一道立意新颖的中考题的多种解法

<正>题目(2015年盐城市中考题)如图1所示,一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米.设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米.现有一只小猫睡在台阶的MN这一层上晒太阳.(3^(1/2)取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米?(2)过了一会儿,当α=45°时,问小猫能     

一个复数命题的推广

文 [1 ]得到如下命题 (本文称命题 1 ) :命题 1　 z∈ C且 | z| =1时 ,方程 zn z=1有解当且仅当 n=6 k- 1 (k∈ Z) ,且其解为 z=12 ± 32 i.本文将命题 1推广得下面的命题 :命题 2　复数 z,z0 满足λ| z0 | =| z| =1(λ>12 ) ,复数 A=12 λ2 - 14i,记 argz0 =θ,arg A=θ1 ,则方程 zn z=z0 . (*)当且仅当 n(θ θ1 ) =(θ- θ1 ) 2 kπ成立时 (n,k∈ Z) ,方程 (*)的一个解为 z=z0 A;当且仅当 n(θ- θ1 ) =(θ θ1 ) 2 kπ成立时 (n,k∈ Z) ,方程 (*)的一个解为 z=z0 A.证明　∵ λ| z0 | =| z| =1∴ | zn| =1 ,| z0 | =1λ.…     

原子跃迁(高三)

1.发生跃迁的原子是一个还是一群? 例1 有一个氢原子处于量子数为n=3的激发态,则该氢原子最多能辐射几条谱线.其中频率最低的光的波长为多少米.在图1中标出. 解 (1)2条.3→2,2→1.如图     

因地制宜巧测高

测高问题近几年来倍受中考命题者的青睐,而且测量的方法五花八门,绚丽多彩。本文以近年来中考题为例进行简单的介绍。一、利用直角三角形的边角关系例1如图1,在离铁塔150m的A处,用测角仪测得塔顶仰角为30°,已知测角仪高AD=1.5m,则铁塔的高BE=_(——)(精确到0.1m.参考数据:(?)=1.414,(?)=1.732)(辽宁省大连市)     

例谈对命题进行否定

已知命题 p,求非 p,即对命题 p进行否定 ,是进一步学习后续章节知识的基础之一 .当 p是简单命题时 ,求非 p较易 ,但当 p为复合命题时 ,就需先分清 p的命题形式 ,再求非 p就较易了 .本文就如何对命题进行否定给予探讨 ,供大家参考 .1　简单命题的否定例 1　写出下列命题的否定 :( 1 )菱形的对角线互相垂直 ;( 2 ) 2是无理数 ;( 3) N {x∈ R| x>- 1 };( 4 )对任意实数 x,均有 x+ 1 >x;( 5)存在一个实数 x,使得 x2 + 2 x+ 3≤0 .解　原命题的否定分别是 :( 1 )菱形的对角线互相不垂直 .( 2 ) 2不是无理数 ;( 3) N {x∈R| x>- 1 };( 4 )存在一…     

高考函数命题新趋势

函数在每年高考试题中都占有相当大的比重,从2004年高考题目中又可见到有拓宽函数命题领域的趋向.本文浅析高考函数命题的新趋势.一、三次函数闪亮登场由于导数的出现使三次函数问题呈现出新奇的亮点.【例1】已知函数f(x)=ax3-3x2-x-1在R上是减函数,求a的取值范围.解:由f(x)x∈R是减函数.故f′(x)=3ax2-6x-1<0当3ax2-6x-1<0]a<0且Δ=36 12a≤0∴a≤-3,即a∈(-∞,-3).【例2】已知函数f(x)=ax3 bx2-3x在x=±1处取得极值.(Ⅰ)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.解:(Ⅰ)f′(x)=3ax…     

"命题"中几个问题的教与学

命题有关内容中的基本语言、基本方法是为进一步学习做准备的.但它逻辑性强又抽象,学生学习时常常产生一些思维误区.现举例浅析.1“命题概念”的教与学学习误区没有真正理解“能判断真假”的含义.例1下列语句:①4>3;②2是有理数吗?③x2=1有一个根x=1;④未来多么美好!⑤x>1.其中是命题的是().(A)①③(B)①③⑤(C)③④⑤(D)①③④⑤.错解选B.误区分析选B的把“x>1”看作命题,误认为x的范围已确定,故是命题.思路引导x的值在未给定前,是无法判断“x>1”的真假的.教学建议通过举例,教师引导、学生讨论,帮助学生真正理解何为“可判断真假”,肯…     

一道春季高考题的思维层次及启示

20 0 3年北京春季高考 (理工农医类 )数学试题第 12题 :在直角坐标系 x Oy中 ,已知△AOB三边所在直线方程分别为 x=0 ,y=0 ,2 x+3y=30 ,则△ AOB内部和边上整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点 )的总数是(　 ) .(A) 95　 (B) 91　 (C) 88　 (D) 75笔者以此题作为高三课堂思维训练题 ,启发学生一题多解 ,结果发现思维层次繁简差异很大 !学生从中真正体会解高考选择题时“强攻不如智取”.图 1解法 1　 (常规思维 :繁解 )如图1所示 ,讨论如下 :(1)当 x=0时 ,由 2 x+3y=30知 y =10 ,故此时满足条件的整点数为 :10 +1=11;(2 )当 x=1时 ,由 2 …     

三角应用题的类型及其解题思路

一、测量问题解决测量问题 ,一方面要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语 ;另一方面要分清谁是测量者与被测量者。例 1 .如图 ,在测量塔高 AB时 ,选择与塔底在同一水平面的同一直线上的 C、D两处 ,用测角仪器测得塔顶 A的仰角分别是 30°和 60°。已知测角仪器高 CE=1 .5米 ,CD= 30米 ,求塔高 AB(精确到 0 .1米 )。解 :在 Rt△ AGE和 Rt△ AGF中 ,∠ AEG=30°,∠ AFG= 60°,∴ EG=AGtg30°,FG=AGtg60°,这时 CD=EF=EG- FG=AGtg30°- AGtg60°,即 30 =AG (1tg30°-1tg60°) ,解之得 AG=1 5 3≈ 2 6.0。∴ AB=A…     

一个三角命题的探讨

文[1]中介绍了两个三角命题:命题1若sin3θ-cos3θ=-1,则sinnθ-cosnθ=-1(n为正奇数).命题2若sin3θ cos3θ=1,则sinnθ cosnθ=1(n为正整数).笔者阅后深受启发,继续探讨发现一、命题1是命题2的特例(在命题2中用-θ换θ同时令n为奇数就得到命题1).二、命题2可以推广为:命题3若sinmθ cosmθ=1(m为正奇数),则sinnθ cosnθ=1(n为正整数).证明当m=1时,sinθ cosθ=1,∴sinθcosθ=0,∴sinθ=0cosθ=1或csionsθθ==10.∴sinnθ cosnθ=1.当m≠1时,∵sinmθ≤sin2θ,cosmθ≤cos2θ,∴sinmθ cosmθ≤sin2θ cos2θ=1.当且仅当sinmθ=sin2θco…     

一道三角问题的命题寻根

教材是教育专家集体智慧的结晶,是全国各省市高考命题的重要来源之一.将教材中的例题或习题进行纵向、横向深入探究、挖掘,命制出全新的题目,是高考命题回归教材理念的重要体现.图1例如图1所示,已知△ABC中,∠BAD=30°,∠CAD=45°,AB=3,AC=2,则BD DC=.正弦定理是解斜三角形问题的重要工具之一,问题条件中如果给出两边及一边的对角,即可应用此定理解题.本题的求解关键在于合理利用＂两角互补、正弦相等＂的结论进行等价转化.在此题根的基础上解答题目就显得清晰自然了.在△ABD中,由正弦定理得BD sin∠BAD=AB sin∠ADB.     

2006年湖北卷第10题的解法探究及应用

题目:关于x的方程(x~2-1)~2-|x~2-1| k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根,其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3分析:从方程的整体来看,可通过参数替换,将其转换为二次方程的结构t2-|t| k=0(令t=x2-1),但其含有绝对值,若采用分类讨论来去绝对值,再由二次方程实根分布的知识来处理,势必很烦琐,倘若考虑方程实根的几何意义,采取数形结合,便可迅速获解.图1解:令t=x2-1(t≥-1),则原方程可化为t2-|t|…     

以n=k到n=k+1的过渡

证明与正整数有关的命题时,常用数学归纳法,用数学归纳法证明的步骤是:(1)证明当n取第一个值n_0(n_0是满足命题的最小正整数)时,命题成立.(2)假设当n=k(k≥n_0,k∈N~*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.(3)由(1)(2)可知,命题对于从n_0开始的所有的正整数都成立.     

有关圆的中考题的漏解及析因

由于圆中有关的点、线、角及其它图形位置关系复杂 ,命题者在命题时容易设置“陷阱” ;而在解中考题时 ,有些考生往往因对已知条件的分析不够全面 ,忽视某个条件 (包括隐含条件 )、某种特殊情形 ,从而导致漏解 .下面以近两年的中考题为例 ,列出常见有关圆问题的漏解的各种情形 ,并分析导致产生漏解的原因 .1　对点的位置考虑不全面 ,导致漏解例 1　如图 1,A ,B是圆O上两点 ,且∠AOB =70° ,C是圆O上不与A ,B重合的任意一点 ,则∠ACB的度数是 .(2 0 0 2年浙江省宁波市中考题 )图 1　　　　　　　　图 2漏解　如图 1,易得∠ACB =3 5° …     

初学数学归纳法易犯的通病

1　数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数ｎ有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证ｎ取第一个值ｎ0 时 (如ｎ0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当ｎ =ｋ +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ证明 :( 1)当ｎ =1时左边 =ａ1右边 =ａ1+( 1- 1)ｄ =ａ1等式成立( 2 )假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ 1)时ａｎ=ａ1+(ｋ - 1)ｄ则当ｎ =ｋ +1时ａｋ +1=ａｋ+ｄ =ａ1+(ｋ - 1)ｄ +ｄ=…     

解题方法之必要条件解题

解决问题时,我们一般要求保持等价,但有时等价命题比较复杂,不易求解,此时不妨研究命题成立的必要条件,扩大问题解集的范围,再通过充分性检验,剔除增解,得出正确结论.1利用必要条件得到"可能的答案",再检验去掉增解例1(2012年高考浙江卷·理17)设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x~2-ax-1)≥0,则a=____.分析思维过程:想法一:直接求导求最小值,     

数形结合思想在解题中的应用举例

一、解函数题例1.方程lgx+x-3=0的解x0所在区间为以下选项中的哪一个?A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,∞)解析:如图1,先构造函数f(x)=lgx与g(x)=3-x并作出它们的图象,如图1可知可以确定x∈(1,3),但f(2)-g(2)=lg2-1<0,即x=2时,f(x)2.同理:f(3)-g(3)=lg3-0>0,即x=3时,知f(x)>g(x),∴x0<3.∴答案为C.例2.求函数y=x√+1-x√的值域.解析:作y1=x√,y2=1-x√的图象,如图2,由函数图1的定义域为[0,1]和图象知:函数在x=0,x=1时,有最小值1;在x=12时,取最大值2√.(对称性图象)∴函数的值域是[1,2√].二、解不等式例3.求不等式5-4x-x2√≥x解集.图2…     

研究性学习，2005年高考新动向——研究性学习试题三例

加强研究性学习 ,能使学生主动学习数学 ,用数学的眼光来审视现实世界 ,同时 ,它也是今后高考的一大命题方向 .例 1　 1 997年 1 1月 8日中央电视台正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况 ,截流从上午 9:0 0开始 ,当时龙口的水面宽 40米 ,水深若干米 ,每隔 1段时间播音员报告龙口的水面宽和工程进展情况 ,现记录部分分段分布的数据如下 :时间 9:0 0 10 :0 0 11:0 0 12 :0 0…… 16 :0 0龙口宽 4 0米 39米…… 34米……工程进度 1米…… 5米……数据列 a1…… a2 a3……　　预计下午 4:0 0 (即 1 6:0 0 )合拢 ,现根据截至 1 2 :0 0…     

一道中考题的解法研究

题目 （2004年武汉市）如图1,是一束平行的阳光从教室窗户AB射入的平面示意图,光线与地面所成角∠AMC=30°,在教室地面的影长MN=2√3米,若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米,则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（ ）[第一段]     

与a＋b＋c=0有关的二个命题及应用

命题1 已知,,abc是实数, 则333abc++3abc=等价于0abc++=或abc==. 命题2 已知,,abc是实数,满足abc++0=,则24.bac 事实上,由恒等式 3333abcabc++- 2221()[()()()]2abcabbcca=++-+-+-可知:3333abcabc++=等价于abc++0=或abc==,即命题1成立. 又由 22244()(2)bacbbccbc-=---=+0,知24.bac故命题2获证. 这是二个应用非常广泛的数学命题,用它来解决与0abc++=有关的数学问题,往往简捷巧妙,能收到事半功倍之功效.下面对这二个命题的应用作分类阐述: 1 用于求代数式的值 例1 已知4ab+=,3328ab+=,则22ab+的值是( ). (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 1…