的轨迹的简便方法

在中等师范学校《几何》第二册第四章第三单元“两条直线的位置关系”这部分教学内容中,涉及到这样一类问题:即求平面内到二已知直线距离相等的点的轨迹,其中有一种特殊情况,即:求到二已知平行直线距离相等的点的轨迹.例:求到二已知直线t_1:A_1x B_1y c_1=0,(A_1、B_1、不同时为零)、t_2:A_2x B_2y c_2=0(A_2、B_2不同时为零)距离相等的点的轨迹方程.我们知道,如果二已知直线相交,则我们所要求的点的轨迹是此二已知直线相交所构成的两组对顶角的角平分线,所以,一般地求解方法是直接由题意出发:①设所求点的轨迹上任意点的坐标(x,y)     

巧用圆锥曲线定义解高考试题

椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线,它们的第一定义分别为：椭圆是平面内与两个定点ER的距离之和等于常数（大于线段E疋的长度）的点的轨迹;双曲线是平面内与两个定点F1F2的距离之差的绝对值等于常数（小于线段E疋的长度）的点的轨迹;抛物线是平面内与一定点F和一定直线l（点F不在直线l上）的距离相等的点的轨迹,第一定义展示了三类曲线的各自独特的性质及几何特征．由于高中新课程标准和考纲都淡化圆锥曲线的第二定义,     

从e^2m＋a^2=c^2看双曲线的三种定义

我们现在很清楚双曲线有两种定义，一是“平面上与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a（2a〈｜F1F2｜）的点的轨迹”；另一种是“在平面上到定点和到定直线距离之比为e（e〉1）的点的轨迹”．这两种定义通常把前者称为第一定义，后者称为第二定义．这两种定义分别联系了双曲线的不同的几何特征量．     

透析双曲线中的隐形条件

双曲线常用定义有两种：第一定义(新教材P104)：把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．第二定义：平面内一动点与一定点的距离和它到定直线的距离的比是常数e(e&;gt;1)的轨迹叫做双曲线．     

思考课本例题．挖掘曲线共性

平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线,那么,当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹是什么曲线呢？下面不妨把课本上的两个例题放在一起作一探究,看有什么新的发现．     

《抛物线定义及其标准方程》课堂实录与评析

1 发现问题 师:通过前面的学习,我们知道椭圆和双曲线都是满足平面上到定点距离与到定直线距离的比为定值的动点的轨迹.这个定值我们称之为离心率.不同的是当0＜e＜1时,轨迹为椭圆;当e＞1时,轨迹为双曲线,并且求出了它们的标准方程.(屏幕显示表格如下)     

到三角形三顶点距离之和为定值的点存在的条件及轨迹

<正>我们知道,在平面内,到两个定点F₁、F₂距离的和是定值的动点轨迹是椭圆,其中,该定值大于F₁F₂.若将该问题进一步拓展,提出以下问题:在△ABC所在平面内,到点A、B、C距离之和是定值的动点轨迹是什么曲线?在知网文献的“全文”栏中输入检索条件“到三个定点的距离的和”,可以得到13篇文章,时间跨度为2001—2020年度.其中有1篇文章研究的是数轴上“到三个定点距离之和为定值的问题”^[1],     

例谈点到平面的距离的求法

空间距离问题包括点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其他几种距离一般化归为求这三种距离.求点到平面的距离是重点,常用的方法有定义法,向量法和等体积法,下面举例说明.