第36届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1995-03-27) 一、求不能表示成|3~a-2~b|的最小素数p,这里a和b是非负整数。     

竞赛常用知识手册

数论部分1　整除1.定义对于整数a、b(b≠0),存在整数q,满足a=bq就叫做a能被b整除,记作b|a.其中a叫做b的倍数,b叫做a的约数(因数).若b≠±1,则b叫做a的真约数.若a不能被b整除,则记作ba.如果at|b,at 1b,t∈N,记作at‖b.2.关于整除的一些简单性质(1)b|0,±1|a,a|a(a≠0).(2)若b|a,     

一道波兰数学竞赛题的推广

2003年波兰数学竞赛有如下一道试题:设p是质数,整数a,b,c满足0相似文献   

数学奥林匹克初中训练题(65)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 42分 )1.设a、b是实数 ,且 11+a -11+b=1b -a.则1+b1+a等于 (　　 ) .(A) 1± 52 　　　 (B)±1+52(C)±3 -52 (D) 3± 522 .适合于 (y -2 )x2 +yx +2 =0的非负整数对 (x ,y)的个数是 (　　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 4图 13 .如图 1,凸五边形ABCDE内接于半径为 1的⊙O ,ABCD是矩形 ,AE =ED ,且EB和EC把AD三等分 .则此五边形ABCDE的面积是 (　　 ) .(A) 33 　 (B) 32 　 (C) 3　 (D) 5 344.若关于x的不等式 |x +a|≥ |x -3 |的解中包含了“x≥a” ,则实数a的取值范围是 (　　 …     

1990年西班牙数学奥林匹克试题与解答

到目前为止,西班牙数学奥林匹克已举行了28届。每届有两轮,跨年度进行。这里提供的是1990年下半年举行的第27届第一轮的试题,根据前苏联《量子》的俄文稿译出,部分解答参考了《西班牙数学奥林匹克》(OLIMPIADA MATHEMATICA ESPA(?)OLA)。第一天 1.设a,b,c为直角三角形的边长。证明,若这些数是整数,则其乘积abc能被30整除。证明整数a,b,c为直角三角形的三边长,则有c~2=a~2+b~2(不妨设c为斜边)。(1)若a,b中有偶数,则2|ab,否则2|c,所以2|abc;(2)若a,c中有3的倍数,则3|ac,否则b~2=(c-a)(c+a)能被3整除,因为3是素数,所以3|b,因此有3|abc;(3)若5不整除a,b,c中的     

你会解答吗?

初一年级1.已知方程（2a＋1）x＝1995无解，则a＝2．已知|a|＝2，|b|＝5，则a＋b＝（A）7；（B）－3；（C）3；（D）±7或±3；3．如果单项式－1995a2b2n＋1和1996am＋1b7是同类项，则（2m－n）1997＝4．求证：3＋32＋33＋…＋31996．初二年级1．已知2a－3b－12c＝0，a—2b－4c＝0（c≠0），则2．若x2－3x＝－9，则x3＝3已知a为整数，试求的最大整数值和最小整数值．4．三个人单独做某一件工作分别需a、b、c天，如果他们一起做，则完成工作所需要的天数是初一年级1.当2a＋1＝0,即时原方程无解2．因为|a|＝2，|b|＝5，故a＝±2，b＝±5，选…     

江苏省第十五届初中数学竞赛第1试试题及解答

初一年级一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.1.在-|-3|3,-(-3)3,(-3)3,-33中,最大的是(　　)(A)-|-3|3　　　　(B)-(-3)3(C)(-3)3(D)-332.“a的2倍与b的一半之和的平方,减去a,b两数平方和的4倍”用代数式表示应为(　　)(A)2a 12b2-4(a b)2(B)2a 12b2-a 4b2(C)2a 12b2-4(a2 b2)(D)2a 12b2-4(a2 b2)3.若a是负数,则a |-a|(　　)(A)是负数　　　(B)是正数　　　(C)是零(D)可能是正数,也可能是负数4.如果n是正整数,那么表示“任意负奇数”的代数式是(　　)(A)2n…     

2003年山东省"KLT快灵通杯"初中数学竞赛

一、选择题 (每小题 6分 ,共 4 8分 )1.如果a、b、c是非零实数 ,且a b c =0 ,那么 ,a|a| b|b| c|c| abc|abc|的所有可能的值为(　　 ) .(A) 0　 (B) 1或 - 1　 (C) 2或 - 2　 (D) 0或 - 22 .如果自然数a是一个完全平方数 ,那么 ,与a之差最小且比a大的一个完全平方数是 (　　 ) .(A)a 1(B)a2 1(C)a2 2a 1(D)a 2a 13.甲、乙、丙三人比赛象棋 ,每局比赛后 ,若是和棋 ,则这两人继续比赛 ,直到分出胜负 ,负者退下 ,由另一人与胜者比赛 .比赛若干局后 ,甲胜 4局、负 2局 ;乙胜 3局、负 3局 .如果丙负 3局 ,那么 ,丙胜(　　 )局 .(A) 0…     

联系小学实际 简介整数的性质(一)

一、约数和倍数 1.整除整数a除以自然数b,如果能够得到整数q,这时,就叫做b能整除a(或者a能被b整除)、记作b|a(或者a|b)。如果b不能整除a,记作b(?)a。小学数学教材在讲整除概念之前就提出:“在讲数的整除时,我们说的数,一般只指自然数,不包括0。”然后提出:“数a除以数b,除得的商正好是整数而没有余数,我们就说,a能被b整除。”按照这个定义,我们就不能判断0能不能被2、3等数整除,而按照前一定义,就能作出肯定的判断。     

高中数学基础训练题（3）

1.下列命题是真命题的是 (　　 )1 a∥b 存在唯一的实数 λ,使 a=λb;2 a∥b 存在不全为零的实数 λ,μ,使 λa+μb=0 ;3a与 b不共线 若存在实数 λ,μ,使 λa+ μb=0 ,则 λ=μ=04 a与 b不共线 不存在实数λ,μ,使λa+ μb=0( A) 1和 4　 ( B) 2和 3　 ( C) 1和 2　( D) 3和 42 .设 a,b为非零向量 ,则下列命题中 ,1 | a+ b| =| a- b| a与 b有相等的模2 | a+ b| =| a| + | b| a与 b的方向相同3| a| + | b|≤ | a- b| a与 b的夹角为钝角4 | a+ b| =| a| - | b| | a|≥ | b|且 a与 b方向相反真命题的个数是 (　 )( A) 0　 ( B) 1　 (…     

高二上学期数学期末自测题

一、选择题(每题5分,共40分)1.设集合A={x||4x-1|≥9,x∈R},B={x|x+x3≥0,x∈R},则A∩B=().A(-3,-2];B(-3,-2]∪[0,5/2];C(-∞,-3]∪[5/2,+∞);D(-∞,-3)∪[5/2,+∞)2.若a1b和|1a|>|1b|均不能成立;B不等式a-1b>1a和|1a|>|1b|均不能成立;C不等式a1-b>1a和(a+1b)2>(b+1a)2均不能成立;D不等式|1a|>|1b|和(a+1a)2>(b+1a)2均不能成立3.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=53x+54的距离中的最小值是().A17304;B8534;C210;D3104.已知双曲线x2-y2/2=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上MF1…     

广义Logistic方程的全局吸引性

本文研究推广的Logistic方程Xn 1=Xnen^r(a-hx(n-k)-x(n-k)^2,n=0,1,2…)其中|rn|是非负实数列,k≥0整数,a＞0,b＞0。给出了上述方程的正平衡点是全局吸引子的一族充分条件。     

一个绝对值恒等式的运用

命题　已知 a,b∈R,则| a| | b| =max{| a b| ,| a- b| }.证明　若 ab≥ 0 ,则| a| | b| =| a b| ,此时 | a b|≥ | a- b| ;若 ab<0 ,则 | a| | b| =| a- b| ,此时 | a b| <| a- b| .∴对于任意的实数 a,b,都有 | a| | b|=max{| a b| ,| a- b| }.下面举例说明命题中所述恒等式的运用 .例 1　解方程| 2 x- 1 | | x- 2 | =| x 1 | (x∈R) .解　由命题知 | 2 x- 1 | | x- 2 |=max{| 3 x- 3 | ,| x 1 | }=| x 1 | ,∴ | x 1 |≥ | 3 x- 3 | ,两边平方整理得 2 x2 - 5x 2≤ 0 ,解得　　 12 ≤ x≤ 2 ,∴原方程的解集是 {x…     

完全平方数的一些判定方法

判定某一整数是不是完全平方数的问题,在数学竞赛中常有所见.对这一问题,本文将通过典型例题,介绍几种最常用的方法. 在解题过程中,我们将随时使用下列各性质: 1°(a,b)=(a-bq,b),q∈Z. 2°若(a,b)=d,a=da_1,b=db_1,则(a_1,b_1)=1. 3°若(a_1,b_1)=1,q=1,2,3,…,m,P=1,2,…,n,则(a_1a_2…a_m,b_1b_2…b_n)=1.特别地,若(a,b)=1,则(a~m,b~n)=1. 4°若(a,b)=1,a|bc,则a|c. 5°若(a,b)=1,a|c,b|c,则ab|c. 6°大于1的整数a可唯一地表成:     

第36届IMO预选题解答(上)

代数部分 1.(俄罗斯)本届IMO第2题。 2.(瑞典)设a,b是非负整数,且满足ab≥c~2,其中c是整数。证明:存在数n,及整数x_1,x_2,…,x_n;y_1,y_2,…,y_n,使得 sum from i=1 to n(x_i~2)=a,sum from i=1 to n(y_i~2)=b,sum from i=1 to n(x_iy_i)=c。 证明 将上述问题简记为(a,b,c)。易知,命题对于(a,b,c)成立的充分必要条件是对于(a,b,-c)     

2004年高考数学模拟试题(四)

一、选择题: 1.若集合M={y|y=2-x},P={y|y=x-1},则M∩P=(　　). A.{y|y>1}　　B.{y|y>0}　　C.{y|y≥1}　　D.{y|y≥0} 2.设p:|x|>1,q:x2 x-2>0,则┐p是┒q的(　　). A.充分非必要条件　　B.必要非充分条件 C.充要条件　　D.既非充分又非必要条件 3.等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a7成等比数列,则a1 a3a2 a4=(　　). A.23　　B.34　　C.56　　D.1 4.已知△ABO中,OA=a,OB=b,当a2=a·b时,△ABO一定是(　　). A.直角三角形　　B.等腰三角形　　C.等腰直角三角形　　D.锐角三角形 5..设a、b是两条不同直线,α…     

“希望杯”中的思想方法(初一、初二)

第十五届(04年)“希望杯”全国数学邀请赛涉及的内容多,范围广,题型新颖,渗透了数形结合、整体(代换)、换元、配方等思想方法.现以第十五届“希望杯”试题为例说明. 1.特殊值法 例1 已知a,6,c,d都是整数,且|a b| |b c| |c d| |d a|=2,则|a d|=______.     

在a^2与（a＋1）^2间至少有二个素数

本文依据同余理论将λ 1(λ≥1)个连续整数构成的整数段D[b]λ={b,b 1,Λ，b λ}(b∈Z)划归为模πn′＝P2P3ΛPn的最小非负完全剩余段系D[Bn]λ，并引进了“n维筛法”，从而证得本文主要结论：在a^2与（a 1)^2间至少有二个素数。     

巧用a~(1/2)的两个非负性解题

a具有两个非负性 :(1 )被开方数非负 ,即 a≥ 0 ;(2 )算术平方根非负 ,即a≥ 0。灵活应用这两个性质可以巧解许多问题。例 1　实数 a满足 |1 992 - a| a- 1 993=a,那么　 a- 1 992 2的值是(　　 )。(A) 1 991 ;　　 (B) 1 992 ;(C) 1 993;　　 (D) 1 994。解 :由被开方数非负有 :a- 1 993≥ 0 ,∴a≥ 1 993,则 1 992 - a<0。此时已知等式或化为 (a- 1 992 ) a- 1 993=a,∴ a- 1 993=1 992 2 ,∴ a- 1 992 2 =1 993,∴应选择 (C)。例 2　已知 a、b、c为三角形的三边 ,且 a、b满足 a- 1 b2 - 4 b 4=0 ,则 c的取值范围是。解 :已知等式可化…     

“不包括0”是有道理的

在一般的数学书里,关于数的整除的定义是:一个整数 a 除以一个自然数 b,如果能得到整数商q,使 a=bq,那么,我们就可以说 a 能被 b 整除。可用式子表示为 a(?)b 或 b|a。但小学数学