巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

由一道习题得出一个重要结论

如图1,已知△ABC,P是边AB上的一点,连结CP,当△ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?图1分析:∵∠A=∠A∴当∠ACP=∠ABC时,△ACP∽△ABC·于是AACB=AACP=CPBC·注意比例式AACP=CPCB中的四条线段,其中AP与AC是△ACP的∠1与∠2的对边,PC与CB是△PBC的∠3与∠4的对边,而∠1=∠3,∠2 ∠     

帮你拨开证明中的“迷雾”

几何证明不象代数计算那样有程式可循,五花八门、精彩纷呈的证法使得有人爱不释手.而另一部分人则退避三舍,其实只要掌握正确的证明思路的探求方法,则不难拨开证明中的“迷雾”,使几何证明从此不再神秘.下面以相似三角形为例加以说明.例1如图1,△ABC∽△ADE,求证:DE∥BC图1证明∵△ABC∽△DEF(已知)———“∵”后面通常只能是已知、从图“看”出来的显然结论、已证.∴∠ADE=∠B(相似三角形的对应角相等)———这里的“∵、∴”组成了一个逻辑链.∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)———其条件是省略了的已证的“∠ADE=∠B”,它…     

人教版《几何》第二册 第五章综合测试题

＆ 一、填空题 1.已知△ABC中,AB=AC,它的一边长为5cm,另一边长为6cm,则△ABC的周长是__。 2.已知△ABC中,∠B和∠C的角平分线交于点O,若∠A=45°,则∠BOC=__。 3.在△ABC中、∠A=1 2∠B=1 3∠C,那么这个三角形是__三角形(填:锐角、直角、钝角)。 4.如图1所示,∠1=∠2,AC=DF,那么只需     

例谈二倍角问题的证法

在证明题中,常会出现二倍角问题,此类问题往往有一定难度,需要认真分析已知与结论之间的联系,添加适当的辅助线,从而化难为易.现举例说明. 一、作倍角的平分线例1 已知:如图1,在△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC.求证:△ABC是直角三角形. 证明:作∠ABC的平分线BD交AC于点D,取AB的中点E,连结DE. ∵∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1=2∠2,∴∠A=∠1=∠2.即△ABD为等腰三角形.∵E为AB边中点,∴DE⊥AB.∵BE=12AB=BC,∠1=∠2,BD=BD,∴△BDE≌△BDC.∴∠BCD=∠BED=90°.即△ABC为直角三角形.二、构造倍角的等角…     

三角形角分线定理及其应用

我们把三角形一个角的顶点与对边上一点的连线叫做三角形的角分线 .角分线有如下性质 :定理　三角形角分线分对边的比等于两邻边与其相应分角正弦积的比 .下面给出该定理的证明 .已知 :如图 1 ,D点在△ ABC的 BC边上 ,AD为∠ A的角分线 .求证 :BDDC=ABsin∠ BADACsin∠ CAD.图 1证明 :过 B、C向角分线AD所在直线作垂线 ,E、F为垂足 ,则 BE =BAsin∠ BAD,CF =ACsin∠ CAD.因为∠ BED =∠ CFD= Rt∠ ,∠ BDE =∠ CDF,所以△ BED∽△ CFD.所以 BDDC=BECF=sin∠ BADACsin∠ CAD.很明显 ,当角分线分成等角时 ,si…     

含角平分线的竞赛题解析

与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的…     

也谈“三角形相似的识别”

“探索三角形相似的条件”是《图形的相似》一章的重点,也是后续学习的基础.那么,如何才能学好这部分知识呢?本文给出了几点建议.一、正确理解三角形相似的条件相似三角形与全等三角形,其识别方法一脉相承、相互对应,所不同的是全等需对应边相等,而相似则要对应边成比例.例1判断△ABC与△DEF满足下列条件时是否相似?(1)∠A=∠D=50°,∠B=70°,∠E=60°;(2)∠A=∠E=40°,AB=2,BC=3,DE=4,DF=6;(3)AB=2,BC=4,AC=5,DE=2,EF=2·5,DF=1.析解(1)因为∠A=∠D=50°,∠B=∠F=70°,所以△ABC∽△DFE;(2)因为DAEB=DBFC=21,虽有∠A=…     

比例线段问题求解的基本思路

一、直接寻求相关相似三角形例1从直角三角形ABC的斜边AB的中点D引AB的垂线,分别与AC和BC的延长线交于E、F点,求证:CD2=DE·DF.分析:要证CD2=DE·DF,即证CDDE=DFCD,对照图1,易看出只要证C、D、E三点和C、D、F三点分别对应的三角形相似即可,即证△CDE∽△CDF。为此,还需证另一对角相等,易知∠A=∠F,而∠A=∠ACD,所以,∠F=∠ECD,得证。二、先寻找相等线段,替换求证式中的一条或两条线段,再寻求相关相似三角形例2CD是△ABC的∠C的平分线,它的垂直平分线和AB的延长线相交于E点,求证:DE是AE和BE的比例中项。分析:D…     

两个有趣的几何性质

定理 1:若△DEF是△ABC的垂足三角形,则△DEF的三边长分别为acosA、bcosB、CcosC.(如图1) 证明:因为BE⊥AC,CF⊥AB,所以∠BEC=∠CFB=90°,所以B、C、E、F四点共圆.所以∠AEF=∠ABC,又因为∠EAF=∠BAC.所以B△AEF∽△ABC,所以EF/BC=AE/AB,在Rt△ABE中,cosA=AE/AB,所以EF/BC=cosA,所以,EF=acosA,同理可得DF=bcosB,DE=ccosC     

一个相似模型的应用

1一个相似模型图1模型:如图1,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点.以D为项点作∠EDF,使∠EDF=∠B,并且∠EDF的一边与AB交于E点,另一边与AC(或延长线)交于F点.则有△BDE∽△CFD.证明因为AB=AC,所以∠B=∠C.又因为∠B=∠EDF,所以∠BED ∠BDE=∠BDE ∠FDC,所以∠BED=∠FDC.所以△BDE∽△CF     

三角形的一个边比定理及其应用

相似三角形对应边成比例,这是众所周知的事实。本文将给出一种不相似三角形的对应边比例关系,以及这种三角形在平几证题中的一些应用。定理一双角对应相等,另一双角互补的两个三角形,其第三双角的夹边对应成比例。如图1,∠B=∠B',∠C ∠C'=180°,下面证明:(AB)/(A'B')=(AC)/(A'C')。不妨假设∠A<∠A'(图1),这时可在B'C'上取D,使∠B'A'D=∠BAC,又已知∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'D,     

垂足三角形的性质及证明

锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质 ,本文对这两个性质加以证明 .性质 1　锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心 .已知 :如图 1,锐角△ABC中 ,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高 ,O为垂心 .求证 :点O为垂足△DEF的内心 .证明 :由已知条件可得D、C、E、O四点共圆 ,所以∠ 2 =∠ 4 ;同理∠ 1=∠ 3,又∠ 3和∠ 4都与∠ABC互余 ,所以∠ 3=∠ 4 ;所以∠ 1=∠ 2 ,EB平分∠FED ;同理可得FC、DA分别平分∠EFD与∠FDE .所以点O为△DEF的内心 .性质 1得证 .图 1　　　　　　　　图 2性质 2　锐角三角形的所有内接三角形中 ,…     

每期一题

题:等腰Rt△ABC中。在直角边AB上取一点M,使AM=2/3AB,在另一直角边上取一点N,使AN=1/3AC。求证:∠AMN=∠CBN。 1 利用相似三角形证一如图1,作NP⊥BC于P。因∠C=45°,∴ NP=PC=1/2(2)~(1/2)NC=1/3~2(1/2)AC=1/3BC, BN=2/3BC,∴NP/BP=1/2=AN/AM,又∠A=∠BPN=90°,∴△AMN∽△PBN,∴∠AMN=∠CBN。     

一道平面几何题的几种证法

在数学习题教学过程中,要引导学生对一些题目用不同的思想方法,从不同的思维角度去寻找多种解法,不仅有助于培养学生灵活运用知识的能力,而且也有助于对他们发散思维的训练和创新能力的培养.例:已知AD是△ABC的角平分线,求证:BDDC=ABAC.证法一:如图1,过D作DE∥AB,交AC于E,则BDDC=AEEC.由∠1=∠2,∠1=∠3,得∠2=∠3,∴AE=DE,故AEEC=DEEC,又DEEC=ABAC,∴BDDC=ABAC.证法二:如图2,过D作DE∥AC,交AB于E,则BDDC=BEAE.由∠1=∠2,∠2=∠3,得∠1=∠3,∴DE=AE,故BEAE=BEDE,又BEDE=ABAC,∴BDDC=ABAC.证法三:如图3,过C点作CE∥AD,交BA的延长线于E,则BDDC=ABAE.由∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=∠E,得∠3=∠E,故AE=AC,∴BDDC=ABAC.证法四:如图4,过B点作BE∥AD,交CA的延长线于E,则BDDC=AEAC.由∠1=∠2,∠1=∠3,∠2=∠E,得∠3=∠E,故AE=AB,∴BDDC=ABAC.证法五:如图5,过B点作BE∥AC,交AD的延长线于E,则BDDC=BEAC...     

关注思维发展 彰显素养导向

<正>1试题呈现(深圳中考第15题)如图1,在△ABC中,AB=AC,tan∠B=3/4,点D为BC上一动点,联结AD,将△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于点G,GE△AGE/S_△ADG=______。2解法探究由题意知△ABD沿AD翻折得到△ADE,所以∠ABC=∠AED,因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ACB=∠AED。又因为∠AGE=∠DGC,所以△AGE∽△DGC。在下列解法中△AGE∽△DGC的结论不重复证明。     

由一个基本图形想到的

我们学习了《相似形》一章后,知道了一个结论：两个角分别对应相等的两个三角形相似．即：如图1,在△ABC和△DEF中,若∠B=∠E,∠C=∠F,则△ABC—△DEF．     

初二几何期末测试题

一、填空题1.已知 a、b、c是△ ABC的三条边 ,a=7,b =10 ,那么 c的取值是。2 .如下图 ,已知∠ 1=2 0°,∠ 2 =2 5°,∠ A =35°,则∠ BDC的度数为。3.已知 :如上图 ,AB=AC,EB=EC,AE的延长线交 BC于 D,那么 ,图中的全等三角形共有对。4 .已知等腰三角形的周长为 8,边长为整数 ,则腰长是。5 .如图 ,△ ABC中 ,∠ B=∠ C,FD⊥ BC,DE⊥AB,∠ AFD=15 8°,则∠ EDF等于度。6 .△ ABC中 ,若∠ A+∠ B=∠ C,则△ ABC是三角形。7.我国传统木结构房屋 ,窗子常用各种图案装饰 ,如图是一种常见的图案 ,这个图案有条对称轴。二、选择…     

几何综合题

总复习阶段,应有针对性地、适量地研究一些不同类型的几何综合题的解法.几何综合题大多是圆与平行线、三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.近几年来,全国各地中考题中,一题多问、开放性题目是几何综合题常见类型.图1例1如图1,已知正△ABC内接于⊙O,P是劣弧BC上一点,PA交BC于点E.求证:(1)PA=PB+PC;(2)P1B+P1C=P1E.证明:(1)在AP上取一点D,使AD=PC,联结BD.易知△ABD≌△CBP.则BD=PB.又∠3=∠4=60°,所以△PBD是等边三角形.故PD=PB,即PA=PB+PC.(2)证法1:因为∠3=∠5=60°,∠1=∠2,所以,△PAB∽…     

添加条件证全等新题型

为扩大初中学生的知识面 ,以拓宽视野 ,提高综合思维能力 ,为适应高中学习奠定坚实的基础 ,本文现以 2 0 0 0年部分中考题为例 ,介绍一类“添加条件 ,证明两个三角形全等”的新题型。一、添加一个已知条件例 1.已知 :如图 1,AC =DC,∠ 1=∠ 2 ,请添加一个已知条件 :使△ ABC≌△ DEC。 (昆明市 )解 :添加∠ A=∠ D即可 ,这时由∠ 1=∠ 2可得∠ ACB=∠ DCE,再由 AC=DC,可证得△ ABC≌△ DEC(ASA)。注 :还可添∠ B =∠ DEC,或 BC =EC,通过AAS或 SAS证得△ ABC≌△ DEC。二、添加多个已知条件例 2 .如图 2 ,AB=AC,若使△…