平面向量在几何中的若干应用

向量是数学研究的一种重要工具,尤其是解决几何问题,常有独到之处.下面我们来看看向量在几何中的若干应用.一、垂直平分线例1如图1,O、A、B是平面上三点,向量OA=a,OB=b,设P是线段AB垂直平分线上任意一点,向量OP=p.若a=3,b=2,求p·(a-b)的值.分析:要不要把式子p·(a-b)展开?有没有必要把p用a、b来表示?题意中最主要的条件是什么?P是线段AB垂直平分线上任意一点,那么线段垂直平分线上的点有什么性质呢?线段垂直平分线上的点到线段距离相等,即PA=P B,a-p=b-p,两边平方得a-p 2=b-p 2即(a-p)·(a-p)=(b-p)·(b-p),a2-2a·p p2=b2-2b·p p…     

2005年高考湖北卷第（21）题的另解及推广

题目设A,B是椭圆3x2 y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点.     

由一联赛试题得到的三个性质

2010年全国高中数学联赛一试第10题为:已知抛物线y2=6x上两个动点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,x1+x2=4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.求△ABC面积时关键的一步是求得线段AB的垂直平分线经过定点C(5,0).那么在一般情形下线段AB的垂直平分线是否经过定点?如果是,那么椭圆、双曲线呢?     

椭圆单元测试题

一、选择题 1.已知点F,、F:是定点且}FIF:}一6,动点M满足}MF,l+}M几 ~6,则M的轨迹为(). A.椭圆B.直线C.圆D.线段 A·“2“·飞。C·92「丫D’几6 5.曲线条十答一1与侨弄分+只祥气~1(k<9)有 ‘口沙‘口—化廿—尤 A.长轴B.准线C.焦点D.离心率 6.椭圆多十多一1与子+多一“k>0,有才目同白勺‘, A.长轴B.焦点C.离心率D.顶点 7.若椭圆的两个焦点将长轴三等分,则此椭圆的两准线间的距离是 焦距的(). A .18倍B.12倍C.9倍D.4倍 __,,、…~~‘~扩.铲.,_一,、一、~., 8.直线y~kx十1与椭圆誉十告一1恒有公共点,则〔). ~~一7’一’一碑”’J~…     

巧证一组几何题

本文应用部编几何第二册第舒页的例】的二角形两边乘积定理:“二角形两边的乘积等于第只边上的高与外接圆直径的乘积.”对一组几‘L:’舀进行巧思妙证. 题组已知尸为之月,决月:的外接圆击决卜一点,从尸点向下边月,月2、产(2月:、几闷1作垂线,垂足分别为召、、刀2、B3、连川,、川:、J气闷3,若外接l员!的直径为‘l,阳·只理: d,尸刀2一丛书丛·”乃“尸月3·P月1一l尸斤峨比(})I,刀、·周:二子J刀:·J气J;二了兮13·尸」:尸戊:·尸月:·尸,札一‘Z(2)阶; }少」j朋2;Pl了3Pl:.川。I毛确。.矛,了l止肠土从求证: (l)朋:·P月。=二尸·Pl汪,…     

《轴对称》综合测试题

..一、精心选一选1.将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出形为‘，B”的图案，再把它铺平，你可见到().国国区画区回巨亘} A B CD 2.下列图形中，不一定是轴对称图形的是( A.线段材探B.等边三角形C.圆D.直角三角形3.点A与A‘关于直线l对称，则直线l是( A.垂直平分线段AA’的直线B.垂直于线段AA’的直线C.平分线段AA’的直线D.过线段AA’中点的直线4.下列说法正确的是().①角平分线上任意一点到角两边的线段相等;②是轴对称图形③线段不是轴对称图形;④线段维戮)分找上的点到这条线段两端点的距离相等. A.任艰K酥国C.(公刃B.…     

两个命题的推广及其统一证明

文「1]介绍了如下两个命题: 命题1月十B一‘十D沪o,矛十兮~户+,(。为大于1小于8的某一整数),则一月一B-一C一D,(一月)’+(一B).二(一C)’十(一D)’,}川十1川二}cl+}川,夕l口尹、l 或CD十卜一一A一CB=D或!”一n, 飞B=〔了.一{一{}月}因}月】、}B}、}C川’=】cl’十}川:川)o,由情形①的结论有 命题2月+B一c+刀,公万+弓石歹一了万+令万护0(。为大于1小于8的某一整数),则{滋一尸,或{月一“LB=D,tH=〔了.】川=A二C,B=D,}Al=!n}}刀}=le!月一D,刀一C. 这两个命题在解题l!‘颇有应用,但这两个命题的儿均限于大于1小于8的整数是不必要的,…     

求直线x±y+c=0的对称点的一简便方法

设点尸(x0,护),直线l:Ax十Bg+C=0.由直线I的方程可分别解得x=一B夕+C AAx+C B将上两式右边的封和二分另}l由封。+C月劣。十C过刀。和x。代替,得点尸,现就尸和Pl的关系做如下讨论: (1)可求得月大。一Bgo一C 2A尸和尸‘的中点M B”一击。二C、_ 2刀/’的坐标为可以验证,M的坐标是方程月x+丑召+C二。的解.所以M在l上. (2)我们又可求得直线尸尸,的斜率护一苍,而直线,:,/、B。、。一。的。。率、一层.要使、·*,-(一层)(公)一1·即(乡)’一,,所以“线‘:“‘十B刀十C二。的斜率儿二士1,便有存·留二一1. 通过上面两点讨论,有结论:点尸(…     

应用绝对值的几何意义快解竞赛题

根据绝对值的几何意义,可知}x一“}是数轴上表示数x和a的两个点之间的距离.应用这个概念,可快解一类竞赛题.请看下面两例. 例1已知。(a毛4,那么】a一2J+}3一aJ的最大值等于(). (A)1(B)5(C)8(D)3 (第十届“希望杯”数学邀请赛初一第二试试题) 解根据题意知,本题即为数轴上。(a(4范围内,求表示数a的点分别到表示数2的点和数3的点的两个距离之和的最大值·由图1可三知,当a一O时,}a一2}=2,}3一a}=oa的取值范围3,上述两距离之和为最大,最大值为5.故应选B. 例2若。相似文献   

构造线段垂直平分线证题

同学们知道 :垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线定理及其逆定理分别是 :线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。到一条线段两个端点的距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上。求解某些几何证明题时 ,从构造线段垂直平分线入手 ,可简化证明的思维过程 ,捷足先登。例 1　如图 1 ,∠ 1 =∠ 2 ,BC =BD ,求证 :AC =AD证明 :连结CD的交直线AB于E∵BC =BD ,∠ 1 =∠ 2∴BE是CD的垂直平分线∵点A在直线BE上∴AC =AD 例 2　如图 2 ,△ABC中 ,∠ACB =90° ,∠B =6 0° 求证 :AB =2BC …     

高中解析几何能力训练

一、选择题(l)已知定点A(一l,2)、B(2,一3),P(x刁)是直②椭圆的准线方程是x一士a 1了a一2线,。上一{一1 Zx③椭圆的离心率是腐一3一2 Zy 3那么尸分有向线段BA所成的定比等于()(A,2(B,一2‘C,合(D,一合(2)PI(x;,少,)、PZ(x:,夕2)是倾斜角为8叨笋o,0笋粤)的直线上的两个点,设d一}Pl尸2},则乙(A)d-(B)d~(C)d=}xl十x:} leos夕llxl一x:} l:in夕l(D)d=}yl y:} Icos夕I!yl一y:} }sin夕l (3)直线x十yco刃一1一。(0任R)的倾斜角a的取值范围是()‘A,‘奇,音!)(C’(于,晋,U‘晋,譬‘B,〔令,寻;r〕(D,仁合,二,交) 〔4)圆xZ 少一4x 6y一。和…     

对2005年一道高考题的反思

在高考题中,有许多值得反思的好题．本文就一道高考题来谈谈自己解题后的反思． 2005年全国高考湖北卷理第21(文22)题是: 设A、B是椭圆3x2 y2=λ上的两点,点 N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点,     

由一次听课引起的反思

一次校内随堂听课,引起了我的反思,现写出来与同行们共同探讨,希不吝赐教.一、教学片段问题：如图,A,B,C分别是椭圆x2a2＋y2b2=1（a〉b〉0）的顶点,P为椭圆上异于A,C的一点,若线段AP的垂直平分线过B点,椭圆离心率的范围是     

一道高考题引起的数学实验

2007年高考重庆卷文史类第21题:如图1，倾斜角为a的直线经过抛物线yZ=sx的焦点F，且与抛物线交于A，B两点. (1)求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程; (2)若a为锐角，作线段八B的垂直平分线。交x轴于点尸，证明】FP}一】FP!.c以企口解。中学数学研究在抛物线少=ZPx(P>0)上任取一点     

角平分线与边的交点坐标及角平分线长的公式

在直角坐标系中,设三角形三项点坐标为A(x,,.月)、B(二刀.甘。)、C(二。,梦e),角.A、B、C对边长为a、b、c,/月BC的平分线月刀与BC交于D点,图1. be(b+e)2、:。。义b’+c’二a’+“b“+。2、一。e,/乙OC/由三角形内角平分线性质得久=代入线段定比分点公式,得BD_}姓B}DC一IAC!b劣,,+exe b+ebg介+e封e 吞十c(1) 若取A为原点,月B所在直线为%轴,图2,则B(e,o)、C(beosA,bsinA),交点D一均坐标可表示为一石叮’粼s月(2) 即月B·月C=ADZ+BD·DC. L例21△刀BC巾,如果BC、AC边上的角平分线BD二月E.则此三角形为等腰三角形. 这就是著…     

《平面图形及位置关系》综合测试题

日翻︸{摸攀蒸:料落爆翼稗1.在线段AB上任取一点Pl(不与点A、B重合)，则其上共有线段_条;在线段AB上任取两点Pl、几(不与点A、B重合)，则其上共有线段_条;在线段孟B上任取(。一1)个点:Pl，几，只，·，’，Pn_，(不与A、B重合)，则其上共有线段_条. 2.如图1，点c在线段AB上，点D是线段通c的中点，点E是线段‘召的中点，且刀召二Zcm，则AB二_cm. 3.已知点A、B、c在同一直线上，且月-气扩一亡，扩飞AB=8 cm，BC二5 om，则AC=_cm. 4.只用一副三角板可以画出不同的角(小图1于平角)_个. 5.如图2，这是一块手表，早上8时时针、分针的…     

1998年高考数学21、24题别解

理21题:题目略 解法一:如图建立坐标系.以乙平分线为y轴.点O为坐标原点. 依题意知母线段C是抛物线的一段,设方程为犷一ZP、(P>0).(x,(二抓勺,y>0),其中,d、二。分别为A、B的横坐标,P-i刀刀1. 过A作AA,土12于Al,作A月:一x轴于,12,由抛物线定义知:}AA】}~!AN}一3.为二轴,MN的垂直由余弦定理得: IAM}2一IAN}’ IMNIeos艺ANM 17=9 PZ一2·3 户一4或P一2,MN.“一21八M]┌─┐│//│└─┘、_P一3P.一不一. O若,一:则。os艺A、。一粤<。,:.艺ANM是 d钝角,这与已知△AMN为锐角△矛盾. 在Rl△A残M中,}浅M!一了IAMI“一}AA,]…     

圆锥曲线问题的“误区”

误区1概念不清,盲目解答例1到A（2,0）,B（-2,0）的距离和为4的点的轨迹是（ ） （A）抛物线.（B）椭圆.（C）线段.（D）直线.分析易错选（B）.由椭圆的定义知,常数大于|F₁F₂|,避免动点轨迹是线段或不存在的情况,本题|AB|=4,所以点的轨迹为线段     

数学(理工农医类)

2.下列命题中正确的是若”‘一2,‘,,B(2,,,则丽与厂轴正方向的夹角为于l一2’参考公式:如果事件A、B互斥,那么 P(了1十B)=P(了飞)+P(B)如果事件,1、B相互独立,那么 P(IB)=P(A)P(B)如果事件二l在一次试验中发生的概率是尸,那么,,次独立重复试验中恰好发生k次的概率 尸J(k)一己尸乏(1一P)一壬球的表面积公式 万一4介RZ其中尺表示球的半径球的体积公式B·(。·b)2~aZ .bZC.(a+b)·c=a·c+b·cD.若a,b,c为非零向量,且a·b~a·。,则b一c已知钝角a的终边经过点P(sin20,sin4夕),且cos夕~则a为A .arCtan}一省e.,一t二合B .aretan(一l) …     

题库(二十二)

1·已知a,b为正实数,且满足a+b=2.(1)求1+1a+11+b的最小值;(2)猜想1+1a2+1+1b2的最小值,并证明;(3)求1+1an+1+1bn的最小值;(4)若a+b=2改成a+b=2p(p≥1),猜想1+1an+1+1bn的最小值.2·已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标;(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.3·设曲线C:y=x2(x>0)上的点P0(x0,y0),过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1,过Q…