导数与切线问题的常见类型和隐患

本文主要研究了高中数学中出现的利用导数求函数切线的问题,主要介绍了已知切点求切线、已知斜率求切线、过曲线上一点求切线、过曲线外一点求切线四种高考中常见的类型。另外还谈到了导数不存在而切线存在的问题,利用导数求圆锥曲线切线等。     

切线长定理的应用

切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．     

求圆锥曲线的切线方程

由圆锥曲线上一个已知点引切线,切线方程的求法在中学解析几何教材中已经比较详细地讨论过。本文的目的,给出若干种由实平面上一个已知点引已知圆锥曲线的切线方程的求法。一、切线存在的解析判别法由已知的圆锥曲线(即非退化二次曲线)上的已知点引切线,切线总是存在的,无须讨论存在性的问题。而由不在圆锥曲线上的点引切线,则切线未必存在,因此,在求切线之前必须先判断切     

导数应用的误区

误区1 曲线的切线与曲线只有一个交点 在圆和圆锥曲线中,曲线的切线和曲线只有一个交点．于是有些同学就认为曲线和切线的交点有且只有一个,但利用导数求出的切线与盐线有时为什么不止一个交点？首先,要理清曲线的切线的定义：     

如何判定直线是圆的切线

圆是初中几何中最重要的一章,而切线一节又是圆这一章中最重要的一节,考试中经常有判定直线是圆的切线这样的问题,那么如何判定直线是圆的切线呢？一、切线的判定方法1.和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.2.和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.3.经过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线.判定切线有三种方法,在几何的证题中常用的是后两种方法,用后两种方法判定切线时,往往需添加辅助线.     

数学史融入导数几何意义教学的新探索——用笛卡尔圆法突破切线的极限定义

将笛卡尔圆法融入导数的几何意义教学,不仅能联系学生熟知的圆的切线,从“形”上动态展示切线的定义过程,与教材“切线是割线的极限位置”定义不谋而合,更能通过笛卡尔圆法用代数方法确定切线位置的复杂性,与极限定义的切线求法形成鲜明对比,让学生理解切线用极限定义的合理性与简洁性.     

例谈曲线的切线方程的类型与解法

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,在近几年的全国高考试题中常有出现．但学生在解这类问题时经常出现偏差或错误．究其原因．主要是对曲线的切线的定义,导数的几何意义等关键知识理解不透,对求曲线的切线方程的关键点把握不准。求曲线的切线方程的关键在于确定切点．只要切点确定．就可求出切线的斜率,从而求出切线方程。     

寻定义之根 探解法之源——相切问题的研究

切线的定义最早产生于古希腊．当时的大数学家阿基米德在《论螺线》中给出了确定螺线在给定点处的切线的方法，数学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中也讨论过圆锥曲线的切线．但这些都是把切线看作与曲线只有一点接触且不穿过曲线的“切触线”，曲线都在切线的同旁这与初中教材圆的切线定义相符合，是静态的切线观．近代微积分的诞生，赋予切线新的定义和应用，大数学家牛顿在他的老师巴罗的基础上提出了切线的近代定义，即把一般曲线的切线定义为割线的极限位置，并由此得到了切线斜率的导数求法，这是动态的切线观．切线从而有了新的数学和物理意义，如切线的斜率表示曲线在切点处的瞬时变化率，切线是在切点处最逼近曲线的直线，切线表示沿曲线运动的物体在某个时刻的运动方向等．近代切线的定义关注的是曲线在微小局部“相切”的性质，所以切线可以与曲线的某一微小局部相切，又同时与曲线相交于其他点，也可以“穿过”曲线，即曲线在其切线的两旁．     

立足圆 面向高考——例析圆的相关定理在解题中的应用

一、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等．这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．     

导数的几种常见用法

一、利用导数的几何意义解决有关切线的问题 利用导数求曲线上某点的切线方程,通常都是先求出该点的导数,即该点处切线的斜率,再由点斜式写出切线方程.若曲线上点x0处的导数不存在,由切线定义可知切线方程为x=x0.另外,"曲线上点P处的切线"与"过点P的曲线切线"是两个不同的概念,要注意区分,这是个易错点.     

曲线的切线与方程“等根”间的关系

对曲线切线的求法,绝大部分是用导数作为研究的工具．利用“等根”与一般曲线切线的关系,给出了用方程“等根”求曲线切线的具体方法,介绍了曲线切线的概念以及用方程“等根”刻画曲线切线的基本思想,推出了直线与三次函数图像相切的充要条件．     

曲线切线定义的演变

<正>"曲线的切线"是中学数学中一个基本的、重要的概念.教材中对切线定义的给出,是根据学生的认知情况逐步深化的,和历史上切线定义的演变基本上是一致的.本文对切线定义的演变过程作一些肤浅的研究.一、欧几里得切线定义关于切线的定义,最初在初中教材圆的知识中出现.圆的切线定义是:在平面内,和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线.在高中教材苏教版必修2解析几何中,讲直线与     

圆锥曲线的切线型直线、切线作图

本文将证明关于圆锥曲线切线型直线的一个结论,进而得到圆锥曲线的切线型直线及切线的作图方法.     

关于曲线之切线的求法

曲线的切线是高考命题频率较高的知识点之一。《平面几何》中圆的切线、《解析几何》中圆锥曲线的切线、应用导数中求曲线的切线,经历了从一般到特殊,从低级到高级的认知过程。本文主要从求法的角度整合对各阶段切线的认识、理解,从而灵活地掌握求曲线的方法。     

小议曲线的切线方程

曲线的切线方程是高考必考的一个重要的知识点.但是,我在教学过程中发现学生求曲线的切线方程时,对曲线的切线的概念理解不透彻,产生漏解和错解的现象.我们在初中平面几何中学过圆的切线,它的定义是:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切.此时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线.它的切线的定义并不适用于一     

浅谈判定切线的证明方法

在"圆"的学习中,关于判定切线的证明尤为重要,对很多学生而言也是一个难点.下面我将多年来相关的教学心得总结出来,抛砖引玉,供大家参考.切线的定义:直线和圆有一个公共点,这时我们说直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.切线判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.根据切线的定义及其判定定理,我将判定切线的证明分为三种情况.情况1:直线与圆有公共点,并已在     

曲线的切线面面观

“曲线的切线”是实施新教材以来新加深的概念之一,同学们对切线的认识是逐步深化的,最初用和圆只有一个公共点的直线来定义圆的切线,接着用判别式为零判别直线与二次曲线相切,而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线,切线与曲线的交点可以不止一个,就不再用交点个数来定义,而是用割线的极限位置来定定义的．本文重点对曲线切线的定义进行剖析。对常见认识误区进行释义,并对常见的二次曲线的切线方程的求法进行了探讨,应该对整体认识曲线的切线的概念具有重要意义．     

切线长定理的潜能开发

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．即如图1,PA、PB为⊙O的两条切线,A、B为切点．由定理可知PA=PB,∠1=∠2．而对此图稍加变化,又会出现很多的结论,这也是近几年的中考热点问题。     

曲线与其切线关系误点辨析

正在高中数学学习导数时,经常会碰到求函数的切线方程这一问题,主要做法是函数在切点处的导数值等于切线的斜率.而对于切线的理解,由于受圆和圆锥曲线切线(圆与圆锥曲线的切线:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一侧的直线叫切线)的影响,同学们对于切线的认识存在着许多的误解,本文就常见的误解加以一一辨析,希望起到明辨是非的作用.     

“在”与“过”，有所不同

曲线在某点处的切线方程与曲线过某点的切线方程不同,在解题过程中,这是一个易混点．求曲线的切线方程时,首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上,可用求切线方程的一般方法求解;若不在曲线上,可先设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标或切线斜率,从而得到切线方程．