例析用向量法求空间距离

利用向量法求解高考数学试题是近几年高考立体几何命题的一大趋势,已引起广大师生的关注．有些高考题,若能利用向量法求解更显思路清晰、过程简捷．而对于立体几何中的距离问题,应用向量往往可以轻松地找到解决问题的突破口,简化求解过程,方便易行,这也是学生参加高考时必须掌握的解题方法之一．所以在新教材中不断地提倡在立体几何中使用向量方法．下面就通过例题来讨论用向量法解决立体几何中求点到平面的距离、异面直线间的距离、直线到平面的距离、平行平面问的距离等问题．     

用空间向量法求距离问题

立体几何中的求距离，是高考中的命题热点．空间的距离包括两点间的距离；两条平行直线的距离；两条异面直线间的距离；点到直线的距离；点到平面的距离；直线到它的平行平面的距离；两个平行平面之间的距离以及球面上两点之间的球面距离．其中重点是两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离及两异面直线间的距离，这些距离的计算是立体几何中的一个难点．引入向量后，通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化，因此，向量为立体几何代数化带来了极大的便利．     

用空间向量解立体几何题

通过高中实验教材9B课本,不仅可以学习传统的立体几何的有关知识,而且还可以用空间向量的有关结论去解决立体几何问题.用空间向量可以解决的立体几何问题包括线线平行、线面平行、面面平行等平行与共面问题;点到平面的距离、异面直线的距离、平行平面间的距离等空间距离问题;异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题以及线线垂直、线面垂直、面面垂直等垂直问题.一共线共面问题主要解决三点共线,四点共面,线线平行等问题.这其中应用的主要定理有1.共线向量定理:非零向量b与向量a共线的充要条件是存在唯一确定的实数λ,…     

例谈用空间向量求解立体几何问题

用空间向量可解决立体几何问题有:(1)直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的位置关系等;(2)空间角的计算,空间角即是异面直线所成的角,直线与平面所成的角及平面与平面所成的二面角等;(3)空间距离的计算,通常是点到平面的距离、异面直线间的距离和平行平面间的距离等。空间向量法的关键是建立空间直角坐标系,以便     

向量的数量积在立体几何中的应用

《直线、平面、简单几何体》这一章引入了空间向量,利用向量法解决立体几何的问题,可以把立体几何问题代数化,降低了难度,减轻了负担．下面举例介绍利用向量的数量积解决有关角度、距离、垂直等问题的方法．     

例谈用向量法解立体几何题

正立体几何中有一大类问题是度量问题,如长度(距离)、垂直、夹角等的计算或者证明,这些度量问题都可以通过向量的内积来解决,使得这些立体几何中的定理公式推导大为简化。特别是点与点的距离、点到直线、点到平面的距离、异面直线间的距离、直线与直线、直线与平面的垂直判定、两条直线(包括异面直线)的夹角、直线与平面的夹角、二面角等,运用向量解决上述问题时解法简洁、漂亮、独特,本文试举几例说明。一、求距离     

活用法向量,巧解立体几何题

随着人们对向量认识的加深,向量逐渐成为一个解决问题的重要工具.法向量更是由于其特殊的性质而成为解决传统的立体几何问题的一个特殊工具,它使得表面上非常复杂的求角与距离的题目甚至是证明平行与垂直的题目变得简洁明了,而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算,简捷方便,能减轻学生空间想象之困难.一、用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题.例1已知边长为4姨2的正三角形A BC中,E、F分别为BC和AC的中点,PA⊥面ABC,且PA=2,设平面α过PF…     

法向量在立体几何中的运用

在高中立体几何中引入了空间向量,大大降低了立体几何解题的难度,法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.下面简单介绍法向量在立体几何中运用.一、点到平面的距离.(先确定平面的法向量,再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长.设n是平面α的一个法向量,P0是平面α外一点,P是平面α内一点,则点P0到平面α的距     

体积守恒在高考立体几何试题中的应用

众所周知立体几何试题在高考中占了很大的分量,研究其解决对策显得尤为重要．而点到平面距离、二面角大小、直线与平面所成角等问题又是高考立体几何试题中几乎每年都会考到的问题,且每年都有很多考生在这方面丢分．由于向量进入高中课程,有些老师和同学有时就忘了传统几何的运用,并且用向量解决问题计算量大,也不能容易地解决所有问题．基于此,本文主要研究了巧．用传统几何中的体积守恒法解决点到平面距离、二面角大小、直线与平面所成角等高考几何问题中的妙处．     

利用公式d=|·|/||求距离

“距离”是立体几何中的两大度量(即角与距离)之一,传统的解题思路是“一作、二证、三计算”.立体几何中的“八大距离”,除球面距离及两点间的距离外,其余六种距离都与垂直有关,即与点在直线或点在平面上的射影有关.但有时点的射影的位置难以确定,这给求距离时的作图带来了很大困难.在学习了空间向量后,利用向量的方法求距离可以大大简化解题过程.公式d=｜a粌·n粓｜｜n粓｜表示a在n上的投影的长度,可利用其求“八大距离”中的三个基本距离:点到直线的距离,点到平面的距离,异面直线间的距离。一、求点到直线的距离求点P到直线b的距离:设A是…     

向量法解高考立体几何试题

直线、平面、简单几何体这一章,山东今年选择了9(B)本,即增加了空间向量及其相关的内容,因此,在学习这一章时要注意灵活运用向量法来解决立体几何的问题,运用这种方法可以把立体几何问题代数化,降低了难度,减轻了负担.下面就近几年高考题中的部分立体几何题目用向量法给予解答、阐述.1 求异面直线所成的角及与角有关的题目 求异面直线所成的角,按传统的做法,应平移使两条直线在同一平面内且交于同一点,然后用三角函数(如余弦定理)来求解,对于平移到什么位置最合理是一个难点,而用向量公式cos     

用矩阵法求平面的法向量

高中数学课标教材选修2—1第三章主要介绍用向量法解决立体几何中点、线、面的问题.从3.6节以后研究直线与平面、平面与平面的位置关系及夹角、以及点与面的距离都是借助平面的法向量来求解,而教材中介绍求平面的法向量都是采用待定系     

平面法向量在立几计算中的应用

高中数学新教材立体几何部分引入的空间向量是新教材的一个靓点,立体几何中一些传统的(夹角、距离等)计算,借助向量来计算,显得特别简捷明了. 平面的一个法向量是指与平面垂直的一个向量,下面利用平面法向量来求二面角大小,直线和平面所成的角的大小,以及点到平面的距离.     

空间距离与角的向量解法探讨

空间向量是处理空间问题的重要方法通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值计算化繁难为简易,化复杂为简单,是一种重要的解决问题的手段和方法.学生在初步掌握向量工具后,为解决立体几何的角与距离度量问题找到了通法,显示了向量的威力和魅力.“夹角”包括“异面直线所成角”、“线面所成的角”与“二面角”“距离”包括“线面距离”、“点面距离”与“异面直线间的距离”.教科书在处理具体问题时,采取了实事求是的态度:凡是用向量比较容易解决的问题,就以向量为“通法”来解决,而对有些直接使用“形到形…     

向量法解高考立体几何试题

直线、平面、简单几何体这一章,山东今年选择了9(B)本,即增加了空间向量及其相关的内容,因此,在学习这一章时要注意灵活运用向量法来解决立体几何的问题,运用这种方法可以把立体几何问题代数化,降低了难度,减轻了负担.下面就近几年高考题中的部分立体几何题目用向量法给予解答、阐述.     

用向量法求空间距离的五条定理

求空间距离(点到平面距离、直线与之平行的平面间的距离、两平行平面间的距离、点到空间直线间的距离,两异面直线间的距离)的问题是立体几何中常见的一种题型,其解题步骤一般是:一作、二证、三计算.即:(1)找出或作出有关的距离;(2)证明它符合定义;(3)归到某三角形中计算.解这种题型的困难之处在于如何作出该距离,而作出这距离的方法又因题而异,从而增加了解题的难度.是否存在一种既简单又通用的解法呢?　　一、相关定理笔者最近发现了用向量法求空间距离的五条定理.若用这几条定理来解这类问题就显得容易多了.因为它不必去考虑这距离到…     

空间距离的统一求法

一、定理及其证明定理若X、Y是任意两空间元素,P、Q分别为X、Y上的点,n为X、Y的公共法向量,则X和Y之间的距离可统一表示为d=P ·nn.说明1.空间元素包括:点、线、面;空间距离包括:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两平行直线间的距离、两异面直线间的距离、平行的直线和平面间的距离、两平行的平面之间的距离.2.当X、Y为两点时,P、Q即为X、Y,取P 为n,此时可认为X、Y都对应0,因0⊥n,故可认为n是X和Y的公共法向量;当X、Y为点和直线时,则X和Y可确定一个平面,取n为此平面的法向量,此时n可认为是X和Y的公共法向…     

试论"平面法向量"的教学功能

"平面法向量"是向量知识的重要内容之一,本文系统的论述了利用平面法向量解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等大量问题的化难为易、化抽象为具体的解题功能与教学功能.     

立体几何中有关距离的统一公式

近年的高考试题都有一道立体几何的解答题，用传统方法解答往往步骤繁琐．高中新教材第二册（下B）引入了空间向量坐标运算这一内容，对于立体几何中的平行、垂直、角、距离等问题。只需建立空间直角坐标系进行定量运算，使问题得到了大大的简化，但在教材中有关距离问题没有一个统一公式，本文将利用向量法给出求异面直线间的距离、点面距离、线面距离、面面距离的统一公式d=｜→AB·→n｜/｜n｜该公式能起到化隐为显、化难为易的作用。[第一段]     

平面法向量在空间立几上的应用

<正>高中课本引入空间的向量后,高考中的立体几何问题大多可用向量的知识解.从而使解题更简捷有效.综观近年高考立体几何试题都设计为一题两法,既可用传统立体几何知识来解,又可用空间向量的知识求解,须恰当选用.在空间直角坐标系中,如果表示向量n,的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称向量式为平面α的法向量.如果表示向量,n的有向线段所在的直线垂直于两条异面直线l1、l2,(即两条异面直线的公