一道IMO预选题的另一个结论

1988年前苏联提供的一道IMO预选题是: 给定七个圆,六个小圆在一个大圆内,每个小圆与大圆相切,且与相邻两个小圆相切,若六个圆与大圆切点依次为A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,证明: A_1A_2×A_3A_4×A_5A_6 =A_2A_3×A_4A_5×A_6A_1     

一道IMO预选题探讨

1988年前苏联提供的一道IMO预选题是: 给定七个圆,六个小圆在一个大圆内,每个小圆与大圆相切,且与相邻两个小圆相切。若六小圆与大圆切点依次为A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,证明:     

“现象学认识论”论纲

"现象学认识论"的一般原理主要由三个方面构成:1.认识是两种存在者即认识者和被认识者的存在关系,认识奠基于人对于存在者的存在领悟(理解)和对于存在者的存在筹划;2.认识是一种现象学的反映一构造活动;3.认识主体、认识产物、认识客体既相互关涉又相互独立,认识产物(包括真理)具有二重相对性.     

重心坐标的概念——数学专题选讲(二)

而且,可以证明平面A_1A_2A_3上的点M与满足(1)式的有序三数组之间的对应是——的.在(1)式中对应于点M的有序三数组(λ_1,λ_2,λ_3)叫做点M的(规范)重心坐标.而三角形A_1A_2A_3叫做坐标三角形.按照此定义,容易得到点A_1,A_2,A_3的重心坐标为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)又△A_1A_2A_3的重心G的重心坐标为(1/3,1/3,1/3).满足λ_1:λ_2:λ_3=μ_1:μ_2:μ_3的有序三数组(μ_1:μ_2:μ_3)叫做点M的(齐次)重心坐标,例如(1:1:1)△A_1A_2A_3的重心G的重心坐标.类似于上述二维重心坐标概念,可以给出三维重心坐标乃至一般的n维重心坐标的概念.以三维重心坐标为例,设A_1,A_2,A_3,A_4是空间中四个不在同一平面上的点(即它们是仿射无关的点组,参看[3]或[4]),则对于空间中任意的一个点M,必有     

光圈调节圈投影教具的制作

为帮助学生理解掌握照相机的光圈系数与进光量的关系,我利用自己设计的模拟投影教具收到良好效果,现介绍如下: 一、构图。取坐标原点O为圆心,OA_1为半径(2.7cm)作一圆O,再将圆O分成六等份,分点为A_1,A_2……A_6(图(一))。取OA_1半径,以A_1为圆心作弧OA_2并适度延长,同样分别以A_2、A_3,……A_6为圆心作弧并延长,再用曲线板完成如图形状,即光圈的六个有柄半月形活动瓣,在OA_1的延长线上取OBi=3.3cm,OCi=6.0cm,将有柄半月形瓣固定轴(支点)Bi和活动轴(力点)Ci确定在同一轴     

概率问题解法探讨(续)

三全概率公式的运用全概率公式是初等概率论中一个非常有用的基本公式,它是这样叙述的:设A_1,A_2,…,A_n是样本空间Ω的一个分割,即A_1,A_2,…,A_n两两互不相容,且(?)=Ω(即n个事件A_1,     

竞赛常用知识手册

6．2拉姆赛（Ramsey）定理 拉姆赛定理最普及的说法是： 世界上任意六个人中，必有三个人，两两认识或两两不认识。     

一道华杯赛题的解法

第五届华罗庚金杯少年数学邀请赛有这样一题:一个圆上有12个点A_1,A_2,A_3,…,A_(11),A_(12)。以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点。且各个三角形的边都不相交。问有多少种不同的连法?这是决赛第二试的压轴题,难度颇大 分析 我们把三角形的三边中,至少有二边是非相邻点所决定的线段称为非相邻点三角形,如△A_1A_6A_9,△A_2A_3A_5等(参见图1),易知非相邻点三角形的各边的外侧都有3的倍数个点(即有0个或3个或6个点等)才能符合题意。     

智力宫七例

图中的A_1与A_2,B_1与B_2各有三处不同,请找出哪三处? 答案:A_1与A_2不同处为:树、玻璃、尾部。 B_1与B_2不同处为:帽顶、帽沿、衣服。     

深入开展“六个三”教育活动 推动电大的精神文明建设

“六个三”教育基本涵盖了学校精神文明建设的主要内容,“六个三”教育之间是相互联系、相互促进的.要以开展“六个三”教育来推动学校的精神文明建设和教学、管理等各项工作.     

只用圆规作球的直观图

在中学里,有不少学生对作球的直观图感到很困难。这里。我借贵刊一角,向大家介绍一种作球体的直观图的方法.仅供参考。这种作法,方法简单,使用工具较少。其具体作法如下: 一、用圆规作一辅助圆O(设半径为r_o),并分成六等分。其等分点分别为A_1、A_2、A_3,A_4、A_5,A_6(如图甲)。二、分别以A_1、A_2、A_3、A_4、A_5、A_6为圆心,以辅助圆半径为半径,在⊙O的外侧分别画弧,弧的交点分别为B_1、B_2、B_3、B_4、B_5、B_6(如图乙)。     

拉姆赛数的直观简介

在数学竞赛的试题中,经常会出现叫做“集会问题”的题目。例1.任意六人的集会上,总有三人互相认识或互相不认识。例2.任意十人的集会上,总有四人互相认识或三人互不认识。例3.任意二十人的集会上,总有四人互相认识或互不认识。等等。由这种问题的结构出发,很自然地会提出如下一些问题。例1中提到的六人集会,如果换成七人或五人,有否类似的结果,进一步可问,如果一次集会中要使三人认识或三人不认识,此集会至少需多少人?另外,要使五人认识或五人不认识的集会中,最少要多少人参加呢?一般,如果在一个n人的     

圆内接四边形的几个相关四边形

设A_1A_2A_3A_4为⊙O内接四边形,H_1、SH_2、H_3、H_4分别为△A_2A_3A_4、△A_3A_4A_1、△A _4A _1A_2、△A_1A_2A_3的垂心,我们称四边形_1H_2H_3H_4为原四边形的“垂心四边形”。类似地,我们可以定义一个圆内接四边形的“重心四边形”、“内心四边形”。这三个相关四边形有一些有趣的性质。     

一道数学冬令营试题的推广

第三届全国数学冬令营选拨赛试题第2题:设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4的周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长,并请确定等号成立的条件。本题可推广为: 设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的m(m>l)倍。 n(n≥3)边形A_1A_2…A_n内于C_1。将A_nA_1延长交圆C_2于B_1,     

从六人集会问题谈起

六人集会问题：试证明任何六个人的集会中，总有三个人彼此认识，或者彼此不认识．这是一个数学游戏问题，也可看成一个实际问题．解决这一问题的关键在于通过适当的方法，把它转化为一个数学问题．把六个人看作平面上的六个点，记作A１，A２，A３，A４，A５，A６（如图），两人相识或不相识分别用“实线”或“虚线”相连．显然，为了讨论六个人之间的相识情况，应当考虑每两个点之间的连线是实线还是虚线．为了避免连线重叠的情况，可以假设平面上的六点中没有三个点共线．把任意两点连起来后，一共有C２６＝１５条线段，这样原问题就转…     

比较互斥事件与对立事件

一、互斥事件与对立事件的含义与区别互斥事件的含义:在一次试验中,不可能同时发生的若干个事件.互斥事件的概率加法公式:P(A_1∪A_2∪A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3).对立事件的含义:在一次试验中,不可能同时发生但必有一个发生的两个事件.事件A的对立事件一般都记作A.若事     

对一个数学问题解答的优化

《数学通报》2000年11月号问题1283:P 是正△A_1A_2A_3外接圆上任一点,P 至A_1A_2,A_2A_3,A_3A_1的距离分别为 d_1,d_2,d_3.问:当 P 变动时 d_2~1 d_2~2 d_3~2是否为定值,d_1~4 d_2~4 d_3~4是否为定值,说明理由.上面问题的供题人在《数学通报》2000年12期给出的解答长达2000多字,而下面的解法     

也谈正多边形的充要条件

文[1]、[2]中分别证明了有关正多边形充要条件的两个定理。 定理1 如果凸n边形A_1A_2…A_n满足: 1°A_1A_2=A_2A_3=…=A_nA_1; 2°∠A_1≥∠A_2≥…≥∠A_n那么A_1A_2…A_n是正n边形。 定理2 如果凸n边形A_1A_2…A_n满足: 1°∠A_1=∠A_2=…=∠A_n; 2°A_1A_2≤A_2A_3≤…≤A_nA_1。那么A_1A_2…A_n是正n边形。     

一道极值问题的讨论

一、问题: 本文讨论下列问题: (Ⅰ):设P是凸n边形A_1A_2…A_n上(内部或边界上)任一点,x_i是P到A_iA_(i 1)的距离(i=1,2,…,n,A_(n 1)=A_1),求f(p)=x_1 x_2 … x_n的最大值和最小值,并问何时达到最大值和最小值? 二、特例: 先讨论n=3的特殊情形,此时问题(Ⅰ)转化为 (Ⅱ):在△A_1A_2A_3上找一点P,使它到三边距离和为最大、最小。     

习近平关于高校思想政治教育重要论述的“七个要论”

党的十八大以来,习近平总书记站在时代高度,聚焦培养什么人、如何培养人、为谁培养人的根本问题,对高校思想政治教育进行了多角度、全方位的理论思考,作出了一系列精辟论述,其中最核心的观点可以总结为“七个要论”。一是战略地位论:把高校思想政治教育作为学校各项工作的生命线;二是根本任务论:落实“立德树人”根本任务,构建“德智体美劳”五育并举的人才培养体系;三是发展方向论:坚持“四个服务”和“四个坚持不懈”,牢牢掌握党对高校领导权;四是队伍建设论:坚持做到“三个牢固树立”“四个相统一”和“六个要”,努力成长为“四有好老师”;五是学科自信论,努力构建中国特色哲学社会科学;六是路径方法论:积极运用新媒体新技术,创新思想政治教育载体;七是协同育人论:构建主渠道与微循环相互协同的“大思政”育人格局。