例谈数学解题中学生逆向思维的培养

1.从数学定义、公式的可逆性进行逆向思维培养因为数学定义本身是等价命题,所以作为定义的命题其逆命题成立,则由它生成的公式也具有可逆性.     

例谈逆向思维的培养与训练

在数学教学中,可以通过以下一些方法培养学生逆向思维的能力;第一,注意阐述定义的可逆性;第二,注意公式的逆用,其实逆用公式与顺用公式同等重要,有时根据需要也可适当改变公式;第三,对数学问题常规提法与推断进行反方面思考;第四,注意解题中的可逆性原则。如解题时正面受阻,逆向思考,把不符合条件的从总体中淘汰出去,使问题得解．     

连续自然数的积及其倒数的和式求法

连续自然数积的和式的求解是数学竞赛命题的重要内容之一,主要考查学生求解方法的掌握情况,避免大量繁琐运算,常见的类型有以下两类．第一类：1×2+2×3+…+n(n+1)；1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)；第二类：1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/n(n+1)；1/(1×2×3)+/2×3×4+…+1/n(n+1)(n+2)怎样求以上两类和式的结果呢?应该说,它们肯定各有其求解通项公式,现就其各和式的     

等差积数列前n项和公式的探求

请看下面的无穷数列: (1) 1,4,7,10,13,16,…3n-2,… (2) 1×4,4×7,7×10,…(3n-2)(3n+1)… (3) 1×4×7,…(3n-2)(3n+1)(3n+4)… (4) 1×4×7×10,4×7×10×13,… (3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)…数列(1)是一个等差数列,学生能迅速求出其前n项之各,但要求出数列(2),(3),(4),…等的前n项之和却成困难。然而,学生们在研读许多数学课外书刊或资料的时候,又常常遇到它们。为了满足学生的求知欲:培养他们进行数学活动的兴趣和能力,笔者利用课外数学活动时间,引导他们对类数列前n项之和的求法进行了专题探讨,师生一道建立了一般的求和公式。现将活动过程整理成文,供同志们参考。定义一个无穷数列 a_1a_2…a_n,a_2a_3…a_(r+1),…,a_na_(n+1)…a_(n+r+1),…叫做     

培养初中学生逆向思维能力的几种途径

逆向思维能力的培养是数学教学的任务之一。本文试从解题教学这一角度出发,谈谈初中数学教学中培养学生逆同思维能力的几种常用途径。一、逆用公式、法则初中数学中的许多公式、法则都具有可逆性。在解题教学中要充分利用这种可逆性、引导学生逆用公式、法则,寻求问题的简捷解法,培养学生逆向思维的能力。例1 化简:(6~(1/2)-2~(1/2))(3~(1/2)+2)(2-3~(1/2))~(1/2) 分析:本题若采用一般方法求解,则运算量很大,逆用公式a~2~(1/2)=|a|,则十分简便。解:原式=([(6~(1/2)-2~(1/2))(3~(1/2)+2)(2-3~(1/2))]~2)~(1/2) =(4(2-3~(1/2)(2+3~(1/2))~(1/2)=4~(1/2)=2 二、逆用定义在初中数学教材中,通常总是采用“定义”的方式来阐述某个数学概念的。数学概念的灵活运用,是应用数学知识和方法分析解决问题的基础,特别是定义的逆向应用,更显示了思维水平的     

无言的数学证明

我们遇到的证明题 ,常常用文字及数学符号进行叙述 ,表现了数学严密的逻辑性 .但是下面这些问题的证明除了可以用严格的逻辑证明外 ,用图形证明也不失一种直观、有效的证明方法 .问题 1　证明 14 + ( 14 ) 2 + ( 14 ) 3 + ( 14 ) 4+…= 13.证法 1:如图 1示图 1　　　　　　　图 2证法 2 :如图 2示 :问题 2　　 12 + 2 3 + 33 +… +n3 =( 1+ 2 + 3+… +n) 2 .证法 1:如图 3示 :图 3　　　　　　　图 4说明 :4× 1× 12 + 4× 2 × 2 2 + 4× 3× 32 + 4×4× 4 2 + 4× 5× 52 ={2 × ( 1+ 2 + 3+ 4+ 5) }24 × ( 13 + 2 3 + 33 + 43 + 53 ) …     

观察·实验·猜想

数学是思维科学,也是实验科学.数学中的推理,不仅包含分析、综合、抽象、概括等演绎推理方式,而且包括观察、实验、归纳、猜想、调整等合情推理方式.近年的中考命题常常以此来作为考查学生数学探索能力和创新能力的好题材.下面举例说明.例1(2003年福州市)观察下列各式:1×3=12+2×1,2×4=22+2×2,3×5=32+2×3,…请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:.解观察、比较所给已知等式:不难得到上述等式中所体现的规律是n(n+2)=n2+2n.说明:由特殊到一般的过程是人们认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是得出结论、发现数学规律最常用的…     

训练逆向思维一例

在培养和发展学生思维的数学教学中,注意训练学生的逆向思维,培养他们善于从两方面思考问题的能力,有利于学生灵活运用数学知识去解决实际问题。本文就根式运算的两个公式: (α~2)~(1/2)=|a|; ((α+β)±2√a·β)~(1/2)=a~(1/2)±β~(1/2) (a>β>O) 谈谈笔者训练学生发展逆向思维的尝试。从“正向”(左→右)思考,这两个公式揭示了在根式计算过程中,“脱出”根号的方法(配方法)和规律(正数开方得正的方根);但从“逆向”(右→左)思考,这两个公式     

逆向思维策略在解题中的运用

在数学解题活动中,我们难免遇到这种情形:从正面直接探求,常常一筹莫展;若改变思维方向,从反面或逆向探求,往往可使问题迎刃而解。本文通过实例来探讨如何运用思维策略解决数学问题。例1 对一切不小于3的自然数n,求证:2~(n(n-1)/2)>n!。分析:显然用比较法或综合法,不便入手;采用数学归纳法,过程较繁.若注意到n(n-1)/2的代数结构特征,联想到:1 2 3 …     

逆向思维训练的四种方式

1.定义教学中的逆向思维训练作为定义的数学命题 ,其逆命题总是成立的。当学习一个新概念时 ,如果能注意从逆向提问 ,学生不仅会对概念辨析得清楚、理解透彻 ,而且能培养学生双向考虑问题的良好习惯。如在几何教学中 ,特别是入门阶段 ,要注意引导学生对每一个定义分清其正逆向的关系 ,为推理论证的教学打好基础。例如 ,“互相垂直的定义”用符号表示为 :∵∠ AOD=90°,∴ AB⊥CD(正向思维 )。∵ AB⊥CD,∴∠ AOD=90°(逆向思维 )。又如 ,用一元二次方程根的定义解题等训练。因此 ,讲定义时 ,若不强调它具有可逆性 ,将使学生对定义逆用…     

中学数学存在性问题求解策略初探

数学命题中经常出现“是否存在……”,“证明存在…”,“总可找到…”等命题形式均属于存在性问题.这类问题的求解思路充满厂辩证思维,方法丰富多彩.本文对这类问题求解策略作一初步探讨. 一、特殊化策略从特殊到一般是解决数学问题的一种重要思考方法.对一些存在性问题,首先可研究其特殊情况(如:代数中的特殊值、几何中的特殊元素等),通过观察、类比、归纳、推广等方法来发现解决一般情况的途径. 例1 在自然数集N上定义的函数y=f(n): f(1)=2,f(n+1)=4-f(n)/f(n)+2,(n∈N).问:是否存在实数a,b使f(n)=1/a(-3/2)~n-b+1对任意n∈N成立,证明你的结论.     

数列探索性问题的求解策略

由于探索性问题能够有效地考查学生的数学素质 ,因而成为高考命题的热点 .下面仅就数列中探索性问题的求解策略作些归纳 ,以期抛砖引玉 .一、利用公式直接求解例 1　是否存在常数a ,b ,c使等式 1·n+ 2 · (n -1) +… + (n -1) ·2 +n·1=an3+bn2 +cn对任意的n∈N 恒成立 ?证明你的结论 .解　对等式左边求和 .∑nk=1k(n+ 1-k)=∑nk=1[k(n+ 1) -k2 ]=(n+ 1) ∑nk=1k -∑nk=1k2=n(n+ 1) 22 -n(n+ 1) (2n + 1)6=n3+ 3n2 + 2n6.比较系数可得a=16,b=12 ,c=13 .二、先用特值探路 ,再用数学归纳法证明对于例 1,分别令n =1,2 ,3 ,代入等式 ,得a +b+…     

代数式(之五)

沿着前面的思路,这个公式的证明,其实是很自然也很容易的事: 我们在等式(n+1)2=n2+2n+1中,让n依次取从1开始的n个自然数:1,2,3,4,…,n,就得到n个相应的等式: 22=12+2×1+1, 32=22+2×2+1, 42=32+2×3+1, 52=42+2×4+1, …(n+1)2=n2+2n+1将这n个等式中等号两边的式子分别相加,相加时,注意消去等号左边与等号右边第一列中相同的数,就得到     

逆向思维在解题中的应用

逆向思维又称反向思维,是从对立的角度考虑问题的思维方式.当正向思考有困难时,不妨转换思考方式,进行逆向思考,常能化难为易,使问题迅速而准确地解决.善于逆向思维是思维灵活的一种表现,下面浅谈逆向思维方法在数学解题中的应用. 1 定义、公式、定理的逆用在数学解题中直接运用定义、公式、定理是一种比较常见的方法,但其逆向应用往往被忽视.重视定义、公式、定理的逆向应用,在解题中能得心应手,有利于发展思维的灵活性.     

一些特殊数列求和的简易方法

形如 1·2 2·3 3·4……n(n+1)、 1·2·3 2·3·4 3·4·5……n(n+1)(n+2)、 1/(1·2) 1/(2·3) 1/(3·4)……1/(n(n+1))、 1~2 2~2 3~2……n~2 1~3 2~3 3~3……n~3 之类的数列,求其前n项之和的问题,不少数学复习资料上列出了求和公式,也有些人从不同的方面探讨其求和方法,但对中学生来说,或者不知公式来源,或者不易理解方法,因而我们     

联想 猜想 证明 引伸——创造性思维培养的一个例子

现行全日制高中代数第二册P.77有这样一题: 用数学归纳法证明: 1·2·3+2·3·4+3·4·5+…+n(n+1)(n+2)=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)(1) 如果就事论事,当然问题很容易解决,但不能增强学生的创造能力。本文以此题为例,谈谈创造性思维培养的一点做法——联想、猜想、证明、引伸。一、联想     

例谈数学逆向思维的应用

解决数学问题，一般总是从正面入手进行思考，但有时用这种常规思路解答显得十分繁杂，甚至无法解决的情况．这时若从问题的反面去思考也许会“柳暗花明”，而且解题步骤可较为简捷，这就是解决数学问题的另一种思维方法——逆向思维法．逆向思维是从习惯思路的反方向去思考分析问题，表现为“逆用”定义、定理、公式、法则．现举例说明逆向思维的应用．     

浅谈逆向思维能力的培养

一、在概念、定理教学中注意培养反方向的思考学生对定义、定理或数学公式往往只停留在表面的理解上,对于定理、公式成立的条件常感以模糊,教学中在正面阐明概念的同时,还要引导学生反过来思考,或列举反例(错误之中往往蕴含有逆向思维),根据概念判断是非,区别异同点,逐步培养学生的逆向思维能力。例如讲授一元二次函数的概念时,可问学生这样的问题:y=x2+x+2(x∈R)与y=x2+x+2(x>0)那个是一元二次函数?从定义域方面考虑,显然前者是后者非。y=(m-1)x2+(m-1)x+6当m=?时为一元二次函数,当m=?时为一元一次函数,这样学生对一元二次函数的定义就理…     

一个组合数公式与正整数方幂的和

高中数学新教材 (2 0 0 1年 10月第 2版 )第二册 (下 A)第 14 5页有这样一道习题 :求证 :Cmn-1 +Cmn-2 +Cmn-3 +… +Cmm + 1 +Cmm=Cm + 1 n .此题的证明关键是利用组合数性质 :Cmn+ 1 =Cmn +Cm -1 n ,采用逐次并项或逐次裂项的方法予以证明 ,此略 .此题揭示了组合数的一个非常重要的性质 ,它在探求某些与正整数方幂和有关的数列问题时 ,往往显得简捷明了 .下面是数列 { k(k+1)… (k+m) } (k∈N* )的前 n项和的公式 (m是固定的正整数 ) .(1) 1× 2 +2× 3+3× 4 +… +n(n+1)=A22 +A23 +A24+… +A2n+ 1=A22 (C22 +C23 +C24+… +C2n+ 1…     

数列通项an的两个常见变形式的相通性及再创新式

我们知道数列通项 an 具有如下两个常见的基本变形式 :差式变形式 :an=(an- an-1 ) (an+ 1 - an-2 ) +…+(a2 - a1 ) +a1 . 1商式变形式 :an=anan-1· an-1 an-2·…· a3 a2· a2a1·a1 . 21式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =an+g(n)型数列的通项公式 ;2式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =f(n)× an型数列的通项公式 .而对求递推关系式为 :an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 ) ( )型的通项公式就失效 .近期有杂志刊文介绍对 an+ 1 =kan+g(n) (k≠1 )型的通项公式求法 .不外乎两种方法 :其一是将an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 )转化为 :an- h(n) =k{ an…