四面体体积公式的变形及其应用

四面体的四个面都是三角形,因此可以将任何一个面叫底面,其体积计算公式为: V=1/3s×h 若将这个公式适当变形,可以解决一些公式难于直接回答的问题。现介绍于后以供参考。将四面体的四个面对应的面积分别用S_1,S_2,S_3,S_4表示,用a_(ij)=a_(ji)(i,j=1,2,3,4),表示S_i与S_j组成的二面角。     

四面体的求积公式

本文将三角形求积公式 S=1/2absinC 在四面体中推广,得到并证明了定理:若四面体中过同一顶点的三个侧面面积分别为 S_1、S_2、S_3且以此顶点为角顶的三面角为α则此四面体体积为V=1/3(2S_1S_2S_3sinα)1/2     

2010年高考江苏数学卷试题及参考答案数学I试题

参考公式：锥体的体积公式：V锥体=1/3Sh,其中S是锥体的底面面积,h是高．     

一个计算肥堆体积的实用公式

为农业学大寨多作贡献,我校开展群众性积肥运动。两天积肥堆十多处。第三天要进行全校性的检查和评比,需要计算各堆肥的体积。各肥堆都是上、下底面均为长方形的拟柱体,若用拟柱体体积公式,则度量较麻烦,计算复杂。我们选用了下面的近似公式来解决问题: v=Qh (1) 式中 v 是肥堆体积的近似值,h 是肥堆高,Q 是肥堆中截面面积。显然,公式(1)使用起来,度量和计算都比拟柱体体积公式简单得多,误差又小,是一个计算肥堆体积的实用公式。下面对误差作出估计: 拟柱体体积公式是 V=h/6(Q_1+Q_2+4Q ) (2) 式中,V 是拟柱体体积,h 是拟柱体高,Q_1 和Q_2 分别是上、下底面面积,Q 是中截面面积。     

四面体的两条性质

定理设△_i、V_i(i=1,2,3,4)表示四面体A_1A_2A_3A_4中,A_i对面旁切球的面积和体积,△_0和 V_0表示内切球面积和体积,则证明:(1)设 A_i 所对面外旁切球半径为 r_i,所对面面积为 S_i,内切球半径为 r_0,四面体体积为 V,则     

怎么导出圆柱体积公式V=sh

一、复习提问,孕伏新知.教师提问:怎样求圆的面积?一般是怎样推导圆面积计算公式的?长方体体积公式一般是怎么表示的?当学生回答出V=a×b×h后,补问:a×b是表示长方体的什么?长方体体积公式还可怎么表示?(V=sh)二、操作演示,丰富感性认识.分:将两个完全相同的用萝卜制成的圆柱中的一个(另一个留作比较用)的底面分成16个相等的扇形.     

一道高考题的推广及其应用

如图一,三棱锥P—ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA、BC 的公垂线ED=h,求证三棱锥P—ABC的体积V=1/6l~2h。这是1987年理科数学高考题第四题,该题可推广如下: 定理如果四面体P—ABC中,PA、BC的长为a、b,PA与BC两异面直线间的距离为h,且PA与BC所成角为θ,那么,该四面体的体积为 V=1/6abhsinθ证明,如图二,以P为顶点作四棱     

欧拉不等式的四面体推广

定理　设四面体A1A2 A3A4 的内切球、外接球半径分别为r和R ,则R≥ 3r(A1A2 A3A4 为正四面体 ) .证明 :设O为外心 ,Ai 所对侧面的面积为Si,O到Ai 所对侧面的距离为ri(i =1 ,2 ,3 ,4) ,四面体的体积为V ,从A1作的高为h ,则R +r1≥h ,两端乘以S1,得S1R +S1r1≥ 3V ,①同理有类似的不等式②、③、④ ,① +② +③ +④得∑SiR +∑Siri≥ 1 2V .而∑Siri=3V ,V =13 r∑Si.于是有R∑Si≥9V =3r∑Si,于是R≥ 3r .欧拉不等式的四面体推广!山东省安丘市7571信箱@邹明…     

棱锥体积计算话思想

<正>求棱锥的体积要涉及两个基本要素:一个是棱锥的底面积;另一个是棱锥的高,无需去考虑棱锥的形状如何,也就是说计算棱锥的体积时可以抛开棱锥的形状,只需观察如何获得棱锥的底面积与高。但是,仅仅只顾棱锥的体积公式V=1/3hS(其中h为棱锥的高、S为棱锥的底面积),计算棱锥的体积有时是会碰壁的。一、转换思想     

球台体积公式的证明

现行统编教材高中数学第二册复习题五有这样类型的题目:“一个球的半径是7cm,用两个平行平面截去两个高为3cm的球缺,求剩余部分(球台)的体积。”这里题中的球台,是一种特殊的球台,即上、下两底是相等的。本文,将研究上、下两底并不相等的球台。已知两个底面半径是r_1和r_2,高是h,推导出球台体积的一般公式。为此,我们建立下述定理。定理设球台的上下底面半径是r_1和r_2,高是h,则球台的体积V是     

球台体积公式的一个简单证法

球台的体积公式是 V=1/6πh(3r_1~2+3r_2~2+h~2 其中r_1、r_2分别为球台上、下底面的半径,h为球台际高。如果把公式变形为 V=1/2h(πr_1~2+πr_2~2)+1/6πh~3=1/2(S_1+S_2)h+V′这里S_1,S_2分别为球台上、下底的面     

正锥体侧面积、底面积与体积的关系

定理1 圆锥侧面积 S_c、底面积 S_d 与体积 V 有关系 S_c~2S_d-S_d~3=9πV~2.证明:设圆锥高为 h,底面半径为 r,则S_c~2S_d=(1/2·2πr·(h~2 r~2))~2·πr~2=π~3r~4h~2     

多面体和旋转体体积的统一公式

表中S和S′,分别表示两个底面面积,S_o表示中截面面积,r和r′分别表示旋转面的两个底面半径,R表示球半径,h表示高本文将证明上面表中的十一种多面体、旋转体的体积公式可以统一成     

由"锥体体积公式"想到的--抛物线围成的曲边三角形面积公式的推导

锥体的体积公式为V=1/3Sh(其中S是锥体的底面积,h为锥体的高).由此可类比地得出抛物线y=ax2(a＞0)与x轴及直线x=m(m＞0)所围成的曲边三角形的面积公式为S=1/3Lm(其中L为x=m时的函数值,即L=am2).     

巧转化 妙求积

题目如图1的多面体中，底面正△ABC的面积是S，A1A、B1B、C1C都垂直于面ABC，且A1A=h1，B1B=h2，C1C=h3．求证：这个多面体的体积V=1/3S。     

圆柱体体积的一种简便算法

圆柱体的体积计算,小学数学课本上是通过把圆柱体切、拼成近似于一个长方体,再由长方体的体积计算公式推导出圆柱体体积的计算公式:V=sh,学生习惯于用圆柱体的底面积乘以高.如已知圆柱体的侧面积和底面半径,求它的体积.若按V=sh的思路进行解答,应先根据底面半径求出底面周长,再由侧面积     

正弦定理的推广

类比推理是一种重要的推理方法。 [例1] 在ΔABC中,三边所对的角分别为A、B、C,则有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC.证明根据ΔABC的面积得1/2 bcsinA=1/2 casinB=1/2 absinC,同除以1/2 abc得将四面体与三角形加以类比。以三角形的边与四面体的面,三角形内角与四面体各面两两所成的二面角的平面角类比,可以得到揭示四面体中各面及棱与相应二面角的平面角的正弦问关系的结论,其数学表达式与正弦理极为相似,证明从四面体的体积入手。     

运用余数知识解题

求斜三棱柱的体积,经常使用以下三种方法:一是利用柱体体积公式V柱体=底面积×高;二是棱柱的体积公式V棱柱=直截面面积×侧棱长(其依据是立体几何,全一册(必修)P56例1所体现的:斜棱柱的直截面把棱柱截成两部分,把下一部分放     

圆柱体表面积简解法的意义

圆柱体表面积等于圆柱的侧面积与两个底面积之和。用公式表示:S=27πrh 2πr~2。在实际计算中,有学生利用乘法分配律把公式变成S=2πr×(R r),计算很简便,但是这个式子的数学意义是什么呢? 我们知道,圆柱体的表面展开得到图①,式子S=2πr×(h r)里的2πr是圆柱体的底面周长,(h r)是圆柱体高与底面半径之和。根据圆面积公式的推导.我们又知道上下两个圆的面积可以转化为长方形面积,且上下两个长方形面积相等。即S_1=S_2,把下面长方形面积放到上面(见图②),那么圆柱体的表面积就转化为长方形ABCD的面积了。式子里     

巧妙测量粮食堆的质量

假设现在仓库中有一堆近似于圆锥形的粮食,如何知道它的质量呢?下面我们就来介绍两种巧妙的方法郾第一种方法我们知道,m=V籽,于是可以把求质量分为两步:1郾求出粮食堆的体积V郾2郾利用小堆求其密度,再利用公式算出m郾首先我们求体积,也有两种方法郾方法1:因为圆锥体积公式为V=13Sh=13πr2h,所以需要求出圆锥的高和底面半径郾由于这两个量都在圆锥的内部,不易测量,我们可以用测量圆锥母线l和底面周长C代替(注意一定要多次测量再取平均值,因为谷堆并不一定规则,而且测量会有误差)郾于是有r=C2π,h=l2-r2姨郾方法2:利用相似体郾我们知道,把…