例谈伸缩变换在椭圆问题中的应用

解析几何中与椭圆相关的问题经常出现.此类问题的常规求解过程复杂繁琐,利用高中数学选修课程中的伸缩变换可以优化计算,降低解题难度.在变换φ:{x'=λx,λ>0,y'=μy,μ>0下,点P(x,y)的对应点为点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.     

高中数学对称问题分类解析

一、点关于已知点或已知直线的对称点问题1.若点P(x,y)关于点(a,b)的对称点为P'(x',y'),则由中点坐标公式得x'=2a-x,y'=2b-y2.若点P(x,y)关于直线L:Ax+By+C=0的对称点为P'(x',y'),则x'=x-2AA2+B2(Ax+By+C),y'=y-2BA2+B2(Ax+By+C)证明∵PP'⊥L,PP'的中点在直线L上,∴Ax'+By'=-Ax-By-2C,y'-yx'-x(-AB)=-1(B≠0)解此方程组便可得前面的结论.三种特例:(1)点P(x,y)关于x轴和y轴的对称点分别为(x,-y)和(-x,y);(2)点P(x,y)关于直线x=a和y=a的对称点分别为(2a-x,y)和(x,2a-y);(3)点P(x,y)关于直线y=x和y=-x的对称点分别为(y,x)和(-y,…     

坐标轴平移 参数方程与极坐标

坐标轴平移诊断检测一、选择题 1.平移坐标轴,把原点移到O'(3,0),则方程3x-4y=6在新坐标系中的方程为( ) (A)3x'+4y'+3=0.(B)3x'-4y'-3=0. (C)3x'-4y'+3=0.(D)3x'+4y'-3=0. 2.平移坐标轴,把原点移到O'(2,1)则方程x2+y2-4x-2y=0在新坐标系中的方程为( )     

应用伸缩变换解几道高考题

<正>新课程在选修4系列的《坐标系与参数方程》中介绍了有关坐标系伸缩变换的概念.定义设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:x'=λx(λ>0)y'=μy(μ>0){的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),则称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.在这种变换下,有性质1直线与曲线的位置关系保持不变;性质2直线l变成l',且kl'=μλkl;     

求点关于直线对称点坐标的一种简便方法

求点P(x0,y0)关于直线L:Ax By C=0(AB≠0)的对称点Q(x',y')的一般思路是解方程组 {y'-y0/x'-x0·(-A/B)=-1……(1) A(x' x0)/2 B(y' y0)/2 C=0……(2)(*) 对于高中学生来说,方程组虽然容易列出,但解起来较困难,特别是系数A,B的数值不巧合时,运算容易出错,学生对这类运算比较畏惧.     

平面曲线的对称变换及应用

定理1 若z=x yi及z'=x' y'i关于z_0=a bi对称,则有变换公式: (1)z'=2z_0-z; (2)x'=2a-x;y'=2b-y 证 考虑点Z(z),Z'(z')和Z_0(z_0),由矢量公式,即z'=2z_0-Z。由公式(1)不难得出公式(2)和(3)。     

非线性系x'=a(t)·xa+b(t)的类线性系性质

讨论非线性系x'=a(t)xα+b(t),证明它与线性系x'=a(t)x+b(t)有不少相同或相近的性质.     

椭圆(双曲线)的切线与割线的关系

在文[1]的启发下,笔者给出三个结论: 结论1设f(x,y)=mx2+ny-1,过椭圆(双曲线)f(x,y)=0外一点P(x0,y0),作该椭圆(双曲线)的切线,设M(x'0,y'0)是切点,则有以下关系:     

完备度量空间中的不动点

使用w距离概念, 证明了在2个完备度量空间中2个新的不动点定理, 其中之一的结果为: 设(X, d)和(Y, ρ)是2个完备度量空间, 设p1是X上w-距离和p2是Y上w-距离. 如果T是一个从X到Y的连续映射和S是一个从Y到X的映射, 对X中所有x, x'和Y中所有y, y'以及 o＜c＜1, 满足不等式p1(STx, STx')≤cmax{p1(x, x'), p1(x, STx), p1(x', STx'),p1(x, STx')/2, p2(Tx, Tx')}和p2(TSy, TSy')≤cmax{p2(y, y'), p2(y, TSy),p2(y', TSy'), p2(y, TSy')/2, p1(Sy, Sy')}. 证明了ST在X中有惟一不动点z和TS在Y中有惟一不动点w. 这2个定理推广了 Fisher和Namdeo等人的不动点定理.     

导数de应用

一、曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f'(x0).例1垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3-3x2-1相切的直线方程是.解由题意可知,所求直线的斜率k=-3.而由y'=3x2-6x=-3,解得x=1.∴切点坐标为(1,-3).∴所求的切线方程是3x+y=0.例2对于函数y=x3+ax2+bx+c,试确定函数的图像有与x轴平行的切线的条件,并确定该函数在R上是增函数的条件.解若函数的图像有与x轴平行的切线,则方程y'=0有实数解;若该函数在R上是增函数,则y'>0.∵y'=3x2+2ax+b,得驻=4a2-12b≥0,即a2≥3b,∴函数y=x3+ax2+bx+c的图像有与x轴平行的切线的条件是a2≥3b.又若y'=3x2+2ax…