对《一个公式的巧用》的一点补充

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ     

挖掘习题特点 优化思维品质

有意识地利用习题的特点 ,对于培养学生良好的思维品质 ,逐步形成良好的数学观念 ,提高数学素养 ,具有十分重要意义 .下面就此谈谈本人看法和体会 .一、利用迷惑性 ,培养深刻性有些习题表象的迷惑性常使思维肤浅的学生误入歧途 ,因此表象的迷惑性有利于培养学生思维的深刻性 .【例 1】　已知 3sin2 α+2cos2 β =2sinα ,求sin2 α +cos2 β的取值范围 .错解 :由条件得cos2 β =sinα -32 sin2 α ,∴sin2 α+cos2 β =sin2 α+(sinα-32 sin2 α) =-12 (sinα -1 ) 2 +12 ,当sinα =-1时 ,sin2 α +cos2 β的最小值为 -32 ;当sinα =1时 ,s…     

也谈一类三角不等式的简证

文 [1]在证明一类三角不等式的过程中 ,灵活地运用凸多边形的性质 ,数形结合的思想方法 ,化难为易 ,化隐为显 ,使不等式得到巧妙 ,简明的证明 .让读者认识到了特殊图形的魅力 .读后深受启发 ,笔者对该文例题作了进一步的思考 ,发现换一个角度 ,用方差来证明、也能体现解题过程的简捷明了 ,可与构图法殊途同归 ,相映成趣 .下面给出该文 5个问题的构造方差证明法 ,供同行参考 .问题 1　已知角α、β、γ满足条件 sinα +sinβ + sinγ=2 ,试证 :| cosα+ cosβ + cosγ|≤5 .证明 :因为 sinα,sinβ,sinγ的方差为S2 =13 [sin2α+ sin2β + s…     

课本三角公式的向量新证法

下面以三角中的几个基本公式 (定理 )的证明为例 ,谈谈向量基础知识在解题中的灵活应用 ,望能增添同学们学习向量知识的兴趣 .【例 1】　证明cos(α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ .课本上采用解析法证明这一公式 ,学习向量后 ,运用平面向量的数量积 (内积 )证明公式显得十分简单 ,这种灵活运用新知识解决问题的思想方法毫无疑义是符合新教材编写精神的 .证 :在单位圆O中 ,设∠P1 Ox =α ,　∠P2 Ox =-β ,则P1 ,P2 坐标为P1 (cosα ,sinα) ,P2 (cosβ ,sin( -β) ) .即OP1 =(cosα ,sinα) ,　OP2 =(cosβ ,-sinβ) .∵∠P1 OP2 =α …     

一道三角题的别证

《上海中学数学》1995年第3期“数学问题与解答”栏中给出了如下一道问题: 已知α、β、γ为锐角,且sin~2α sin~2β sin~2γ=1。 求(cosα cosβ cosγ)/(sinα sinβ sinγ)的最小值。 本文给出此题的两个简捷解法,供参考。     

向量的数量积的一个性质的应用

两向量的数量积具有性质 :(a-b) 2 ≥0 ,当且仅当a =b时上式取“=”号 .以下从几个方面举例说明其应用 .1　证明等式例 1　已知a ,b∈R ,且a· 1-b2 b· 1-a2 =1,求证a2 b2 =1.(第三届“希望杯”全国邀请赛试题 )证明　构造向量a=(a ,1-a2 ) ,b= ( 1-b2 ,b) ,则 (a-b) 2 =2 -2 (a·1-b2 b 1-a2 ) =0 ,所以a =b ,从而a =1-b2 ,于是a2 b2 =1.例 2　已知α ,β为锐角 ,且cos4 αsin2 β sin4 αcos2 β= 1,求证α β=π2 .(第三届“希望杯”全国邀请赛试题 )证明　构造向量a =( cos2 αsinβ ,sin2 αcosβ) ,b= (sinβ ,cosβ) ,则 (a-b)…     

三角问题的向量解法

对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】　若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文、理科)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α+ β) +sin(α -β) ]cosαsinβ=12 [sin(α+ β) -sin(α-β) ]cosαcosβ =12 [cos(α + β) +cos(α-β) ]sinαsinβ =-12 [cos(α + β) -cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l,其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球的体积公式V球 =43 πR3,其中R表示球的半径一、选择题 (本大题共 12小题 ,每题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.(文 )直线 y=2x关于x轴对称的直线方程为 (　　 )　　 (A) y=-1…     

从一道全俄数学竞赛题的几何证法谈起

第21届俄罗斯中学生数学竞赛(第4阶段)十一年级第5题为: 已知角α、β、γ、满足不等式sinα sinβ Sinγ≥2,证明:cosα cosβ cosγ≤5~(1/2)。 参考答案给出了一种利用正余弦函数有界性的三角变换证法,本文另辟蹊径,现提供一种简明直观的几何证法。     

一道例题的疏误

本刊91年第1期《三角函数式的恒等变换与应用》一文的一例及其解答如下: 例12 已知(tg(α+β-γ))/(tg(α-β+γ))=tgγ/tgβ,求证sin2α+sin2β+sin2γ=0 证明:把已知化为 (sin(α+β-γ)cos(α+β-γ))/(cos(α+β-γ)sin(α+β-γ))=sinγcosβ/cosγsinβ由合分比定理,化简得 (sin2α)/(sin2(β-γ))=(sin(γ+β))/(sin(γ-β))     

例谈单位圆的解题功能

在三角函数教学中我们引进了单位圆,这对于直观表示任意角的三角函数,描绘三角函数图象,研究三角函数的有关性质及推导三角公式等提供了极大的方便.其实,单位圆在解题中,尤其在利用单位圆构造条件可化数为形的解题中,有着独特的功能.现举例如下:例1已知sin4αcos2β csions24αβ=1,求证:cos4βsin2α csions42αβ=1.证明设点A为scoins2αβ,csoins2βα,点B为(cosβ,sinβ),则A,B均在单位圆上.过B点圆的切线L的方程为xcosβ ysinβ=1,显然A点在L上,则A,B两点重合(切点唯一).∴scions2αβ=cosβ,csoins2βα=sinβ,即sin2α=cos2β,co…     

从一道三角习题的解法谈起

人教版数学第一册(下)第89页复习参考习题15:已知α,β都是锐角,且sinα=55,sinβ=1100,求证α β=4π.错解:由sinα=55,0<α<2π,得cosα=255.由sinβ=1100,0<β<2π,得cosβ=31010.∴sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ=55×31010 255×1100=22.又0<α β<π,则α β=4π或α     

一道三角问题所引出的结论

题目已知α、β为锐角,且满足sin2(α β)=sin2α sin2β,求证α β=90°.常见的解法如下.证法一:(反证法)若α β>90°,则α>90°-βsinα>sin(90°-β)=cosβ.从而sin2α sin2β>cos2β sin2β=1,得sin2(α β)>1,矛盾.     

例说构造多面体证明不等式

依照某种方式构造出适合条件的多面体,把不等式中的数量关系直接显现在图形中,借助于几何图形的性质,往往能获得独特、新颖、简捷的证题途径.[例1] 若α、β、γ均为锐角,且sin2α+sinβ+sin2γ=2,求证tanα tanβ tanγ≥2 2~(1/2). 简析本题从数的角度考虑,不易找到思路,若根据题设结构特征,构造长方体,探求思路,可使证明一举成功.     

数学教学中学生思维灵活性培养的实践与体会

思维的灵活性指思维活动的灵活程度,指善于根据事物的发展变化,及时地用新的观点看待已经变化了的事物,并指出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法.学生思维的灵活性主要表现于:(1)思维起点的灵活:能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向.(2)思维过程的灵活:能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径.(3)思维迁移的灵活:能举一反三,触类旁通.如何使更多的学生思维具有灵活特点呢?我在教学实践中作了一些探索.1以“发散思维”的培养提高思维灵活性1.1引导学生对问题的解法进行发散在教学过程中,用多种方法,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案,用一题多解来培养学生思维过程的灵活性.例1求证:1-cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=tanθ.证法1(运用二倍角公式统一角度)左=2sin22θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ(sinθ+cosθ)2cosθ(sinθ+cosθ)=右.证法2(逆用半角公式统一角度)左=1-cos2θsin2θ+11+cos2θsin2θ+1=tanθ+1cotθ+1=右.证法3(...     

一道三角题的证法探究

【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此…     

一道俄罗斯数学竞赛题的复数证法

第21届俄罗斯中学生数学竞赛(第四阶段)十一年级第5题:已知角α,β,γ满足不等式sinα sinβ sinγ≥2,证明:cosα cosβ cosγ≤5~(1/2).文[1]另辟蹊径,提供了一种简明直观的几何证法,并进一步推广得如下的:定理 设m∈R~ ,n∈N,n≥2,m≤n,角α_1,α_2,α_3,…,α_n满足不等式sinα_1 sinα_2 … sinα_n≥m,-(n~2-m~2)/(1/2)≤     

用等比定理巧解三角题

等比定理是指:a/b=c/d=e/f=…(?)a c e …/b d f …=a/b.在三角问题中,若能根据式子的结构特征,恰当运用等比定理,常能避免复杂的公式变换,巧妙获得结果.一、证明三角恒等式(或条件等式)例1求证sinα cotα/tanα cscα=cosα.简析:cosα=sinα/tanα=cotα/cscα=sinα cotα/tanα cscα例2求证1 secα tanα/1 secα-tanα=secα tanα.     

谈如何对课本习题的学习

目前,资料满天飞,不少学生以这些资料为蓝本,钻研各种难题,忽视了对课本的学习,以至学习不得法,成绩不能提高.其实课本是知识资源的依据,课本中的例题、习题是务必要掌握的,它是打好双基的基础.通过对课本习题的解答,能使学生掌握基础知识,掌握好解题方法,从而提高解题能力,在考试中取得好成绩.【例1】求证:sin4x cos4x=1-2sin2xcos2x.一、解法分析:分析1:证明恒等式一般是从较繁的一边向简单一边化简,从高次向低次化简,通过配方法再利用“1”的变形,就能证明.证法1:左边=(sin2x cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=右边.所以原式成立.分析2…     

也谈一道俄罗斯数学竞赛题的新证法

《中学数学月刊》1998年第5期刊登了陶明斌老师的文章《一道俄罗斯数学竞赛题的复数证法》,文中给出证法十分简捷。本文利用重心坐标公式给出一种更简捷的证法。 题目 已知α,β,γ夕,满足不等式sinβ Sinβ Sinγ≥2,试证:cosα cosβ cosγ≤√5。(第21届俄罗斯中学数学竞赛第四阶段十一年级第5题) 证 如图所示,显然点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)C(cosγ,sinγ)都在单位圆x~2 y~2=1上, 由三角形的重心