关于比例式几何证题

证明比例式成立,是几何证题中的一个类型,运用到很多几何基础知识。这些知识主要是: (1)比例的性质。 (2)平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的对应线段成比例,截得的三角形和原三角形相似。 (3)三平行直线截一束直线,所截得的线段对应成比例 (4)通过一点的一束直线,在二平行线上截取成比例的线段。 (5)三角形内角平分线分对边所成两线段的比,等于夹这角两边的比。 (6)三角形外角平分线,如果和对边     

用分类讨论法解相似三角形“截线”问题

<正>关于相似三角形中的"截线"问题,许多同学在解题时往往考虑得不够全面,缺乏分类讨论思想因而容易犯错.本文仅举一例说明用分类讨论思想解决这类问题.题目过直角三角形一边上一点P(不包括三角形顶点)作一条直线,使截得的三角形与原三角形相似,这样的截线有几条?一、如图1,过直角三角形较短直角边上一点P,可作4条直线,使截得的三角形与原     

略谈有关比例线段的证明

有关比例线段的证明,主要分布在初中几何第四章相似形及第五章圆内。按其线段所在的位置可分两大类型:一是所要证明的线段不在一直线上;二是所要证明的线段在一直线上。证明这类问题的主要依据是:比例的性质,平行截割比例线段定理,相似三角形的性质,三角形内(外)角平分线的性质,以及直角三角形中的比例线段定理,圆幂定理等。本文想就这类问题的证明思路作一简单探讨。一、所要证的成比例的线段不在一直线上这类问题的解题思路首先是考虑所要证     

截三角形三边成比例线段问题例析

一条直线截三角形三边（或延长线）如图１，关于此图形的有关成比例线段的证明题目比较多，具体的分析思路、证明方法也有多种，但有些思路不易寻求，现对这个问题进行分析，以求解决问题的最佳方法．在图１中，共有１２条线段、６个点，它们分别在４条直线上，这是此类问题的共同特征．这类题目中出现成比例线段问题，可考虑相似三角形或平行于三角形一边的直线等有关知识．显然图形中没有相似三角形和平行线，因此需构造相似问题，最常用的方法就是作平行线寻求成比例线段．例１已知，如图２，一条直线截△ABC的三边（或其延长线），交…     

共边定理及其应用与推广

<正>几何一直是初中数学的重难点,初中几何主要研究边角关系,并要求对边,角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难,难在思维的深度,尤其难在辅助线的添加,许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具,以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上,它是指,共边三角形的面积比等于第三个顶点的连线被公共边所截得的线段比.定理如图1,设直线AB     

利用平行截割定理证题

定理“平行于三角形一边的直线在其他两边上截得的对应线段成比例”及定理“若干条平行线截两条直线,则截得的对应线毁成比例”统称为平行截割定理。平行截割定理可用来证明包含有(或隐含有)线段平行的几何图形的几何命题。证题类型有:直接应用于证明线段的比例式或乘积式;结合题设、图形性质及有关定理间接地证明线段相等、角相等、定值等多种类型。还可以结合成比例线段定理,如相似三角形判定及性质定理、三角形内(外)角平     

初中几何压轴题中证明三条线段数量关系问题的探究

<正>中考数学试卷中经常出现这类题目,给出一个三角形与对应线段、三角形内角的倍数关系,让同学们求不同线段的数量关系．这类问题的解答有一定的技巧,本文将对其解题进行研究．一、三角形线段数量关系的三种情况第一种情况,题目条件中有倍角关系时,同学们可以尝试利用三角形的内外角关系构造等腰三角形．(1)在△ABC中,     

例说构造全等三角形证题

全等三角形是初中几何的重点知识,在解题中有非常广泛的应用,但是有些几何题在给定的图形中并没有明显的全等三角形,证明思路十分隐蔽.对于这类问题,我们可以根据题目的特点巧妙地构造全等三角形,从而打通证题的思路,找到证题的途径,现举例说明。     

“灵活代换”巧证共线线段成比例

在证线段成比例的几何题中，有些题目待证的成比例的四条线段在同一条直线上，直接证明这种共线线段成比例，往往很困难，这就需要我们寻找一些等量进行灵活代换，巧妙转化，最终要把四条线段转化成两个三角形的对应边，进而通过证明两个三角形相似使问题得到解决．下面介绍其中几种常见的代换方法．     

面积法证明几何定理

人教版初中《几何》第二册,《相似形》一章中的两个定理:定理1 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例(第208页).定理2 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边(第213页).     

平行线分线段成比例定理与相似三角形的应用

平行线分线段成比例定理和相似三角形是初二几何中的重点和难点，这些内容是继用全等证明线段、角相等后的又一种证明三角形边、角关系的新途径．下面重点阐述两者的区别和应用．一般情况下，若要证明成比例的线段中存在两条或更多条处在同一直线上时，大多数情况下应选择平行线分线段成比例定理，此时若条件中不存在平行线，则可考虑利用下面两种基本图形添加辅助线构造平行．１．平行于三角形的一边截其他的两边；２．平行于三角形的一边截其他两边的延长线．若要证明成比例的线段处在不同的三角形中，且题目中还提供了一些比例式或角等条…     

用代换法证共线线段比例式问题

在初中几何中,常遇到证明在同一直线上的几条线段成比例的问题.由于在共线上找不到相似三角形及平行线,给我们的解题带来了一定的困难.代换法是解决此类问题行之有效的方法.下面举例分析代换法在证明中的运用.一、等线段代换法用相等统一作战面代替比例式中的某线段,使之构成相似三角形,     

在“相似形”中证明线段成比例(初二、初三)

在相似形一章中,有大量的题目是证明线段成比例,解决这类问题,可以用下面几种方法: 1.用平行截割定理①三条平行线截两条直线,所得的对应线     

巧构等腰三角形妙证几何题

在几何证题中,若遇有三角形的角平分线、角平分线的垂线或线段的中垂线时,常设法构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径.现仅以三角形中常见的题型为例,说明添作辅助线构造等腰三角形证题的一般方法.     

共线比例线段的证明

结论为比例式或等积式的证明,是几何常见题型,而不少学生对同一直线上的线段成比例的证明题目,而感到十分棘手.其实,只要掌握这类问题的转换策略,则证题不难.本文将举例介绍三种常见转化策略,以飨读者.     

浅谈平行截割定理之“逆”

平行线分线段成比例定理(三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例)(见初中几何第二册第十五页)(简称平行截割定理)是平面几何中一个很重要的定理.该定理的思想方法是利用位置关系(平行)去判断数量关系(成比例).是相似三角形一章的理论基础.它在证明三角形的相似,线段成比例或相等及三角形的内角平分线性质定理、逆定理的证明中都起着极为重要的作用.本文着重讨论平行截割定理之逆命题.     

在三角形中证明线段相等

存几何证明中,我们经常会遇到证明两条线段相等的题目,可以说证明两条线段相等是初中几何证明中比较基本的题目. 证明两条线段相等,经常使用的方法归纳起来可有: (1)使所证的两条线段位于两个全等三角形中,通过全等三角形证明. (2)使所证明的两条线段位于同一个三角形中,利用“等角对等边”证明. (3)利用线段的垂直平分线、角平分线的性质证明. (4)利用第三条线段代换进行证明.     

平行出比例 比例定平行

同学们都知道平行线线段成比例定理及其逆定理,其内容是: (1)三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或其两边的延长线),所得的对应线段成比例． (2)如果一条直线截三角形的两边(或其两边的延长线)所得对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边．     

利用比例证明线段平行和相等

一、利用比例线段证明平行这种方法一般适用于“要证平行的两条线中 ,其中一条是图中某三角形的一边 ,而另一条是一直线与该三角线另两边相交所截得的线段”的题目 ,它的根据是三角形一边的平行线的判定。一般地 ,对于“在已知条件(包括图形的性质 )中 ,平行线较多或有比例线段 ,并且要证的结论又是平行”的题目 ,这种方法更为适用。具体的思路是 :仔细观察图形 ,结合要证的结论 ,从比较繁杂的图形中找出三角形一边的平行线的判定定理的基本图形 ,然后再证该定理所反映的六条线段中 ,有四条对应成比例。不过 ,在证明四条线段成比例时 ,往往…     

同一直线上四条线段成比例的证法

证明同一直线上四条线段成比例,是证明比例线段中较难的一类问题,也是《相似形》一章的难点之一.解决这类问题的关键是: 从待证比例式着手.运用平行线分线段成比例定理和相似三角形的有关性质、定理等,恰