关于2~(1/2)是无理数的证明

关于为无理数的证明,课本上虽然没有涉及,但由于其证明中所用到的知识我们都熟悉或易于理解,因此这一问题的提出我们是可以或者应该接受的．不过需特别提醒同学们的是,由于直接证明难以着手,因此在证明过程中采用了反证法．反证法是间接证法的一种,应用反证法证题的基本思路是先假设命题不成立,然后从假设出发,经过严格的推理论证,得出与公理、定理或已知相矛盾的结果,进而说明假设不成立,从而肯定原命题成立．另外,证明中还用到了整数的奇偶性．以下我们给出为无理数的证明．证明（用反证法）假设不是无理数,那么是有理数,于…     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

(n~2±1)~(1/2)为无理数的几何证明

<正>在学习无理数的过程中,同学们都学过2^(1/2)为无理数的反证法,即假设2(1/2)为无理数的反证法,即假设2^(1/2)是有理数s/r(r,s是互质的正整数),然后可以通过取平方推出矛盾。下面将考虑证明形如(n(1/2)是有理数s/r(r,s是互质的正整数),然后可以通过取平方推出矛盾。下面将考虑证明形如(n²±1)2±1)^(1/2)的实数(这里n∈N,n≥2,而N是所有正整数的集合)都是无理数。对于每一个具体的n,本质上我们也可以用上面处理2(1/2)的实数(这里n∈N,n≥2,而N是所有正整数的集合)都是无理数。对于每一个具体的n,本质上我们也可以用上面处理2^(1/2)的办法     

比较11~(1/2)-3~(1/2)与10~(1/2)-2~(1/2)大小的方法

1 .公式法因为 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,又因为 11+3 >10 +2 >0 ,所以11-3 <10 -2 .2 .倒数法由 ( 11+3 ) ( 11-3 ) =8,　 ( 10 +2 ) ( 10 -2 ) =8,有　 111-3 =11+38,110 -2 =10 +28.由于 11+3 >10 +2 ,所以111-3 >110 -2 .故 11-3 <10 -2 .3 .求差法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11+2 ) -( 10 +3 ) .由于 ( 11+2 ) 2 =13 +2 2 2 <　　 ( 10 +3 ) 2 =13 +2 3 0 ,故 ( 11+2 ) -( 10 +3 ) <0 .所以 ,11-3 <10 -2 .4.找规律法( 11-3 ) -( 10 -2 )=( 11-10 ) -( 3 -2 ) .由于 1-0 >2 -1>3 -2 >4-3 >… ,有　 3 -2 >11-10 .…     

2~(1/2)

“咦,这是什么意思?”精美的生日贺卡上除了一个大大的“2√”外,什么也没有。这王尔宁在搞什么鬼呀?看到这个,美佳心里不禁一颤。“该不会有什么事吧?2√≈1.414,是自己在1月4日做了什么事被开头突兀,起笔不凡,抛出悬念,激起读者的阅读兴趣。她发现了?不对,自己没做过什么亏心事呀!还是王尔宁在1月4日这天对自己实施什么报复行动?可自己没得罪过她呀!唉……”“难道是在上周的数学测验时我与兰琳对答案被她发现了?糟了,这下好学生的形象可给毁了。她是在威胁我还是在警告我?她不会告诉老师吧?”美佳暗暗祈祷:“王尔宁呀王尔宁,你可千万别告…     

(a~2)~(1/2)与(a~(1/2))~2

正确认识与的含义,深刻理解与的相同点与不同点,是我们进行二次根式化简与计算的基础．一、相同点与都表示一个非负数．因为表示a2这个数的算术平方根,所以它是一个非负数,而是一个平方数,所以它也是一个非负数．二、不同点1．运算顺序不同．rp是光算。的平方,后进行开方,而（／z）’是先进行开平方,后进行平方．2．字母a的取值范围不同．由于运算顺序不同,所以。的取值范围也不同,As是先平方后开方,所以a可以取一切实数;由于负数不能开平方,故ffe）‘中apeo．3．化简后的形式不同．In是表示求／2这个数的算术平方根,故As20…     

n~(1/2)是有理数还是无理数

马继英[1]用初等方法证明:如果n不是完全平方数,则是无理数.[1]的证法较繁,且不易推广到的讨论,我们给出一个适用于一般情况的简单的初等证明n不是完全平方数,则是无理数证:n不是完全平方数,则n=P_1~(a1)P_2~(a2)…P_t~(at),且其中必有某一α,为奇数,不妨设     

a_2~(1/2)+a_3~(1/2)>a_1~(1/2)+a_4~(1/2)的几何解释

本刊1984年3期中《(a2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)>(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法》一文指出:当a≥0m>0,n≥0时,有(a+m)~(1/2)+(a+m+n)~(1/2)>a~(1/2)+(a+2m+n)~(1/2)成立。并给出了代数证明。本文对以上结论给出它的一个几何解释。由于((a+m)~(1/2))~2-(a~(1/2))~2=m-(m~(1/2))~2,     

(a_2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)大于(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法

一、问题的提出 高中数学课本第三册第二章“不等式的性质和证明”中,出现了下列一类题目,仔细观察和研究这些题目,发现了很有趣的结果。如: 60页例4,求证了丁+训幸<了了++侧万(即侧3十侧万>了丁+了下);60页练习第4题,证明亿万+亿下>2了万十了了(即侧在+了下>了了十侧百);65页习题三第4题,证明:(l)了百一了压万I<了舀死一亿舀二5(a》3)(即侧不而+了云二i>侧舀万万十了万); (或四个正数)a,、a:、a3、a‘的算术平方根中,哪两个之和大于其余两个之和?当然,亿面+亿石>训面+亿云)是显.然的,训砚+斌石>记石+侧石也是无疑‘钓。那末,关于训可+斌面…     

对习题5~(1/2)5~(1/2)5~(1/2)……?的引伸

在解答习题,特别是在教学过程中,若能仔细审题,分析问题的条件和特点,深入挖掘题目的内涵,将题目进行“形变”之后再来看其结论如何,即对题目深入研究后作切实可行的引伸,则不仅可使学生已学知识得到综合运用,从而培养他们善于对问题进行观察、分析,提高判断、归纳、推理的逻辑思维能力,而且还可以使学生触类旁通、达到举一反三的目的,收到事半功倍之效。     

浅析(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)

二次根式中两个重要公式．不少同学对这两个公式常混为一谈，因而在解题中时常出现这样或那样的错误．其实这两个公式既有联系又有区别．一、两式中字母a的取值范围不同两式中有两个不同的二次根式人和M，因为它们都是算术平方根，所以被开方数都应该是一件负数．即中a≥0，中≥0．由于a2一定是非负数，所以中a可取一切实数．例如：无意义，而则有意足．又如中，只有当x≥3时才有意义，而根式中，x无论取什么数都成立．二、两式的左边表示的意义不同表示算术平方根后再平方，而In表示先平方再算水平方根，因此它们的运算顺序不同．例如：（…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)辨析

∠QED，故QD＝QE，故AQ＋QB＝AQ＋QE＋BE＝AQ＋BP＋QD＝AD＋BP＝AB＋BP，即BQ＋AQ＝AB＋BP．思考四：引平行线证法９：过P引PD∥BQ交AB的延长线于D．（以下同证法１）《二次根式》一章内容中有两个重要等式：（１）（a√）２＝a（a≥０）；（２）a２√＝｜a｜＝a（a≥０），－a（a＜０） 许多同学由于对（a√）２与a２√认识不清，而出现解题错误．下面我们来讨论（a√）２与a２√的区别、联系，以及应用上述两个等式时需要注意的问题．一、区别１．数学含义不同．（a√）２表示a的算术平方根的平方，是幂的形式；而a…     

浅析(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)

（ａ≥０）和＝｜ａ｜＝是二次根式中的两个重要公式．不少同学常把这两个公式混为一谈，因而在解题中时常出现这样或那样的错误．其实这两个公式既有联系又有区别．一、两式中字母ａ的取值范围不同两式中有两个不同的二次根式和，因为它们都表示算术平方根，所以被开方数都应该是非负数，即中ａ≥０，中ａ≥０．由于ａ２一定是非负数，所以中ａ可取一切实数．例如：（）２无意义，而则有意义．又如（）２．只有当ｘ≥３时才有意义，而根式中，Ｘ无论取什么数都成立．二、两式的左边表示的意义不同（／二）。表示。的算术平方根的平方，而Ｉ…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

１．字母ａ的取值范围不同 中 ，即ａ是非负数。而 中ａ可取一切实数。例如：等式 成立的前提条件是 ，到，即 。而等式 ，不论ｘ　或 都成立，并且根据绝对值的定义有： ２．运算顺序不同 是先求ａ的算术平方根，然后再求算术平方根的平方。而 是先求ａ的平方，再求ａ２的算术平方根。例： ３．计算结果都是非负数，但又有区别 是二次幂，其结果直挂得到ａ，即“一个非负数算术平方根的平方，其结果是这个非负数本身”。 是算术平方根，其结果因ａ＞０与巴＜０而异，即“任何一个实戮的平方的算术平方根，其结果是卜一Ｈ负数。若这个数是正…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的不同(初二)

同学们知道:这是根式的两个基本性质,很重要.本文分析它们的不同,以引起同学们的注意. 1.a的取值不同(1)中必须a≥0,(2)中a可取一切实数. 2.运算顺序不同(1)是先求a的算术平方根,然后求算术平方根的平方;(a~2)~(1/2)是先求a的平方,再求a2的算术平方根.     

2~(1/2)的故事

编辑部每月收到大量来稿,由于版面所限,每期只能刊发30余篇.为了扩大杂志的信息量,同时也为了鼓励广大读者的创作热情,我们从2007年第1～2合期开始,对部分不便全文刊登的文章,筛选、摘录其中有新意的观点和内容局部展示,希望对读者的教学教研有所启迪,有所帮助.同时,也真诚欢迎大家为此栏目撰写短小精悍的文章(千字以内).     

2~(1/2)的历程

2~(1/2)的存在与不可公度量的发现是数学史上的一件大事.2~(1/2)无理性的证明引起了许多数学家的兴趣并给出 了多种证明方法.通过对2~(1/2)的有理近似值的探讨,发现了2~(1/2)的许多其他表示形式.     

浅谈(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

1 .相同点( 1 )它们都是二次根式 ;( 2 )它们都是非负数 ;( 3)当a≥ 0时 ,(a) 2 =a2 =a .2 .不同点( 1 )写法不同 :(a) 2 有括号 ,a2 没有括号 ;( 2 )读法不同 :(a) 2 读作a的算术平方根的平方 ,a2 读作a的平方的算术平方根 ;( 3)意义不同 :(a) 2 表示非负数a的算术平方根的平方 ;a2 表示实数a的平方的算术平方根 ;( 4 )取值不同 :(a) 2 中的a为非负数 ,a2 中的a为一切实数 ;( 5)运算顺序不同 :(a) 2 是先求a的算术平方根 ,再求它算术平方根的平方 ;a2是先求a的平方 ,再求平方后的算术根 ;( 6 )计算结果不同 :(a) 2 =a ,a2 =|a| =a(a≥ 0 ) …     

(2+(2+((2+…)~(1/2)))~(1/2))~(1/2)值的三种求法

题:求(2+(2+((2+…)~(1/2)))~(1/2))~(1/2)的值.此题常见于高中数学复习资料和趣味数学题集中,其解法具有一定的技巧性,但有的题解在并未进行证明的情况下,贸然令原式为l,得(2+l)~(1/2)=l求得l=2.这是不     

~(1/2)的故事

我们知道，如果一个正数a，它的平方等于２，则称a为２的算术平方根，记作２√．一个正方形的对角线长等于２，那么它的面积也等于２，其边长就该是２√（图１）．２√是人类最早发现的无理数之一．早在公元前５００年左右，人们就能证明２是无理数了．我们学过的数被分为两类：有理数和无理数．有理数包括整、有限小数和无限循环小数，如２，１２．３５，７２．６３２６３２６３２…，１０６．４４４４４…，等等．在数学上可以证明，无论是整数、有限小数是无限循环小数都可以与一个分数相等（分母允许取１），即有数都可以表示成nm的形式…