函数中两个容易混淆的问题

误解1:函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象的交点在直线y=x上. 教材上例题涉及的函数及我们接触的函数的图象与其反函数的图象的交点大多 直线y=x上,所以不少同学就认为函数若与其反函数不是同一函数,且函数与其反函 的图象有交点,则交点必在直线y=x上,但这种观点是错误的.现举两例,希望同学们 明确这个问题._ 如函数y=7-3x,其图象过(2,1)点,其反函数y= 7-x2 3(x≥0)的图象也过(2,1)点,故函数y=7-3x与其 反函数图象的一个交点为(2,1)点.又由函数与其反函数的 图象关于直线y=x对称,故点(2,1)关于直线y=x的对称 点(1,2)也是函数y=7-3…     

方程f(x)=f~(-1)(x)与f(x)=x同解吗?

有些资料上,在处理方程f(x)=f_(-1)时,往往转化成解方程f(x)=x,这种转化的根据是:“两个函数若互为反函数,则它们的交点在直线y=x上”,事实上,这个结论是错误的,因为互为反函数的函数图象关于直线y=x对称,若y=f(x)与y=f_(-1)(x)的图象有交点M(a,b)(其中a≠b),则M’(b,a)是它们的另一交点.一般地,有如下性质:     

互为反函数图象交点的性质及应用

互为反函数图象的性质指出：互为反函数的两图象关于直线y=z对称．但据此认为：互为反函数的两图象交点在直线y=z上，那就错了．例如函数f(x)=1/x的反函数就是他自身，它们有无数个交点，除了(1，1)、     

f(x)和f~(-1)图象交点的一个定理(高一、高二、高三)

大家知道,函数f(x)和它的反函数f-1(x)的图象关于直线y=x对称;两个图象不一定有交点,有交点时,交点也未必都在直线y=x上.但有下面的     

函数与反函数图象交点的探究

由函数与反函数图象性质可知,其交点问题遵循如下规律: 定理一y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. 定理二若y=f(x)在其定义域上为连续函数,则y=f(x)与y=f-1(x)的图象存在交点的充要条件是y=f(x)的图象与直线y=x有交点. 证明:充分性)设y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点(a,a).     

用反函数的性质解方程

反函数有这样一条性质: 若单调递增函数与其反函数图象有交点, 则交点必在直线y=x上. 证明设y=f(x)在其定义域上是增函     

关于正、反函数图象的交点

在一篇文章中见到这样的看法:“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称,则它们的交点(如果相交)在直线y=x上。因此求交点,即解方程组等价于解方程f(x)=f~(-1)(x),又等价于解方程f(x)=x(或f~(-1)(x)=x)。”用以下结论解题笔者认为,这种看法不妥,还应商榷。     

论原函数与其反函数图像的公共点

我们知道,单调函数都存在反函数,且反函数与原函数具有相同的增减性,互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称,但是它们的图像不一定有公共点,如果有公共点,那么公共点是否一定在直线y=x上呢?如果曲线与其轴对称曲线有公共点,那么公共点是否一定在对称轴上? 定理1 函数y=f(x)与它的反函数y=f~(-1)(x)的图像的交点,或者在直线y=x上,或者关于直线y=x对称地成对出现. 证明:设点P(a,b)是函数y=f(x)与y=f~(-1)(x)的图像的交点. (1)若a=b,则点P(a,b)在直线y=x     

原函数的图象与其反函数的图象的交点

在学习反函数这一节时,教材（人教版第一册上）用这样一句话概括原函数的图象与反函数的图象的关系：一般的,函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称．对于这句话很多同学有着错误的理解,而且在一些参考资料中也时常见到：如果原函数的图象与其反函数的图象有交点,则交点必在直线y=x上．     

函数y=f(x+1)的反函数是y=f~(-1)(x+1)吗

如果函数y=f(x)有反函数y=f~(-1)(x),那么函数y=f(x+1)的反函数就是y=f~(-1)(x+1)吗? 例已知f(x)=2~x,函数y=g(x)的图象与函数y=f~(-1)(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(2)。     

一道试题的考察功能

题目:已知函数f(x)=acxx- 2b的图象关于直线y=x对称且过点p(2,4),奇函数y=g(x)的图象可由函数f(x)的图象向下平移同时向左平移一个单位得到.(1)求f(x)的解析式.(2)当x∈集合M时,f(x)的最大值为4,最小值为0,试确定集合M,并说明理由.这一道试题,具有强大的考察功效,其理由如下:(1)函数图象关于直线y=x对称,意味着函数与其反函数是同一函数,考察了函数与反函数的性质,求反函数考察了反函数的求法,根据恒等式确定a=2,考察了恒成立的知识.(2)根据函数图象过点p(2,4),得4=24c -b2①,考察了点在曲线上满足的条件,该条件同时有可能误导学生利用对称…     

函数的一个性质及应用

函数图象的性质给我们解题提供了很大的方便。函数图象的主要性质有 1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形。 2.偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。 3.互为反函数的图象关于直线y=x对称。 上面三个性质及应用在教材中均已介绍,这里不再叙述。下面主要讨论函数图象的另一性质及应用。 4.已知函数y=f(x)满足f(a x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 证明 设M(x′,y′)是函数y=f(x)图象上的任意一点,M关于直线x=a的对称点为M′(2a-     

2020年上海春考反函数压轴题引发的思考

反函数是上海高中教材中比较重要的一个知识点,也经常出现在上海高考的压轴题位置.本文对2020年上海春考数学试题第12题进行展开,分析y=f(x)与其反函数y=f^-1(x)的图象交点个数与交点位置问题,并在此基础上讨论高中阶段比较重要的两类函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与其反函数对数函数y=log ax的图象交点问题.     

走出反函数图象的认识误区

高一新教材在反函数这一小节提到两个问题:一是反函数的概念;二是互为反函数图象之间的关系．结论是函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称．在反函数的学习中实际上还牵涉到两个问题,一是反函数的存在性问题,从映射的定义知道,如果一个函数是从定义域到值域的一一映射, 就存在着反函数．因此得出一个重要的结论,任何一个单调递增(或递减)的函数都存在着单调(或递减)的反函数．另一个问题是单调性相同的互为反函数图象的交点一定在直线y=x上吗?     

函数及其反函数图象交点何时在直线y=x上

我们都知道如果函数存在反函数,那么函数和其反函数的图象关于直线y=x对称．此性质有学生产生了误解：认为函数和其反函数的图象如有交点,那么交点必定在直线y=x上．     

函数与其反函数的图象相交规律

人们用方程组求方程f(x)=f~(-1)(x)的解,f(x)与f~(-1)(x)的图象的交点,为什么有的无解、有的漏解呢?由于前者结果是后者交点的横坐标,所以这两类题的解都由f(x)与f~(-1)(x)的图象是否相交、交点在何处来确定。要回答上述疑问和有依有据地解好这两类问题,必须找到,f(x)与f~1(x)的图象相交的规律。笔者探索这规律时,发现连续函数有下面几个有趣的命题(命题中的函数连续)。[命题1] 斜率不为±1的一次函数与其反函数的图象有且仅有一个交点,这个交点在直线y=x上。     

反函数中几个常见误区

反函数是研究函数性质的重要手段,反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念、性质,有助于得到比较系统的函数知识,并为以后函数的深入学习奠定基础.在本人多年的教学过程中,发现学生对反函数的认识有以下三种常见错误,本文将它们进行剖析,以期达到析错防错之功效.误区一认为f?1(x+a)与f(x+a)(a≠0)是互为反函数.例1已知函数()231f xxx=?+,函数y=g(x)的图象与函数y=f?1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(5)的值.错解∵y=g(x)与y=f?1(x+1)关于直线y=x对称;∴g(x)与f?1(x+1)互为反函数,即()(1)2(1)325(1)1g x f xx xx x=+=++?+=+,∴g(5)=15/5…     

幂函数、指数函数、对数函数单元测试题

已知下列命题:①函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象若有公共点,则公共点必在直线y=x上;②若y=f(x)有反函数,则它一定是单调函数;③若函数y=f(x)存在反函数y=f~(-1)(x),则必有f[f~(-1)(x)]=f~(-1)[f(x)]=x成立;④f(x)与f~(-1)(x)有相同的单调性,其中不正确的个数有( )     

反函数概念释疑(高一)

由反函数定义与性质可得两个正确命题: 1.函数y=f(x)的定义域、值域分别是它的反函数y=f-1(x)的值域、定义域. 2.函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. 但对如下问题同学们总是有疑问:     

与反函数有关的图象平移(高一)

本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上.