整数的平方问题和非平方问题

文章通过几个例题 ,介绍了一些适合中学生练习的 ,要求证明某些数一定是整数的平方或一定不是整数的平方问题的常用解法     

整数的平方问题和非平方问题

文章通过几个例题，介绍了一些适合中学生练习的，要求证明某些数一定是整数的平方或一定不是整数的平方问题的常用解决。     

运用“最小数原理”解决数论问题

数论中有些问题的证明非常“难”,原因在于其外延小,而内涵丰富。“最小数原理”作为自然数理论的最基本原理,有着重要的应用价值。     

例说新定义趣味自然数的解法

新定义趣味自然数问题,是近年来各种能力测试及竞赛的热门考点,这种题型给出一定规划下的定义(如“漂亮数”、“吉祥数”、“幸运数”、“平方舞伴数”等),要求找出符合这一规则的趣味自然数是哪些?有多少个?有什么性质?学生在解答这类题目时往往感到比较困难,其实,只要深刻理解了题目中新定义的含义,发现新定义的一些性质,并以此为依据,努力探索,准确推理,问题就可迎刃而解.下面举例说明.例1一个自然数若能表示成两个整数的平方差,则称这个数为“智慧数”.1,2,3,…,98共98个自然数中,“智慧数”的个数是.(1998年全国初中数学联赛试题改编)…     

激发学生探索动机 培养学生发现能力

由省教材编审室编写的初中寒假作业《代数》中有这样一道带“”的题：有一个自然数,它与１６８的和恰好等于某数的平方;它与１００的和又等于另一个数的平方,你能找出这个自然数吗？这道题对于初一学生来说确属一道难题,即使看看所附的参考答案,也是有一定困难的．虽则如此,笔者认为,这是一道创设问题情境,培养学生探索精神和发现能力的好题．其价值在于如何启发学生自己完成,并从中发现自然数之间的一种关系．设这个自然数为ｘ,它与１６８的和为ｍ２,与１００的和为ｎ２,则１６８＋ｘ＝ｍ２,１００＋ｘ＝ｎ２于是ｘ＝ｍ２…     

问题解答与“解证明题”

常州市的朱叶涛等同学来信问:为什么“连续7个自然数,各数平方的和能被7整除?”这个问题讲完整了应是:“证明连续7个自然数,各数平方的和能被7整除.”"证明"也称"论证",是根据已知真实的判断来确定某一     

两位数平方的简单算法

在数学计算中,常遇到求两位数平方的问题。小学生除了对常用的10、11、1215、25等数的平方记住了以外,其他的就只好用传统的竖式计算法计算。在计算过程中,需要“记数”、“记位”和“进位”,有些烦琐。     

对“百数问题”的再改进

所谓“百数问题”,是指: “在1～100这一百个自然数中,任取76个,证明一定存在四个数,其中有两个数之和等于另外两个数之和.” 文[1]将76改进为18.本文指出,18还可减为16. 命题 在1～100这一百个自然数中,任取16个,则一定存在四个数,其中有两个数之差等于另外两数之差(“差”的意义是指大数减去小数之差). 分析:为了证明这个命题,我们先规定一些术     

基于核心素养教学理念的教学设计——以“连续自然数平方的求和公式”为例

为解决新教材中例题“连续自然数平方的求和公式”的证明缺乏发现、猜想的过程这一问题，文章探究了学生知识水平下可以实现的猜想路径，并开发了基于核心素养理念的教学设计.研究一方面是对教材的有效补充，另一方面也为培养学生发现、猜想的能力提供一定的参考.     

巧用平方策略解求值题

乘方与开方是两种互逆运算．解某些与二次根式有关的求值题时,巧用平方策略,可化繁为简、变难为易．（1993年“希望杯”初二数学邀请赛试题）解已知两等式分别平方,得例2若的值为_____（1998年黄冈市初中数学竞赛试题〕（1994年“缙云杯”初二数学邀请赛试题）解已知等式两边平方,经过适当变形,得例4已知p、q为有理数,满足。的值是（）（1997年安徽省初中数学竞赛试题）q、q为有理数,练习题（1994年“缙云杯”初二数学邀请赛试题）2．若x＝则-1的值是_________＿．（1993年四川省初中数学竞赛试题）巧用平方策略解求值题@安义人…     

利用熟悉化原则解初中竞赛题

本文以初中数学竞赛中的解方程问题为例,介绍利用“熟悉化原则”将一些特殊方程,化为初中生所熟知的方程(组)解题的技巧.本文的例题皆选自近年各级各类数学竞赛. 1.利用非负性 对某些可化为完全平方式的和为零的形式的方程,可利用“完全平方式的非负性”     

速算特殊三位数的平方

在小学,同学们就已学习过求一个数的平方;上了中学,书中经常有一些要求计算平方的题目,如果遇到较大的数的平方,直接计算比较麻烦,这样不但浪费时间,而且有时可能导致错误。在这里,我向大家介绍一种速算特殊三位数的平方的方法,这个“特殊”指的是各数位上的数是相同的,如222,999等。     

巧算平方值

初二的数学计算题,常常会涉及到求一个数的平方值。对于求20以内自然数的平方值,我们一般都能马上写出结果。因为小学时,老师就要求我们把20以内的平方值列一个表,并将它背熟。但遇到大于20的自然数时,我们就只能按乘法法则的步骤在草稿纸上用竖式演算。这时,往往因数值比较大,一不小心就会     

完全平方问题中字母数值的求法

初中代数第二册 P_(25)第4题是一个完全平方问题,这题有相当部分学生束手无策或做错,完全平方问题,课本上出现较少,但在考试、竞赛时有出现.本文拟对完全平方问题中字母数值的求法作些探讨.一利用完全平方式的定义求解     

等差数列平方求和的计算公式

本文利用数列求和中常用的方法——“拆项求和法”,把自然数平方求和问题n∑ k=1 k^2推广到k为等差数列的情形,给出一个实用的计算公式,从而得到一类求和问题的一个统一表达式。     

自恋数

自然数有许多奇妙的性质,曾留下许多扑朔迷离、悬而未决的问题,构成了数论朗理论。在自然数家族中,还有一类正整数,它们的各位数字的立方和与其本身相等,这样的数叫做“自恋数”.如     

最小数原理

我们知道在一个有限数集中必有一个最小数;而在无限数集中有时却不一定有最小数.在一个仅由自然数组成的数集中,则不论这个集合是有限的还是无限的,必定有一个最小的数.这是自然数的一个重要性质,称之为最小数原理.最小数原理自然数的非空集合S中必有最小数存在.在数学中(特别在高等数学中)常要用到这一原理来证明一些命题.从逻辑上讲最小数原理和数学归纳法是等价的,但从解决问题的模式上看它们是各不相同的.一般地说,数学归纳法较多用来证明和自然数有关的肯定性命题.而最小数原理既可以证明肯     

线段平方问题的证法

“线段平方问题的证明,是平面几何中的一种重要题型.下面将举例概述这类问题的证法.一、应用勾股定理例1 在△ABC 中,∠C=90°,M 是     

浅析非负数和非分数的和

非负数即非负的实数,也就是大于等于0的实数.在初中数学中,学过的非负数有a2、|a|和√a.即a2≥0、|a|≥0、√a≥0(a≥0).由此可以看到,平方最小的数是“0”,绝对值最小的数是“0”,算术根最小的数是“0”.非负数和非负数的和渗透到初中数学的很多方面:化简、求值、证明.涉及到整式、分式、方程、三角函数、计算等多个方面的知识,我们教师在教学中一定要从一开始就引起高度重视,让学生把这一知识点学精学透、应用自如.     

初中数学中的“双胞胎”现象

数学是一门充满智慧的学科。它不仅有一题多解的情形,也存在一题多果的现象。在初中数学中就有些一题两果的问题,我们且称之为“双胞胎”现象。究其成因,有以下几种：一、由概念产生的“双胞胎”。如平方根的定义：一般地,如果一个数的平方等于ａ,这个数就叫做ａ的平...