不等式a~2 b~2≥2ab的一个推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ的一个推广及应用魏家忠（阜阳教育学院２３６０１６）若ａ，ｂ∈Ｒ，则ａ２＋ｂ２≥２ａｂ当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．这是高中课本中一个最基本的不等式，它具有这样的特点：左边两项系数之和恰为各项的指数，又是右边项的系数，而右边每个字母...     

不等式a~2+b~2≥2ab的变形及应用

<正> 不等式a2+b2≥2ab有许多变形,利用这些变形可以简便而灵活地解答不同类型的问题. 证在不等式a2+b2≥2ab两边同时加a2+b2得     

a~2+b~2≥2ab的运用

由(a一b)’)o,可得矿+夕妻Zab.运用这个公式可以沟通不等和相等之间的内在联系,实现不等和相等的相互转化.下面举例说明它的运用.①②③4x2 …1+州“‘解方程州拭兴夕 L一卫兰一 1+4艺2一y,=Z, 分析当x一。时,必有y~。,z~0,显然x~y~二一。是原方程组的一组解;当x笋。时,由1+4扩联想到1+4尹)4x,由此可将方程①转化为不等式. 解x一y一二一。显然是原方程组的一组解;当二护。时,必有y尹O,z护0. 由①得4护一y(1+4x,)妻y·4x. 由③知x>0,…x妻y. 同理,由②、①得y)z,由③、②得z妻x.X一y一之。?一,代人①,得二一,一告一原方程组的两组解分别是…     

不等式a~2+b~2≥2ab取等号条件的应用

众所周知不等式a艺十乙’卜2“b当且仅当a=b时取等号.1:面举例说明其应用. 例1.△ABC花条高为h、h。、h。,内切圆半径为:,若h才+hl,+h。=9:.则△ABC为lIi三角形. 证:设△AB口而积为S,则由已知条件得 25 25 259·25 不一+万一+。一=。十b十。,。。、‘:十。、·)(扣;·:)一,·、。+。·。)(;·;·:) /ba、二3十火。十b少、/c刀十.十/\叮当且仅当争异乡二抑一。二·时取等号. …△AB口为正三角形。 例2.解方程:二·‘nZ一‘n(誓一2·)二:.解:方程左边一4〔51一(飞一)勺·〔C。一‘n(梦一)〕..助............. 2簇4 ,万s‘n劣cosL万一劣)…     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

对基本不等式a~2 b~2≥2ab证明的探究

人教版高中数学选修系列4-5《不等式选讲》P5中以定理的形式给出了基本不等式:a2 b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.     

不等式“a~2+b~2+c~2≥ab+bc+ca”的应用

人教版"不等式"里有一道习题:证明不等式"a2+b2+c2≥ab+bc+ca".证明过程如下:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即a2+b2+c2≥ab+bc+ca."a2+b2+c2≥ab+bc+ca"是一个很重要的不等式,有着广泛的应用.     

利用不等式“a~2+b~2≥2ab”求解最值问题

<正>由完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2的非负性,易得它的延伸公式:a2+b2≥2ab(当且仅当a≡b时取等号).这个不等式在求最小值、最大值等问题中有着特殊的应用.现举例如下:     

由基本不等式“a~2 b~2≥2ab”想到的

下面是各类中学数学教材中一个重要的定理: 如果a、b都是实数,那么 a~2 b~2≥2ab (*)(当且仅当a=b时取等号) 笔者对此定理的结构特点很感兴趣,因为a~2 b~2≥2ab=ab ba,对实数a、b来说具有对称美——不等式(*)左右两边字母、项数及次数均相同.由此,极易产生如下普遍化联想。     

用不等式a~2 b~2≥2ab的一个推论证竞赛题

不等式α~2 b~2≥2αb变形为α~2≥2αb-b~2 (1)若b>0,则α~2/b≥2α-b;于是可得。推论:设α、b、∈R, (2)若b<0,则α~2/b≤2α-b,     

运用a~2+b~2≥2ab解方程(组)

<正> 我们知道,由(a-b)2≥0得a2+b2≥2ab,当a=b时,不等式变为等式.在解某些与方程(组)有关的问题时,可根据a2+b2≥2ab构造相应的不等式,然后运用等号成立的条件揭示出新的数量关系,从而找到解题途径.     

利用a~2+b~2≥2ab的变形证明数学竞赛题

一3}eos才)2+(Zlsinil一s)2>》些士互二旦!畔旦些廿竺{兰;里i剑二矍卫~一l..J工 利用aZ十夕>2a合.可推导出一系列变形的不等式.而应用这些变形式又可解决数学竞赛的问题,下面举例说明.+b)2了石石仁严些l生(a,b(R+)卜“不。(二。,一‘卜、5、。,、乃’例、:设今。,证明:?灯牙2万了夔~里竺玉苏联)16一了13sin(必一叨)]’ 2(令J eost}二eos沪,证明:…2习了+?‘歹》2 .JZ哥又2‘不lsint)。sin职)=2·P万玉一十澎犷 2距梦至钊·‘钓’一声.:万了+2澎牙尹.2板. l_,_3、2 忆。一矿13·~I、、矿13/,、I,__、伟工,竹连匀.,k、挤一~—一丁一~一一…     

不等式a~2 b~2≥2ab的八种变式及应用

不等式a2 b2≥2ab是重要的基本不等式之一,对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法,这里介绍它的八种变式及应用,希望能够开拓学生的思维,对同学     

a~2 b~2≥2ab的引申与应用

众所周知,基本不等式是不等式中的一个重要内容,它在求解不等式的有关问题时有着十分广泛的应用,因而受到了大家的普遍重视.但是,对于基本不等式的应用,我们往往局限于公式的本身,而忽略变形引申后所得结果,导致其解题功能得不到充分的发挥.下面以a2 b2≥2ab的变形引申与应用为例,谈谈笔者在这方面的做法与体会,供大家参考.一、变形引申将a2 b2≥2ab的两边同时加上a2 b2并整理得:变形Ⅰ:(a b)2≤2(a2 b2)(a、b∈R,当且仅当a=b时取等号).将(a b)2≤2(a2 b2)的两边同时开方并结合|a b|≥a b得:变形Ⅱ:a b≤2(a2 b2)(当且仅当a=b≥0时取等号).…     

由不等式“a~5 b~5≥a~3b~2 a~2b~3”产生的联想

高中代数教材中有这样一个例题: 已知:a、b任R十,求证: a, b‘》a,西2 aZb,①此不等式具有结构对称、各项次数相等的特点,这就容易使人产生改变等式两边次数的联想: 若a、b任R ,l,n任N,且l镇n,不等式a” b”)a”一‘b‘ a‘白”一‘②能成立吗? 和不等式①一样,运用比较法易证不等式②成立。读者不妨一试. 进一步,如果改变不等式①两边的项数,我们还可以得到这样两个不等式: 如果a、b、c任R ,那么as bs cs》a 3 bc a乙3c abc3③a” b” c”夕a,b“cr arb,e“ a“b?‘,④其中P、夕、:任N,且P 口 :=。. 对于不等式③,只要运用不等式①即能…     

公式a~2 b~2≥2ab的变形及应用

不等式a~2 b~2≥2ab成立的条件是:a,b∈R,当且仅当a=b时等号成立。又当a,b∈R_ 时有:a b≥2(1/ab),当且仅当a=b时等号成立。本文将介绍其变形在解题中的应用。     

a~2+b~2≥2ab的五个重要推论及应用

如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).证明∵a2+b2=…     

不等式a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3的推广和应用

高中代数第二册中有这样的两个不等式:已知a,b∈R~ ,并且a≠b,那么a~3 b~3>a~2b ab~2;a~5 b~5>a~3b~2 a~2b~3。本文将其推广为更一般的不等式。即下面的 [定理] 设a_1,a_2,…,a_n,m,a,k∈R~ ,且m=a (n-1)k,n≥2,则a_1~m a_2~m … a_n~m≥a_1~a a_2~k…a_n~k a_1~ka_2~aa_3~k…a_n~k …a_1~k…a_(n-1)~ka_n~a…(A)成立。(当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取“=”号)。证:对n用数学归纳法。①当n=2时,m=a k,a_1~m a_2~m-(a_1~aa_2~k a_1~ka_2~a)=(a_1~a-a_2~a)(a_1~k-a_2~k)≥0,仅当a_1=a_2时取“=”号。命题成立。     

a~2 b~2≥2ab的两个变形及应用

将a~2 b~2≥2ab两边同时加上a~2 b~2并整理得: 变形I (a b)~2≤2(a~2 b~2) (a、b∈R,当且仅当ab时取等号)。 当a、b∈R~ 时,将a~2 b~2≥2ab两边同除以b得: