数学意识的培养与悖论

古希腊毕达哥拉斯学派认为"万物皆数",而"一切数均可表成整数或整数之比".学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,这就是数学史上的最著名的悖论之一,西方也因为经历了这样的悖论,产生了辉煌的近代数学.而此时的中国数学基本上还停留在算学阶段,可以说悖论就是新知识的生长点、逻辑推理能力的推进剂、抽象思维的训练场,在数学的教学中就如同智慧的"小辣椒",时不时让学生"左右为难"一下,在"辣"尽甘来之时,数学意识可谓已根深蒂固,这样对悖论的使用未尝不是一种教学策略.本文就对这一策略的使用作一探讨.     

2~(1/2)蒙冤记

2~(1/2)降临人世,远在公元前6世纪. 那时,古希腊有一个重要学派,即毕达哥拉斯学派,他们信奉“万物皆数”,认为世间万事万物都可用数的观点来理解,不过,他们所指的数仅仅是整数(分数可视为两个整数之比)。相应地,在几何学上毕达哥拉斯学派认为,只要确定了单位长度1,则所有线段的长度都能用整数或整数之比来计量。例如,可将1个     

古人发现√2“无理”令人思考√2“有益”

公元前6世纪．古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点：“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，人们发现边长为1的正方形的对角线的长度、√2不能用整数或整数的比来表示．故称√2可为“无理数”．     

谈谈无理数的学习(一)

首先,谈谈无理数的产生.人们对无理数的认识,起始于2500年以前,对它的认识经历了一个漫长的过程,这在数学发展史上是罕见的.相传公元前5世纪,在古希腊有一个以数学家毕达哥拉斯为首的数学学派.这个学派认为整数是上帝创造的,分数是两个整数的比.世界上除了整数和分数之外,不可能再有其它什么数了.可是后来,学派里有一位叫希伯斯的成员却否定了这个结论,这在学派内引起了一场巨大的风波.原来,毕达哥拉斯学派发现了平面几何中一个重要的定理,并把它称为毕达哥拉斯定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.希伯斯根据这个定理,算出…     

淹不死的2(1/2)

公元前六世纪,古希腊著名数学家毕达哥拉斯建立了一个具有宗教、科学和哲学性质的学术组织,被人称为“毕达哥拉斯学派”。这个学派认为,世界上只存在整数和分数,除此之外,不存在别的数,数是上帝创造的,谁也不能更改和发展。 但是,毕达哥拉斯在发现勾股定理之后,他们碰到了一件令人十分头痛的事情:如果一个正方形的边长为1,那么,它的对角线长度     

无理数2~(1/2)的发现

2~(1/2)是一个无理数,现在恐怕已经没有人再会怀疑了。但是当初,当古希腊数学家毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯发现2~(1/2)无法用整数表达,直接否定了毕达哥拉斯学派的信条:“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”,从而引起了一场悲壮的科学史诗。毕达哥拉斯学派采取了凶残的手段,把希帕索斯抛进大海里,并且扬言,谁再提起这毫无道理的数2~(1/2),就把他开除出本学派。     

一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题难度较大,是中考特别是竞赛中的爬坡题型.本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法. 例1 已知方程x2+(α-6)x+α=0(α≠0)的两根都是整数,试求整数α的值. 思路分析:当α取值不同时,方程的系数就随之不同,方程的根的情况也就发生变化.究竟什么情况下,方程的两根都是整数呢?还是从根与系数的关系人手比较好. 解:设方程的两整数根为为x1、x2,根据根与系数关系得     

拨动"情"弦 奏出谐音

"感人心者莫先乎情"中学语文教师对学生真挚的情感,必能使学生感悟到情真意切。古人云:"亲其师,信其道"。教师只有运用自己的感情来引发学生的情感潜势,创设融合的情感氛围,拨动学生的"情"弦,使学生为之所动,产生一种愉悦心情,让学生如入"沐浴春风"般的情境,从而充分地调动了学生学习的积极性和主动性,在课堂上奏出谐音,获取最佳     

谐音与汉语辞格

“谐音”这个词,《现代汉语词典》是这样释义的:“字词的音相同或相近。”由于谐音词语的音相同或相近而意义却不同,因此,用得好,在一定的语言环境里,能产生各种修辞效果。我们发现,谐音与汉语修辞的关系是相当密切的,它常常出现在一些辞格中。     

数学史上的三次危机

在科学技术中,当一种反常现象与通常理论发生冲突时,就会出现理论上的危机。在数学发展史上,已经经历了三次危机,又可以说产生过三大悖论。 公元前5世纪,人们对有理数的认识还不是很清楚,对于无理数的概念更是一无所知。但毕达哥拉斯学派断言:任意两条线段,总存在一最大公度线段。他们认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数     

“科学美”的思想方法在洛仑兹变换式推导中的应用

很多物理学家,特别是一些近代杰出的物理学家认为,物理学的理论具有某种惊人的美的魅力。这种美,归结起来,主要表现在物理学的理论具有简单(高度概括的简单)、对称(包括守恒)、和谐和深远这几个方面。对这种“科学美”的追求,最早可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派对于数的研究。“毕达哥拉斯学派证明,用三条弦发出某一个乐音以及它的第五度音和它的第八度音时,这三条弦长度之比为6∶4∶3。他     

一道有争议的古典概型题的调查分析与教学启示

1问题起源在浙江省实施新课程后的一次校高三模拟考试中,有一道文科数学大题的第1小题为：把一根长度为6的铁丝截成3段,若三段的长度均为整数,求能构成三角形的概率．     

意料之外的“误差”

在执教"认识三角形"时,我让学生用4厘米、5厘米、6厘米和10厘米长的四根小棒,任选其中的三根摆三角形.学生通过拼摆、观察、比较、讨论发现:较短的两条线段长度的和如果大于第三条线段的长度,就能围成三角形.学生已掌握了最简便的判断方法,可以说这节课画上了完美的句号! 我喜滋滋地走进办公室,这时一个学生拿着自己画的三角形说:"许老师,4厘米、6厘米和10厘米长的三根小棒不能围成三角形,但是这么长的三条线段能画出三角形,你看……"他边说边拿直尺量给我看.哇,他画了许多三角形,选了一个在量着.     

由在√2引起的数学风波

勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的．毕达哥拉斯（约公元前580年～约公元前500年），幼年好学，青年时期离家到文明古国巴比伦、埃及等地求学．他创建了“毕达哥拉斯学派”，这一学派是当时古希腊一个显赫的政治和数学学派．毕达哥拉斯学派有一句名言，叫做“万物毕数”．他们所说的“数”，就是我们所学过的有理数．他们认为，世上万物都可以用数来表示，整数是上帝创造的，是完美无缺的，而分数是2个整数的比，所以，除了整数和分数外，世上不可能再有其他什么数了．     

增根因何来?--点差法解题探析

贵刊在2002-4期登了<"设点做差,求中点弦"问题中的"常见病">一文,简要地指出了在利用点差法处理弦中点问题时经常遇到求得的结果出现"增根"或"名不副实"的情况,并给出了修正的对策,刘老师给出的方法,在教学当中也经常为其他老师采用,故对学生而言,掌握具体解题防错的操作性具有较好的指导意义.但学生在会解题的同时,从"最近发展区"的角度看,仍对点差法会产生以下迷惑:     

数学发展史上的三次危机

从古希腊到现代,数学的基础曾受到三次危机的困扰,每一次都是大部分被人们认为确凿无疑的数学受到质疑,并且必须改造。数学基础的第一次危机发生在公元前5世纪,当时希腊论证数学的祖师之一毕达哥拉斯在希腊建立了一个秘密会社,也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派相信任何量都可以表示成两个整数之比(即某个有理量),这在几何上相当于:对于任意给定的两条线段。总能找到第三条线段,以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数线段,希腊人称这样两条给定线段为“可公度量”,意即有公共的度量单位,然而毕达哥拉斯学派后来发现并不…     

海口闽语量词“目”“节”“xak~5”理据与用法浅析——兼论与琼地少数民族语言、现代汉语比较

海口闽语量词"目"、"节"、"xak5"能用来计量分段物或事物的长度,但三者产生的理据和用法各有不同。"目"是闽语特征量词,产生的理据是在"节"的影响下通过隐喻机制和词汇平行衍生规律的促动而形成,用来计量具有"结节"之物,且长度是"结节"的整数倍;"节"则用来计量长度相对确定的事物;"xak5"是借自侗台语族的量词,由侗台语族相应的、具有"断"语义的动词转类而成,用来计量任意长短的事物。     

“3,4,5”直角三角形的奇思妙想

<正>提到三边长都是整数的直角三角形,我们往往首先想到的就是边长为"3,4,5"的直角三角形.早在西汉时期,算书《周髀算经》中就有"勾三股四弦五"的记载.其实,我们对"3,4,5"直角三角形进一步探究,还能发现一些有趣且有用的结论.一、基础准备如图1,RtΔABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,AB=5,∠CAB=α,∠CBA=β,显然     

与中点弦有关的几个重要结论

高中数学解析几何中"直线和圆锥曲线的位置关系"是高考考查的重点和热点,在此类问题中常常会遇到直线和圆锥曲线相交弦的中点的有关题目,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.     

音乐常识辞典(五十一)

【扎木聂】又名“六弦琴”。流行于西藏等地。外形如三弦,音箱木制,无品位,六条弦分三组定音。~bA~bA,~be~be,~bB~bB。音域只一个八度。音色柔婉浑厚,甜美悦耳。能独奏,主要用于伴奏及合奏,是藏族人民常用的弹拨乐器。【萨它尔】维吾尔族弓弦乐器的一种。有品位十八个,主奏弦一根,共鸣弦一组(有九根、十一根和十三根等三种不同型制),均采用金属弦线。演奏时右手执马尾弓拉主奏弦;左手只用指食与中指按弦,共鸣弦不拉不按,只起共鸣音响作用,音色优美丰富,独具一格。能独奏、伴奏与合奏,主要用于“木